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[[Datei:Volladdierer Schaltsymbol.png|gerahmt|Schaltsymbol eines Volladdierers]]
[[Datei:Volladdierer Schaltsymbol DIN40900 korrigiert.svg|gerahmt|Schaltsymbol eines Volladdierers nach [[Abhängigkeitsnotation|DIN 40900]]]]
[[Datei:Inverting full adder CMOS 24T.svg|mini|Beispiel eines invertierenden Volladierers in [[CMOS]] mittels [[AND-OR-Invert]]-Logik<ref name="Fischer" />]]Ein '''Volladdierer''' (englisch ''full adder'') ist ein [[Schaltnetz]], das üblicherweise als digitale Schaltung realisiert wird. Es besteht aus drei Eingängen (<math>x</math>, <math>y</math> und <math>c_\mathrm{in}</math>) und zwei Ausgängen (<math>s</math> und <math>c_\mathrm{out}</math>). Mit einem Volladdierer kann man drei einstellige [[Binärzahl]]en [[Addition|addieren]]. Dabei liefert der Ausgang <math>s</math> (engl. ''sum'' – Summe) die niederwertige Stelle des Ergebnisses, der Ausgang <math>c_\mathrm{out}</math> (engl. ''carry (output)'' – Übertrag (Ausgang)) die höherwertige. Die Bezeichner <math>c_\mathrm{in}</math> und <math>c_\mathrm{out}</math> legen hierbei eine Möglichkeit zur Übertragsbehandlung in [[Addiernetz]]en nahe.

== Eingänge und Ausgänge ==
Die folgende [[Wahrheitstabelle]] zeigt die Eingangswerte und Ausgangswerte eines Volladdierers:

{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! style="width:20%" | <math>x</math>
! style="width:20%" | <math>y</math>
! style="width:20%" | <math>c_\mathrm{in}</math>
! style="width:20%" | <math>c_\mathrm{out}</math>
! style="width:20%" | <math>s</math>
|-
| {{Nein-Feld|0}} || {{Nein-Feld|0}}
| {{Nein-Feld|0}}
| {{Nein-Feld|0}} || {{Nein-Feld|0}}
|-
| {{Nein-Feld|0}} || {{Nein-Feld|0}}
| {{Ja-Feld|1}}
| {{Nein-Feld|0}} || {{Ja-Feld|1}}
|-
| {{Nein-Feld|0}} || {{Ja-Feld|1}}
| {{Nein-Feld|0}}
| {{Nein-Feld|0}} || {{Ja-Feld|1}}
|-
| {{Nein-Feld|0}} || {{Ja-Feld|1}}
| {{Ja-Feld|1}}
| {{Ja-Feld|1}} || {{Nein-Feld|0}}
|-
| {{Ja-Feld|1}} || {{Nein-Feld|0}}
| {{Nein-Feld|0}}
| {{Nein-Feld|0}} || {{Ja-Feld|1}}
|-
| {{Ja-Feld|1}} || {{Nein-Feld|0}}
| {{Ja-Feld|1}}
| {{Ja-Feld|1}} || {{Nein-Feld|0}}
|-
| {{Ja-Feld|1}} || {{Ja-Feld|1}}
| {{Nein-Feld|0}}
| {{Ja-Feld|1}} || {{Nein-Feld|0}}
|-
| {{Ja-Feld|1}} || {{Ja-Feld|1}}
| {{Ja-Feld|1}}
| {{Ja-Feld|1}} || {{Ja-Feld|1}}
|}
== Realisierungen ==
Daraus ergeben sich folgende [[Gleichung]]en, indem man zunächst die [[disjunktive Normalform]] aus den Wahrheitswerten der Tabelle bildet und dann vereinfacht:

: <math>\begin{align}
c_\mathrm{out}&=\left( \overline{x} \wedge y \wedge c_\mathrm{in} \right) \vee \left( x \wedge \overline{y} \wedge c_\mathrm{in} \right) \vee \left( x \wedge y \wedge \overline{c_\mathrm{in}} \right) \vee \left( x \wedge y \wedge c_\mathrm{in} \right)\\
&= (c_\mathrm{in}\wedge(x \oplus y))\vee \left( x \wedge y \right)
\end{align}</math>
und
: <math> s = x \oplus y \oplus c_\mathrm{in} </math>

Die linke Abbildung zeigt den Aufbau eines Volladdierers mittels [[Halbaddierer]]n und einem [[Oder-Gatter]].


{| class="toptextcells"
| [[Datei:Volladdierer Aufbau HA DIN40900.svg|gerahmt|Aufbau eines Volladdierers mittels zweier Halbaddierer und eines Oder-Gatters nach DIN 40900]]
| [[Datei:Volladdierer Aufbau DIN40900.svg|gerahmt|Aufbau eines Volladdierers mit 2 [[Und-Gatter]]n, 2 [[XOR-Gatter]]n und 1 [[Oder-Gatter]] nach DIN 40900]]
|}

Die rechte Abbildung zeigt ebenfalls den Aufbau eines Volladdierers, wobei die [[Halbaddierer]] jeweils in ein [[Und-Gatter]] und ein [[Exklusiv-Oder-Gatter]] aufgetrennt wurden. Hierbei ist zu beachten, dass in beiden Abbildungen die Summenausgänge <math>s</math> jeweils unten und die Übertragsausgänge der Halbaddierer <math>c_\mathrm{out}</math> jeweils oben dargestellt sind. Ein Halbaddierer kann auch aus 2 [[Nicht-Gatter|Invertern]], 3 Und-Gattern und 1 [[Oder-Gatter]] aufgebaut werden. Für einen Volladdierer bräuchte man dann 4 [[Nicht-Gatter|Inverter]], 6 Und-Gatter und 3 Oder-Gatter.

Optimiert man den Ausdruck für den Volladdierer weiter, ohne den Carry-Pfad zu verlangsamen, ergeben sich weitere Vereinfachungen:
[[Datei:Volladdierer ohne XOR DIN Symbol.svg|Volladdierer mit 4 [[Und-Gatter]]n, 4 [[Oder-Gatter]]n und 1 [[Nicht-Gatter|Inverter]].|alternativtext=|mini|440x440px]]
[[Datei:Full Adder using NAND gates.svg|alternativtext=|mini|440x440px|Volladdierer mit 9 [[NAND-Gatter]]n]]
[[Datei:Full Adder using NOR gates.svg|alternativtext=|mini|440x440px|Volladdierer mit 9 [[NOR-Gatter]]n]]
:<math>\begin{align}
I &= x\wedge y\\
J &= x\vee y\\
c_\text{out} &= I\vee (x\wedge c_\text{in})\vee (y\wedge c_\text{in})\\
c_\text{out} &= I\vee((x\vee y)\wedge c_\text{in})\\
c_\text{out} &= I\vee (J\wedge c_\text{in})\\
s &= (x\wedge\overline{c_\text{out}})\vee (y\wedge\overline{c_\text{out}})\vee (c_{in}\wedge\overline{c_\text{out}})\vee (I\wedge c_\text{in})\\
s &= ((J\vee c_\text{in})\wedge\overline{c_\text{out}})\vee (I\wedge c_\text{in})
\end{align}</math>

Auf diese Weise kann ein Volladdierer mit 4 [[Und-Gatter]]n, 4 [[Oder-Gatter]]n und 1 [[Nicht-Gatter|Inverter]] realisiert werden.

Stattdessen kann ein Volladdierer auch aus 9 [[NAND-Gatter]]n oder 9 [[NOR-Gatter]]n aufgebaut werden.<ref>Electronicshub.org: [https://www.electronicshub.org/half-adder-and-full-adder-circuits/#Full_Adder_using_NAND_Gates Half Adder and Full Adder Circuits]</ref><ref>GeeksforGeeks: [https://www.geeksforgeeks.org/full-adder-in-digital-logic/ Full Adder in Digital Logic]</ref>

Ein zweistufiger und damit schnellerer Volladdierer kann durch Optimierung direkt aus der Wertetafel, zum Beispiel nach dem [[Karnaugh-Veitch-Diagramm|KV-Verfahren]], konstruiert werden.

Der Volladdierer wird zum Aufbau von [[Addierwerk]]en und [[Multiplizierer (Digitaltechnik)|Multiplizierern]] verwendet, oft mit einem [[Halbaddierer]] am Anfang der Übertragkette.

Bei der Invertierung aller Eingänge eines Volladdierers invertieren sich alle Ausgänge, dies kann zur Laufzeitoptimierung von Addierwerken verwendet werden, indem auf die Invertierung von <math>c_\text{out}</math> verzichtet wird.<ref name="Fischer">{{Cite web|url=https://sus.ziti.uni-heidelberg.de/Lehre/WS1617_DST/DST_Fischer_06_Einfache_Bloecke_FF.pptx.pdf|title=Einfache Schaltungsblöcke|accessdate=2021-09-05|last=Fischer|first=P.|publisher=Universität Heidelberg}}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Halbaddierer]]
* [[Addierwerk]]
* [[Paralleladdierer mit Übertragsvorausberechnung]]
* [[Multiplizierer (Digitaltechnik)]]

== Literatur ==
* {{BibISBN|3540428496}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Digitale Schaltungstechnik]]

Volladdierer - Versionsgeschichte

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