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2021-04-04T10:25:36Z

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Das '''Volkenborn-Integral''' ist ein [[Integralrechnung|Integralbegriff]] für [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] auf den [[p-adische Zahl|p-adischen Zahlen]].

== Definition ==
Sei
:<math>f\colon\Z_p\rightarrow \mathbb C_p</math>
eine lokal-analytische Funktion von <math>\Z_p</math>, dem Ring der [[p-adische Zahl|p-adischen]] ganzen Zahlen, in <math>\mathbb C_p</math>, die [[Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] des [[Algebraischer Abschluss|algebraischen Abschlusses]] von <math>\mathbb Q_p</math>, dem Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen (eine Funktion heißt lokal-analytisch, wenn es um jeden Punkt eine Kreisscheibe gibt, innerhalb derer sich die Funktion in eine Potenzreihe entwickeln lässt). Das Volkenborn-Integral von <math>f</math> ist dann definiert durch

:<math> \int_{\mathbb Z_p} f(x) \, {\rm d}x = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{p^n} \sum_{x=0}^{p^n-1} f(x). </math>

== Entstehung ==
Die Idee der Integration von p-adischen Funktionen hatten zunächst F. Thomas und [[François Bruhat|F. Bruhat]]. Die Definition ihres [[Translationsinvarianz|translationsinvarianten]] p-adischen Integrals erwies sich aber als zu restriktiv für analytische und zahlentheoretische Zwecke.

[[Arnt Volkenborn]] entwickelte in seiner Dissertation an der [[Universität zu Köln]] 1971 das später nach ihm benannte verallgemeinerte ''<math>p</math>-adische Integral''.
Mit dem ''Volkenborn-Integral'' werden alle lokal-analytischen Funktionen, wie die [[Laurent-Reihe]]n, integrierbar. Anwendung erfährt das ''Volkenborn-Integral'' bei der Berechnung der sogenannten verallgemeinerten <math>p</math>-[[Bernoulli-Zahl]]en und weiteren <math>p</math>-adischen Funktionen.

== Literatur ==
* Arnt Volkenborn: ''Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen I.'' In: ''Manuscripta Mathematica.'' Bd. 7, Nr. 4, 1972, {{ISSN|0025-2611}}, S. 341–373. {{doi|10.1007/BF01644073}}
* Arnt Volkenborn: ''Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen II.'' In: ''Manuscripta Mathematica.'' Bd. 12, Nr. 1, 1974, {{ISSN|0025-2611}}, S. 17–46. {{doi|10.1007/BF01166232}}
* [[Alain M. Robert]]: ''A Course on p-adic Analysis'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 198). Springer, New York u. a. 2000, ISBN 0-387-98669-3, S. 263–279.
* Min-Soo Kim, Jin-Woo Son: ''Analytic Properties of the q-Volkenborn Integral on the Ring of p-Adic Integers.'' In: ''Bulletin of the Korean Mathematical Society.'' Bd. 44, Nr. 1, 2007, {{ISSN|1015-8634}}, S. 1–12, [https://www.mathnet.or.kr/mathnet/kms_content.php?no=378936 online].

[[Kategorie:Integralbegriff]]
[[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]]

Volkenborn-Integral - Versionsgeschichte

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