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[[Datei:Voigt order svg.svg|mini|425px|'''Voigtsche Notation''': Die Komponenten einer symmetrischen Matrix werden als sechs Komponenten einer Spaltenmatrix notiert. Links die Standard-Schreibweise einer symmetrischen Matrix, rechts die Voigtsche Notation.]]

Die '''Voigtsche Notation''', benannt nach dem Physiker [[Woldemar Voigt (Physiker)|Woldemar Voigt]], ist eine abkürzende [[Mathematik|mathematische]] Schreibweise für bestimmte mathematische Funktionen (symmetrische [[Tensor]]en), die eine bestimmte Anzahl von Vektoren auf einen Zahlenwert abbilden. Ausgehend von der [[Tensordarstellungen der Physik|Indexnotation]] für Tensoren werden dabei jeweils 2 Indizes nach einer bestimmten Vorschrift zu einem Index „zusammengezogen“.
Ein Tensor zweiter Stufe hat in Anwendungsfällen oft 9 Komponenten, die in einer 3×3-Matrix zusammengefasst werden können:
: <math>
\begin{align}
\begin{bmatrix}\sigma_{ij}\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
\sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \\
\end{bmatrix}
\end{align}
</math>
Ein ''symmetrischer'' Tensor hat zwar auch 9 Komponenten – aber nur 6 Bestimmungsstücke, so dass man kürzer schreiben kann:
: <math>
\begin{align}
\begin{bmatrix}\sigma_{ij}\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
& \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
\text{sym} & & \sigma_{33} \\
\end{bmatrix}
\end{align}
</math>
Die 6 Bestimmungsstücke <math>\sigma_{11}, \sigma_{12}, \sigma_{13}, \sigma_{22}, \sigma_{23}, \sigma_{33}</math> lassen sich statt in einer quadratischen 3×3-Matrix auch in einer 6×1-Spaltenmatrix (Spaltenvektor) anordnen.
Während die Elemente der 3×3-Matrix durch zwei Indizes gekennzeichnet sind, sind die Elemente der 6×1-Spaltenmatrix durch genau einen Index gekennzeichnet – so dass zu definieren ist, in welcher Weise die Indizes „zusammengezogen“ werden.
Im Bild rechts sieht man die am häufigsten verwendete Zuordnung („Zusammenziehungs“-Regel) zwischen den Indizes des 6×1-Spaltenvektors und den Indizes der 3×3-Matrix.

Die Zusammenfassung der 6 Bestimmungsstücke eines symmetrischen Tensors zu einem 6×1-Spaltenvektor unter Anwendung einer „Zusammenziehungs“-Regel nennt man die Voigtsche Notation (der Komponenten) des Tensors.

== Voigtsche Notation in der Elastizitätstheorie ==
=== Spannungstensor und Verzerrungstensor ===
Für den [[Spannungstensor]] definiert man:
: <math>
\begin{align}
\begin{bmatrix}
\sigma_{ij}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\
& \sigma_{22} & \sigma_{23} \\
\text{sym} & & \sigma_{33} \\
\end{bmatrix}
\longrightarrow &
\begin{bmatrix}
\sigma_\alpha
\end{bmatrix}^{\text{V}}
=
\begin{bmatrix}
\color{red}{\sigma_{1}} \\
\color{red}{\sigma_{2}} \\
\color{red}{\sigma_{3}} \\
\color{blue}{\sigma_{4}} \\
\color{blue}{\sigma_{5}} \\
\color{blue}{\sigma_{6}} \\
\end{bmatrix}^{\text{V}} :=
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} \\
\sigma_{22} \\
\sigma_{33} \\
\sigma_{23} \\
\sigma_{13} \\
\sigma_{12} \\
\end{bmatrix}
\end{align}
</math>
Die 6×1-Voigt-Matrix ist hier im Artikel durch ein hochgestelltes V gekennzeichnet, und die Komponenten des Voigt-Spaltenvektors haben nur einen Index. Anhand dieser Merkmale lässt sich erkennen, ob für eine Größe die Voigt-Notation verwendet wird oder die klassische Notation. Die Komponenten des Spannungstensors haben in der klassischen Tensor-Notation zwei Indizes, die in der Matrix <math>\begin{bmatrix}\sigma_{ij}\end{bmatrix}</math> zusammengefasst werden. Die Zahl der Bestimmungsstücke ist wegen der Symmetrie 6, nämlich <math>\sigma_{11}, \sigma_{12}, \sigma_{13}, \sigma_{22}, \sigma_{23}, \sigma_{33}</math>. In der Voigt-Notation werden diese Bestimmungsstücke in einem Spaltenvektor angeordnet und können daher durch nur einen Index adressiert werden. Die 6 Komponenten des Voigtschen Spaltenvektors, nämlich <math>\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}, \sigma_{4}, \sigma_{5}, \sigma_{6}</math>, werden entsprechend der letzten Gleichung (Regel der „Zusammenziehung“) definiert.

Für den [[Verzerrungstensor]] wird eine etwas andere „Zusammenziehung“ verwendet, nämlich:
: <math>
\begin{align}
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{ij}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\
& \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\
\text{sym} & & \varepsilon_{33} \\
\end{bmatrix}
\longrightarrow &
\begin{bmatrix}
\varepsilon_\alpha
\end{bmatrix}^{\text{V}}
=
\begin{bmatrix}
\color{red}{\varepsilon_{1}} \\
\color{red}{\varepsilon_{2}} \\
\color{red}{\varepsilon_{3}} \\
\color{blue}{\varepsilon_{4}} \\
\color{blue}{\varepsilon_{5}} \\
\color{blue}{\varepsilon_{6}} \\
\end{bmatrix}^{\text{V}} :=
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{11} \\
\varepsilon_{22} \\
\varepsilon_{33} \\
2 \varepsilon_{23} \\
2 \varepsilon_{13} \\
2 \varepsilon_{12} \\
\end{bmatrix}
\end{align}
</math>
Neu ist der Faktor 2 bei den letzten 3 Komponenten des Voigt-Vektors. Durch diesen Faktor stellt man sicher, dass:
: <math>
\sigma_\alpha \varepsilon_\alpha = \sigma_{ij} \varepsilon_{ij} = 2 F
</math>
F ist hierbei die [[Freie Energie]].<ref>Näheres hierzu siehe z. B. [[doi:10.1007/b93853]].</ref>

Farbliche Kennzeichnung: Jeder roten Voigt-Vektor-Komponente wird genau eine Tensorkomponente zugeordnet. Und jeder blauen Voigt-Vektor-Komponente werden genau zwei Tensorkomponenten zugeordnet, also ist z. B.:
: <math>
\begin{align}
\color{red}{\varepsilon_{1}}&=\varepsilon_{11}\\
\color{blue}{\varepsilon_{5}}&=2 \varepsilon_{13}=2 \varepsilon_{31}
\end{align}
</math>

=== Steifigkeit ===
Wenn die Komponenten <math>C_{ijkl}</math> eines Tensors 4. Stufe im ''(i,j)''-Indexpaar und im ''(k,l)''-Indexpaar symmetrisch sind, lässt sich das vordere und das hintere Indexpaar mit derselben Index-„Zusammenziehung“ behandeln wie bei einem Tensor 2. Stufe. Die 3×3×3×3=81 Tensorkomponenten lassen sich dann einer 6×6-Voigt-Matrix zuordnen. Der Index, der aus dem vorderen Indexpaar entstanden ist, wird dabei der erste Index der 6×6-Matrix, so dass:
: <math>
\begin{align}
\begin{bmatrix}
C_{\alpha\beta}
\end{bmatrix}^{\text{V}}
\end{align}
=
\begin{bmatrix}
\color{red}{C_{11}} & \color{red}{C_{12}} & \color{red}{C_{13}} & \color{blue}{C_{14}} & \color{blue}{C_{15}} & \color{blue}{C_{16}}\\
\color{red}{C_{21}} & \color{red}{C_{22}} & \color{red}{C_{23}} & \color{blue}{C_{24}} & \color{blue}{C_{25}} & \color{blue}{C_{26}}\\
\color{red}{C_{31}} & \color{red}{C_{32}} & \color{red}{C_{33}} & \color{blue}{C_{34}} & \color{blue}{C_{35}} & \color{blue}{C_{36}}\\
\color{blue}{C_{41}} & \color{blue}{C_{42}} & \color{blue}{C_{43}} & C_{44} & C_{45} & C_{46}\\
\color{blue}{C_{51}} & \color{blue}{C_{52}} & \color{blue}{C_{53}} & C_{54} & C_{55} & C_{56}\\
\color{blue}{C_{61}} & \color{blue}{C_{62}} & \color{blue}{C_{63}} & C_{64} & C_{65} & C_{66}\\
\end{bmatrix}^{\text{V}}
:=
\begin{bmatrix}
C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112}\\
C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212}\\
C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312}\\
C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312}\\
C_{1311} & C_{1322} & C_{1333} & C_{1323} & C_{1313} & C_{1312}\\
C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1223} & C_{1213} & C_{1212}\\
\end{bmatrix}
</math>


































Jeder roten Voigt-Matrix-Komponente wird damit genau eine Tensorkomponente zugeordnet.
Jeder blauen Voigt-Matrix-Komponente werden genau zwei Tensorkomponenten zugeordnet.
Und jeder schwarzen Voigt-Matrix-Komponente werden genau vier Tensorkomponenten zugeordnet. Z. B.:
: <math>
\begin{align}
\color{red}{C_{21}}&=C_{2211}\\
\color{blue}{C_{26}}&=C_{2212}=C_{2221}\\
\color{blue}{C_{62}}&=C_{1222}=C_{2122}\\
C_{65}&=C_{1213}=C_{1231}=C_{2113}=C_{2131}\\
\end{align}
</math>
Es gibt 9 rote, 18 blaue und 9 schwarze (insgesamt 36) Voigt-Matrix-Komponenten. Und alle 3×3×3×3=81 Tensorkomponenten werden zugeordnet, denn:
: <math>
\begin{align}
{\color{red}{9}} {\cdot 1} +
{\color{blue}{18}} {\cdot 2} +
9 \cdot 4 &= \\
9 +
36 +
36 &= 81 \\
\end{align}
</math>

=== Materialgesetz ===
Das Materialgesetz in der linearen Elastizitätstheorie ist eine [[lineare Abbildung]] zwischen Verzerrung und Spannung. In der Tensorschreibweise ist dies ein Tensor 4. Stufe, der die Tensoren 2. Stufe verknüpft.
: <math>
\sigma_{ij}=C_{ijkl}\varepsilon_{kl}
</math>
Hierbei wird die [[Einsteinsche Summenkonvention]] verwendet. Eine dieser 9 Gleichungen lautet beispielsweise
: <math>
\begin{align}
\sigma_{23}&=C_{23kl}\varepsilon_{kl}\\
&=C_{2311}\varepsilon_{11}
+C_{2312}\varepsilon_{12}
+C_{2313}\varepsilon_{13}
+C_{2321}\varepsilon_{21}
+C_{2322}\varepsilon_{22}
+C_{2323}\varepsilon_{23}
+C_{2331}\varepsilon_{31}
+C_{2332}\varepsilon_{32}
+C_{2333}\varepsilon_{33}
\end{align}
</math>
In der Voigtschen Notation ist die entsprechende Abbildung eine 6×6 Matrix.
: <math>
\begin{align}
\sigma_{\alpha}
&=C_{\alpha\beta}\varepsilon_{\beta}\\
\begin{bmatrix}
\sigma_{1} \\
\sigma_{2} \\
\sigma_{3} \\
\sigma_{4} \\
\sigma_{5} \\
\sigma_{6} \\
\end{bmatrix}^{\text{V}}
&=
\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16}\\
C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26}\\
C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36}\\
C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46}\\
C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56}\\
C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66}\\
\end{bmatrix}^{\text{V}}
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{1} \\
\varepsilon_{2} \\
\varepsilon_{3} \\
\varepsilon_{4} \\
\varepsilon_{5} \\
\varepsilon_{6} \\
\end{bmatrix}^{\text{V}}
\end{align}
</math>

Aus der Forderung der Äquivalenz der beiden Schreibweisen ergibt sich der Zusammenhang für die Komponenten:

: <math>
\begin{align}
\begin{bmatrix}
C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112}\\
C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212}\\
C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312}\\
C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312}\\
C_{1311} & C_{1322} & C_{1333} & C_{1323} & C_{1313} & C_{1312}\\
C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1223} & C_{1213} & C_{1212}\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\
C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\
C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\
C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66} \\
\end{bmatrix}^{\text{V}}
=
\begin{bmatrix}
C_{\alpha\beta}
\end{bmatrix}^{\text{V}}
\end{align}
</math>
Für die Schreibweise mit 4 Indizes wird Symmetrie in den ersten und letzten beiden Indizes vorausgesetzt, also <math>C_{ijkl}=C_{ijlk} = C_{jikl} </math>. Dies ist wegen der Symmetrie der Tensoren für Verzerrung und Spannung ohne Einschränkung der Allgemeinheit möglich und üblich. Wegen der Existenz eines Potentials ist <math>\begin{bmatrix}C_{\alpha\beta}\end{bmatrix}^{\text{V}}</math> symmetrisch, und für die Tensorschreibweise gilt äquivalent, dass <math>C_{ijkl}=C_{klij}</math> ist. D. h., es gilt:
: <math>
\begin{align}
\begin{bmatrix}
C_{\alpha\beta}
\end{bmatrix}^{\text{V}}
=
\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\
& C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\
& & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\
& & & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\
& & & & C_{55} & C_{56} \\
\text{sym}& & & & & C_{66} \\
\end{bmatrix}^{\text{V}}
\end{align}
</math>

=== Nachgiebigkeit ===

Geht man anstelle von C von der Nachgiebigkeit S aus gemäß
: <math>
\begin{align}
\varepsilon_{ij}=S_{ijkl}\sigma_{kl}
\end{align}
</math>
und fordert man dieselben Symmetrien für S, die zuvor für C gefordert wurden, so gelangt man zu folgender Darstellung der Nachgiebigkeit in Voigtscher Notation
: <math>
\begin{align}
\varepsilon_{\alpha}&=S_{\alpha\beta}\sigma_{\beta}\\
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{1} \\
\varepsilon_{2} \\
\varepsilon_{3} \\
\varepsilon_{4} \\
\varepsilon_{5} \\
\varepsilon_{6} \\
\end{bmatrix}^{\text{V}}
&=
\begin{bmatrix}
S_{1111} & S_{1122} & S_{1133} & 2S_{1123} & 2S_{1113} & 2S_{1112} & \\
& S_{2222} & S_{2233} & 2S_{2223} & 2S_{2213} & 2S_{2212} & \\
& & S_{3333} & 2S_{3323} & 2S_{3313} & 2S_{3312} & \\
& & & 4S_{2323} & 4S_{2313} & 4S_{2312} & \\
&\text{sym}& & & 4S_{1313} & 4S_{1312} & \\
& & & & & 4S_{1212} & \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{1} \\
\sigma_{2} \\
\sigma_{3} \\
\sigma_{4} \\
\sigma_{5} \\
\sigma_{6} \\
\end{bmatrix}^{\text{V}}
\end{align}
</math>

== Vergleich der Tensorschreibweise mit der Voigt-Notation ==
=== Vor- und Nachteile der Voigt-Notation ===


Die Voigt-Notation ist deutlich kompakter als die vollständige Tensornotation und die Voigtsche Steifigkeitsmatrix lässt sich leicht invertieren.
Des Weiteren ist leicht erkennbar, dass ein lineares Materialgesetz (für das die Symmetrien von C gelten) im Allgemeinen 21 unabhängige Werte (Material-Konstanten) enthält. Wenn C noch weitere Bedingungen/Symmetrien erfüllt, reduziert sich die Anzahl der Konstanten weiter.


Diesen Vorteilen stehen einige Nachteile gegenüber:
Es sind auch andere „Zusammenziehungsvorschriften“ möglich, z. B. könnte auch sein: <math>\varepsilon_4:=1 \varepsilon_{12}</math>. Die Voigtsche Notation ist lediglich die gebräuchlichste Form. <math>\begin{bmatrix}\sigma_\alpha\end{bmatrix}^{\text{V}}</math> oder <math>\begin{bmatrix}\varepsilon_\alpha\end{bmatrix}^{\text{V}}</math> sind keine (weder ko- noch kontravariante) Vektoren. Sie transformieren sich bei Koordinatenwechsel also auch nicht wie Vektoren. Dasselbe gilt für Objekte in Voigt-Notation, die mehrere Indizes haben.
Würde man z. B. die „Vektoren“ in Voigt-Notation als Vektoren auffassen und auf dem zugehörigen [[Vektorraum]] <math>V^{\text{v}}</math> eine Norm wie üblich definieren, dann müsste man feststellen, dass im Allgemeinen gilt
: <math>
\begin{align}
\|
\begin{bmatrix}\sigma_\alpha \end{bmatrix}
\|_{V^{\text{v}}} \neq \| \sigma_{ij} \|_{ V^{ 3\times 3} }
\end{align}
</math>
: wobei rechts die übliche Norm auf dem Vektorraum der 3×3-Matrizen gemeint ist.

=== Äquivalenz der Schreibweisen ===

Die Voigtsche Notation ist äquivalent zur ausführlichen Indexnotation für Tensoren. Genauer gesagt gilt:
: <math>
\left.\begin{align}
\sigma_\alpha := &\dots\\
\varepsilon_\alpha := &\dots\\
C_{\alpha\beta} := &\dots\\
\sigma_\alpha = & C_{\alpha\beta}\varepsilon_\beta \\
C_{\alpha\beta} = & C_{\beta\alpha}\\
\end{align}\right\}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
\sigma_{ij}=C_{ijkl}\varepsilon_{kl} & \\
\sigma_{ij}= \sigma_{ji} & \Rightarrow C_{ijkl}=C_{jikl} \qquad \text{lässt sich o. B. d. A. fordern}\\
F:=\frac{1}{2}\varepsilon_{ij}C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \quad \land \quad \sigma_{mn}= \frac{\partial F}{\partial \varepsilon_{mn}} & \Rightarrow C_{ijkl}=C_{klij} \\
\varepsilon_{ij} = \varepsilon_{ji}&
\end{cases}
</math>

Man kann die Äquivalenz beider Schreibweisen leicht zeigen. z. B. ist
: <math>
\begin{align}
\sigma_{23}&=
C_{2311}\varepsilon_{11}
+C_{2312}\varepsilon_{12}
+C_{2313}\varepsilon_{13}
+C_{2321}\varepsilon_{21}
+C_{2322}\varepsilon_{22}
+C_{2323}\varepsilon_{23}
+C_{2331}\varepsilon_{31}
+C_{2332}\varepsilon_{32}
+C_{2333}\varepsilon_{33}\\
&=
C_{2311}\varepsilon_{11}
+(C_{2312}+C_{2321})\varepsilon_{12}
+(C_{2313}+C_{2331})\varepsilon_{13}
+(C_{2323}+C_{2332})\varepsilon_{23}
+C_{2322}\varepsilon_{22}
+C_{2333}\varepsilon_{33}\\
&=
C_{2311}\varepsilon_{11}
+2 C_{2312}\varepsilon_{12}
+2 C_{2313}\varepsilon_{13}
+2 C_{2323}\varepsilon_{23}
+C_{2322}\varepsilon_{22}
+C_{2333}\varepsilon_{33}\\
&=
C_{2311}\varepsilon_{11}
+C_{2322}\varepsilon_{22}
+C_{2333}\varepsilon_{33}
+C_{2323} 2 \varepsilon_{23}
+C_{2313} 2 \varepsilon_{13}
+C_{2312} 2 \varepsilon_{12}\\
&=
C_{2311}\varepsilon_{1}
+C_{2322}\varepsilon_{2}
+C_{2333}\varepsilon_{3}
+C_{2323}\varepsilon_{4}
+C_{2313}\varepsilon_{5}
+C_{2312}\varepsilon_{6}\\
&=
C_{1123}\varepsilon_{1}
+C_{2223}\varepsilon_{2}
+C_{3323}\varepsilon_{3}
+C_{2323}\varepsilon_{4}
+C_{2313}\varepsilon_{5}
+C_{2312}\varepsilon_{6}\\
&=
C_{14}\varepsilon_{1}
+C_{24}\varepsilon_{2}
+C_{34}\varepsilon_{3}
+C_{44}\varepsilon_{4}
+C_{45}\varepsilon_{5}
+C_{46}\varepsilon_{6}\\
&=\sigma_{4}
\end{align}
</math>

== Alternative Notationen ==
Auch andere „Zusammenziehungsvorschriften“ sind möglich. Z. B. ist die nach Nye benannte Notation der Komponenten des Spannungstensors:
: <math>
\begin{align}
\begin{bmatrix}
{\sigma_{1}} \\
{\sigma_{2}} \\
{\sigma_{3}} \\
{\sigma_{4}} \\
{\sigma_{5}} \\
{\sigma_{6}} \\
\end{bmatrix}^{\text{N}} :=
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} \\
\sigma_{22} \\
\sigma_{33} \\
\sigma_{12} \\
\sigma_{13} \\
\sigma_{23} \\
\end{bmatrix}
\end{align}
</math>
Und die Nye-Notation für die Komponenten des Verzerrungstensors ist:
: <math>
\begin{align}
\begin{bmatrix}
{\varepsilon_{1}} \\
{\varepsilon_{2}} \\
{\varepsilon_{3}} \\
{\varepsilon_{4}} \\
{\varepsilon_{5}} \\
{\varepsilon_{6}} \\
\end{bmatrix}^{\text{N}} :=
\begin{bmatrix}
\varepsilon_{11} \\
\varepsilon_{22} \\
\varepsilon_{33} \\
2\varepsilon_{12} \\
2\varepsilon_{13} \\
2\varepsilon_{23} \\
\end{bmatrix}
\end{align}
</math>
Eine weitere Notation<ref>{{cite journal
| title = Der gegenwärtige Stand unserer Kenntnise der Krystallelasticität
| author = Woldemar Voigt
| journal = Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse
| pages = 117-176
| date = 1900}}</ref>
ist benannt nach [[William Thomson, 1. Baron Kelvin|Kelvin]] (1856)<ref>S.C. Cowin und M.M. Mehrabadi: ''The Structure of Linear Anisotropic Elastic Symmetries'' (1992), J. Mech. Phys. Solids (40), No. 7, S. 1459–1471.</ref><ref>W. Thomson: ''Elements of a mathematical theory of elasticity'' (1856), Phil. Trans. R. Soc. (146), S. 481–498.</ref> und Mandel (1965)<ref>{{cite journal
| title = Généralisation de la théorie de plasticité de WT Koiter
| author = Jean Mandel
| journal = International Journal of Solids and structures
| volume = 1
| pages = 273–295
| date = 1965}}</ref>.
Die Kelvin-Mandel-Notation des Spannungstensors ist:
: <math>
\begin{align}
\begin{bmatrix}
{\sigma_{1}} \\
{\sigma_{2}} \\
{\sigma_{3}} \\
{\sigma_{4}} \\
{\sigma_{5}} \\
{\sigma_{6}} \\
\end{bmatrix}^{\text{M}} :=
\begin{bmatrix}
\sigma_{11} \\
\sigma_{22} \\
\sigma_{33} \\
\sqrt{2}\sigma_{23} \\
\sqrt{2}\sigma_{13} \\
\sqrt{2}\sigma_{12} \\
\end{bmatrix}
\end{align}
</math>
Diese Notation hat den Vorteil, dass die zugehörige Tensorbasis normiert ist. Beispielsweise gilt bezüglich dieser Notation die Identität
: <math>
\begin{align}
\|
\begin{bmatrix}\sigma_\alpha \end{bmatrix}
\|_{V^{\text{v}}} = \| \sigma_{ij} \|_{ V^{ 3\times 3} }.
\end{align}
</math>
Aufgrund der Normierung der Basis können die üblichen Matrix-Rechenoperationen wie z. B. die Inversion, Eigenwerte auf die Steifigkeits- und Nachgiebigkeitstensoren übertragen werden<ref>R. Brannon: ''Rotation, Reflection, and Frame Changes: Orthogonal tensors in computational engineering mechanics'' (2018), IOP Publishing Ltd, Kapitel 26</ref>.

== Siehe auch ==
Weiteres zur Spezialfällen der Anisotropie und damit zur Besetztheit der Steifigkeitsmatrix/Nachgiebigkeitsmatrix:
* [[Trikline Anisotropie]]
* [[Monokline Anisotropie]]
* [[Orthotropie]]
* [[Tetragonale Anisotropie]]
* [[Kubische Anisotropie]]
* [[Hexagonale Anisotropie]]
* [[Transversale Isotropie]]
* [[Isotropie]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Woldemar Voigt
|Titel=Lehrbuch der Kristallphysik: mit Ausschluß der Kristalloptik
|Auflage=
|Verlag=Teubner
|Ort=Leipzig u. a.
|Datum=1910
|ISBN=
|Seiten=}}
* {{Literatur
|Autor=J. F. Nye
|Titel=Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and Matrices
|Verlag=Oxford University Press
|Datum=1985
|ISBN=0-19-851165-5}}
* {{Literatur
|Autor=I. Müller, P. Strehlow
|Titel=Rubber and Rubber Balloons, Paradigms of Thermodynamics
|Reihe=Lect. Notes Phys.
|NummerReihe=637
|Datum=2004
|ISBN=978-3-540-20244-8
|Seiten=}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kontinuumsmechanik]]

Voigtsche Notation - Versionsgeschichte

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