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2024-01-15T18:42:01Z

Literatur: https, Kleinkram

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[[Datei:Mplwp Voigt-HWHM1.svg|mini|300px|right|Verschiedene Voigt-Profile jeweils mit Halbwertsbreite 2. Spezialfälle sind die Lorentz-Kurve (blau) und die Gauß-Kurve (grün).]]
Unter dem '''Voigt-Profil''' oder auch der '''Voigtfunktion''' (nach [[Woldemar Voigt (Physiker)|Woldemar Voigt]]) versteht man die [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] einer [[Gauß-Kurve]] <math>G(x)</math> mit einer [[Lorentz-Kurve]] <math>L(x)</math>.

== Mathematische Beschreibung ==

:<math>
V(x;\sigma,\gamma) = (G*L)(x) = \int G(\tau)L(x-\tau)d\tau
</math>

:<math>
G(x;\sigma) = \frac{e^{-x^2/(2\sigma^2)}}{\sigma \sqrt{2\pi}}
</math>

:<math>
L(x;\gamma) = \frac{\gamma}{\pi(x^2+\gamma^2)}.
</math>

<math>\sigma</math> entspricht der Standardabweichung einer Gauß-Verteilung. In der Spektroskopie wird sie als Dopplerbreite bezeichnet. <math>\gamma</math> ist die halbe Halbwertsbreite der Lorentzverteilung, in der Spektroskopie als Druckverbreitung bekannt. Das Voigt-Profil entsteht aus der Faltung des Gauß-Profils mit dem Lorentz-Profil. Das Voigt-Profil ist wie jeweils das Gauß- und Lorentz-Profil auf 1 normiert (Fläche unter den Profilen).

== Numerische Darstellung ==

Für das Faltungsintegral <math>V(x)</math> existiert keine analytische Lösung, doch kann es als Realteil der [[Faddeeva-Funktion]] <math>w(z)</math> (skalierte komplexe [[Fehlerfunktion]], Plasma-Dispersionsfunktion) ausgedrückt werden, für die hinreichend gute Näherungen verfügbar sind:

:<math>V(x;\sigma,\gamma) = \frac{\operatorname{Re}\left[w(z)\right]}{\sigma\sqrt{2 \pi}}.</math>

<math>z</math> ist hier definiert als

:<math>z = \frac{x + i\gamma}{\sigma\sqrt{2}}.</math>

== Die Breite des Voigt-Profils ==

Die [[Halbwertsbreite]] des Voigt-Profils lässt sich aus den Breiten der beteiligten Lorentz- und Gauß-Kurven bestimmen. Bekannt sind die Breiten des Gauß-Profils (fwhm: volle Breite bei halbem Maximum),

:<math>f_\mathrm{G} = \sqrt{8\ln(2)}\sigma,</math>

und des Lorentz-Profils,

:<math>f_\mathrm{L} = 2\gamma.</math>

Die Breite des Voigt-Profils <math>f_\mathrm{V}</math> ist eine Funktion von <math>f_\mathrm{G}</math> und <math>f_\mathrm{L}</math>.

Die einfachste Näherung ist die symmetrische Interpolationsformel<ref>Danos & Geshwind, Phys Rev91, 1159 (1953).</ref>
:<math>f_\mathrm{V}\approx \sqrt{f_\mathrm{G}^2+f_\mathrm{L}^2},</math>
die jedoch <math>f_\mathrm{V}</math> um bis zu 16 % unterschätzt.<ref>Ablesbar aus Fig. 1 in Olivero & Longbothom (1977)</ref>

Eine bessere Näherung ist nach Kielkopf<ref>{{Literatur |Autor=John F. Kielkopf |Titel=New approximation to the Voigt function with applications to spectral-line profile analysis |Band=Vol. 63 |Auflage=8 |Verlag=Journal of the Optical Society of America |Datum=1973}}</ref>

:<math>f_\mathrm{V}\approx 0{,}5343 f_\mathrm{L} + \sqrt{0{,}2169f_\mathrm{L}^2 + f_\mathrm{G}^2}</math>

mit einer maximalen Abweichung von 0,023%.

== Eigenschaften ==

Die Voigt-Funktion ist invariant gegenüber Faltung, d. h., die Faltung einer Voigt-Funktion mit einer weiteren Voigt-Funktion ergibt wieder eine Voigt-Funktion. Die Linienbreiten des Gauß- bzw. Lorentz-Anteils ergeben sich dabei zu:
: <math>f_\mathrm{G}^{2} = \sum_{i}{(f_\mathrm{G}^{2})_{i}}</math>
und
: <math>f_\mathrm{L} = \sum_{i}{(f_\mathrm{L})_{i}}</math>.

== Näherung durch Pseudo-Voigt-Profil ==
[[Datei:Mplwp Voigt05 pseudo.svg|mini|300px|right|Beim Vergleich zwischen Voigt-Profil (blau) und Pseudo-Voigt-Profil (magenta) sind kaum Unterschiede erkennbar.]]
Das '''Pseudo-Voigt-Profil''' (oder die '''Pseudo-Voigt-Funktion''') ist eine [[Näherungsfunktion]] für das Voigt-Profil, bei der die Faltung durch eine [[Linearkombination]] aus Gauß- und Lorentzkurve ersetzt wird.
Es wird traditionell zur Ausgleichsrechnung von [[Röntgendiffraktometrie]]-Profilen verwendet. Seit eine effiziente und sehr genaue Implementierung der eigentlichen Voigt-Funktion zur Verfügung steht, gibt es keinen guten Grund mehr für die Verwendung dieser Näherung.

Mathematische Definition:
:<math>
V_p(x)=\eta \cdot L(x) + (1-\eta) \cdot G(x)
\;</math>   mit   <math>0<\eta <1</math>

:<math>
G(x) = \exp{\left[-\ln(2) \cdot \left(\frac{x-x_0}{w}\right)^{2}\right]}
\;</math>

:<math>
L(x) = \frac{1}{1 + (\frac{x-x_0}{w})^{2}}
</math>

Dabei ist <math>2w</math> die [[Halbwertsbreite]] der Pseudo-Voigt-Funktion.

== Beispiele ==
Bei einem großen Verhältnis zwischen Druck- und [[Dopplerverbreiterung]] <math>\gamma/\sigma \gg 1</math> ist das Voigt-Profil mit dem Lorentz-Profil fast identisch. Nur unmittelbar an der Linienmitte tritt eine geringe Abrundung durch die Faltung mit der Gaußkurve auf. Liegt <math>\gamma/\sigma</math> bei 1, wird der zentrale Teil der Linie durch das Gauß-Profil dominiert, man spricht dann vom ''Dopplerkern''. Außen setzt sich jedoch das viel langsamer abfallende Lorentz-Profil durch, man bezeichnet diesen Bereich als ''Dämpfungsflügel''. Im Falle <math>\gamma/\sigma \ll 1</math> wird aus dem Voigt-Profil nahezu ein Gauß-Profil. Die logarithmische Darstellung (die Gaußkurve erscheint dann als Parabel) lässt jedoch erkennen, dass sehr weit von der Linienmitte entfernt immer noch das Lorentz-Profil hervortritt, allerdings dann auf sehr niedrigem Niveau.

Der Fall <math>\gamma/\sigma \gg 1</math> entspricht durchwegs irdischen Bedingungen, denen etwa die [[Spektrallinien]] der in der [[Erdatmosphäre]] vorhandenen Moleküle unterworfen sind. Der Fall <math>\gamma/\sigma = 1</math> oder gar <math>\gamma/\sigma \ll 1</math> setzt niedrige Drücke und hohe Temperaturen voraus, wie sie zumeist für Sternatmosphären charakteristisch sind.

== Literatur ==

* Woldemar Voigt: ''Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums.'' Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Band 25, 1912, S. 603–620, ([https://publikationen.badw.de/de/003395768 online]).
* Z. Shippony, W. G. Read, ''A Highly Accurate Voigt Function Algorithm.'' In: ''Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer.'' Bd. 50, Nr. 6, 1993, {{ISSN|0022-4073}}, S. 635–645, {{doi|10.1016/0022-4073(93)90031-C}}; Erratum: ''A Correction to a Highly Accurate Voigt Function Algorithm.'' ebenda Bd. 78, Nr. 2, 2003, S. 255, {{doi|10.1016/S0022-4073(02)00169-3}}.

== Einzelnachweise ==
<references/>

== Weblinks ==

* [https://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf Numerische C-Bibliothek für komplexe Fehlerfunktionen] von Steven G. Johnson und Joachim Wuttke, enthält eine Funktion ''voigt (x, sigma, gamma)'' mit ungefähr 13-stelliger Genauigkeit.

{{Navigationsleiste KUWahrscheinlichkeitsverteilungen}}

[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Voigt-Profil - Versionsgeschichte

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