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2024-08-03T20:16:25Z

Mathematische Formulierung: Satzbau korrigiert

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Die [[Himmelsmechanik|himmelsmechanische]] '''Vis-Viva-Gleichung''' liefert die lokale [[Geschwindigkeit]] von Körpern auf [[Keplerbahn]]en um einen dominierenden Himmelskörper, der durch seine [[Gravitation]] die anderen Körper beeinflusst. Durch den dominierenden Himmelskörper kann das System näherungsweise je Körper einzeln als [[Zweikörperproblem]] beschrieben werden, wobei die Einflüsse der verschiedenen Körper untereinander vernachlässigt werden. Die Keplerbahnen sind [[Kegelschnitt]]e, also Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln, um den gemeinsamen [[Baryzentrum|Schwerpunkt]], die durch die beiden Parameter der [[Große Halbachse|großen Halbachse]] und der [[Exzentrizität (Astronomie)|Exzentrizität]] beschrieben werden.

Die Vis-Viva-Gleichung basiert auf dem [[Energieerhaltungssatz]] und dem [[Drehimpulserhaltungssatz]], nach denen die Summe aus der [[Kinetische Energie|kinetischen]] und [[Potentielle Energie|potentiellen Energie]] beziehungsweise der [[Drehimpuls]] im [[Gravitationspotential]] konstant ist. Die Erhaltungssätze folgen daraus, dass das Gravitationspotential zeitlich konstant ist und nur von der Entfernung vom Zentrum, nicht aber vom Winkel abhängt; die Vis-Viva-Gleichung selbst benötigt als Anforderung vom Potential nur noch, dass die radiale Abhängigkeit [[Antiproportionalität|umgekehrt proportional]] zum Radius ist.

Die kinetische Energie ist nur abhängig von der Geschwindigkeit des Körpers auf der Bahn und die potentielle Energie nur von der Entfernung. Dadurch ermöglicht die Vis-Viva-Gleichung eine Verknüpfung von Geschwindigkeit und momentaner Position des Körpers. Neben dem [[Gravitationsparameter]] des Systems geht als weiterer Parameter in die Gleichung nur die große Halbachse, nicht aber die Exzentrizität der Bahn des umlaufenden Objekts ein.

Etymologisch bezieht sich die Vis-Viva-Gleichung auf die ''[[vis viva]]'', zu deutsch ''lebendige Kraft'', in moderner Terminologie das Doppelte der kinetischen Energie.

== Mathematische Formulierung ==
Die Vis-Viva-Gleichung für die Momentangeschwindigkeit eines Körpers, der sich auf einer Bahn um einen anderen Körper befindet, lautet:
:<math>v^2 = G (M+m) \left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)</math>
Dabei ist <math>r</math> der Abstand der beiden Körper, <math>v^2</math> das Quadrat der Relativgeschwindigkeit zwischen den Körpern, <math>a</math> die [[große Halbachse]] der Bahn (<math>a > 0</math> für eine Ellipse, <math>a \to \infty</math> für eine Parabel und <math>a < 0</math> für eine Hyperbel), <math>G</math> die [[Gravitationskonstante]] und schließlich sind <math>m</math> sowie <math>M</math> die Massen der beiden Körper.

=== Herleitung ===
Die Herleitung der Vis-Viva-Gleichung folgt dem Energie- und Drehimpulserhaltungssatz. Beim [[Zweikörperproblem]] der Gravitation zweier Körper mit den Massen <math> m</math> und <math> M</math> im Abstand <math> r</math> ist die Gesamtenergie durch
:<math>E_{\text{ges}} = \frac{1}{2} (m + M) v_s^2 + \frac{1}{2} \mu v^2 - G \frac{m M}{r}</math>
gegeben, wobei <math>v_s</math> die Geschwindigkeit des Schwerpunkts beschreibt und <math> \mu</math> die [[reduzierte Masse]] des Systems ist, definiert durch
:<math>\mu = \frac{m M}{m + M}</math>.
Ist einer der beiden Körper deutlich schwerer als der andere, gilt also <math> M \gg m</math>, dann ist <math>\mu \approx m</math>.

Das Geschwindigkeitsquadrat schreiben wir in Polarkoordinaten <math> (r,\varphi)</math>:
:<math>v^2 = \dot r^2+r^2\dot\varphi^2</math>,
wobei <math>\dot r</math> die Geschwindigkeit in radialer Richtung zum Schwerpunkt bezeichnet. Aufgrund der [[Drehimpuls#Ebene_Bahn,_Flächensatz|Drehimpulserhaltung]] beim [[Zweikörperproblem#Drehimpulserhaltung| Zweikörperproblem]]
:<math>L = \mu r^2\dot\varphi=\text{konstant}\qquad\Rightarrow\qquad\dot\varphi=\frac{L}{\mu r^2}\qquad\text{und damit}\qquad v^2 = \dot r^2+\frac{L^2}{\mu^2 r^2},</math>
kann die Gesamtenergie mit dem Betrag des Drehimpulses <math>L</math> in
:<math> E_{\text{ges}} = \frac{1}{2}(m + M) v_s^2 + \frac{1}{2} \mu \dot r^2 + \frac{L^2}{2\mu r^2} - G \frac{m M}{r}=: \frac{1}{2}(m + M) v_s^2 +E</math>

umgeformt werden. Im Schwerpunktssystem ist <math> v_s=0</math>.

Aus dem Energieerhaltungssatz folgt für zwei beliebige Abstände <math>r_1</math> und <math>r_2</math> im Schwerpunktssystem:
:<math>\frac{ \mu}{2} \dot r_1^2 + \frac{L^2}{2\mu r_1^2} - G \frac{mM}{r_1} = \frac{ \mu}{2} \dot r_2^2 + \frac{L^2}{2\mu r_2^2} - G\frac{mM}{r_2}</math>
An den beiden Punkten, die auf einer Keplerbahn dem Zentralkörper am nächsten und entferntesten sind, der [[Periapsis]] <math>r_P</math> und der [[Apoapsis]] <math>r_A</math>, verschwindet die radiale Komponente der Geschwindigkeit und es gilt somit
:<math> \frac{ L^2}{2\mu r^2_P} - G \frac{mM}{r_P} = \frac{ L^2}{2\mu r^2_A} - G\frac{mM}{r_A}\qquad\text{oder}\qquad\frac{ L^2}{2\mu}\left(\frac{1}{r_P^2}-\frac{1}{r_A^2}\right)=GmM\left(\frac{1}{r_P}-\frac{1}{r_A}\right)</math>
Daraus ergibt sich das Quadrat des Drehimpulses zu
:<math>L^2 = 2\mu G mM \left(\frac{r_A r_P}{r_A + r_P}\right)</math>

und die Energie zu
:<math> E =\frac{ L^2}{2\mu r^2_P} - G \frac{mM}{r_P} =GmM\left(\frac{r_A }{r_P(r_A + r_P)}-\frac{1}{r_P}\right)= - G \frac{mM}{r_A + r_P}</math>
Aus der Geometrie der Kegelschnitte folgt mit <math>\textstyle a = \frac{r_P + r_A}{2}</math>
:<math> E = - G \frac{Mm}{2a}</math>.
Aus dieser Gleichung folgt mit der Definition der Energie <math>E</math>
:<math> E=\frac{1}{2} \mu v^2 - G \frac{m M}{r}= - G \frac{mM}{2a}\qquad\Rightarrow\qquad v^2 = 2 G \frac{mM}{\mu r}- G \frac{mM}{\mu a} = G(m+M) \left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)</math>
mit <math>mM/\mu=m+M</math>.

=== Kosmische Geschwindigkeiten ===
Ist <math>a = r</math> für alle <math>r</math>, entartet die Kepler-Bahn zu einer Kreisbahn; der Körper besitzt überall den gleichen Abstand <math>r</math> vom Schwerpunkt und entsprechend überall dieselbe Geschwindigkeit
:<math>v_1 = \sqrt{\frac{ G(m+M) }{r}}</math>,
die ''Kreisbahngeschwindigkeit'' oder [[erste kosmische Geschwindigkeit]].

Damit ein Körper den Einfluss des Zentralgestirns überwinden kann, muss die große Halbachse unendlich groß werden, es gilt also mit <math>a \to \infty</math>:
:<math>v_2=\sqrt {\frac {2G(m+M)}{r}} = v_1 \cdot \sqrt 2</math>
Diese Geschwindigkeit heißt ''Fluchtgeschwindigkeit'' oder [[zweite kosmische Geschwindigkeit]]. Die Umlaufbahn des Körpers ist dann nicht mehr geschlossen, sondern offen. Ist die Umlaufgeschwindigkeit des Körpers dabei genau gleich <math>v_2</math>, ist die Umlaufbahn eine Parabel, bei größeren Umlaufgeschwindigkeiten dagegen (bei ansonsten gleichbleibendem Abstand <math>r</math>) eine Hyperbel und die große Halbachse <math>a </math> wird (formell) negativ.

== Beispiel: Bahngeschwindigkeiten im Sonnensystem ==
Im [[Sonnensystem]] ist die Sonne der dominierende Zentralkörper. Die Masse der Erde beträgt z. B. nur 1/330.000 der Sonnenmasse und kann bei der Anwendung der Vis-Viva-Gleichung vernachlässigt werden – der Fehler ist kleiner als die Vernachlässigung von [[Bahnstörung]]en durch Jupiter. Mit vernachlässigtem <math>m</math> ist <math>GM</math> für das jeweilige Zentralgestirn eine Konstante, und es liegt nahe, diese Konstante bis auf eine Längeneinheit aus der Wurzel herauszuziehen und als Vorfaktor auszurechnen.

Entfernungen im Sonnensystem liegen oft in [[Astronomische Einheit|Astronomischen Einheiten]] vor. Der Vorfaktor hat dann den Wert
:<math>\sqrt{GM/1\,\text{AE}} = 2\pi\,\text{AE pro Jahr} \approx 0{,}01720\,\text{AE pro Tag} \approx 29{,}785\,\text{km/s} \,</math>,
die mittlere Bahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne, der auch [[Gaußsche Gravitationskonstante]] genannt wird.

Für die Geschwindigkeiten der Erde im Perihel und im Aphel gilt mit einer Entfernung <math>r_\mathrm P = 0{,}983\,\text{AE}</math> bzw. <math>r_\mathrm A = 1{,}017\,\text{AE}</math> und der großen Halbachse <math>a = 1 \,\text{AE}</math>
:<math>v_\text{P} = 29{,}785 \,\text{km/s} \sqrt {\frac{2}{0{,}983} - \frac{1}{1}} = 30{,}296 \,\text{km/s}</math>
:<math>v_\text{A} = 29{,}785 \,\text{km/s} \sqrt {\frac{2}{1{,}017} - 1} = 29{,}284 \,\text{km/s}</math>

und für den Kometen [[Tschurjumow-Gerassimenko]] im Perihel mit <math>r_\mathrm P = 1{,}289\,\text{AE}</math>, im Aphel mit <math>r_\mathrm A = 5{,}717\,\text{AE}</math> bei einer großen Halbachse von <math>a = 3{,}503\,\text{AE}</math>:
:<math>v_\text{P} = 29{,}785\,\text{km/s} \sqrt {\frac{2}{1{,}289} - \frac{1}{3{,}503}} = 33{,}51\,\text{km/s}</math>
:<math>v_\text{A} = 29{,}785\,\text{km/s} \sqrt {\frac{2}{5{,}717} - \frac{1}{3{,}503}} = 7{,}56\,\text{km/s}</math>

== Literatur ==
* [[Ernst Messerschmid]], Stefanos Fasoulas: ''Raumfahrtsysteme. Eine Einführung mit Übungen und Lösungen.'' 2., aktualisierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21037-7, S. 71–86.

{{SORTIERUNG:Visvivagleichung}}
[[Kategorie:Himmelsmechanik]]
[[Kategorie:Raumfahrtphysik]]
[[Kategorie:Kinematik]]

Vis-Viva-Gleichung - Versionsgeschichte

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