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2023-04-04T17:57:56Z

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Die '''Virasoro-Algebra''' ist eine unendlichdimensionale [[Lie-Algebra]] und gehört damit in den Bereich der [[Mathematik]]. Sie findet Verwendung in der [[mathematische Physik|mathematischen Physik]], insbesondere in der [[Stringtheorie]] und in der [[konforme Feldtheorie|konformen Feldtheorie]].
Dort wird sie als [[Algebra (Struktur)|Algebra]] über den komplexen Zahlen behandelt, anstelle der komplexen Zahlen sind aber auch beliebige [[Körper (Algebra)|Körper]] der [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] 0 verwendbar.
Sie wurde 1970 von [[Miguel Virasoro]] im Rahmen der Stringtheorie eingeführt. In der Mathematik spielt sie eine wichtige Rolle bei der Konstruktion der [[Monstergruppe]].

== Konstruktion ==
Ausgangspunkt ist die [[Witt-Algebra]] <math>W</math> über einem Körper <math>K</math> der Charakteristik 0 (zum Beispiel <math>\Complex</math>), die von Elementen <math>l_n, n\in \Z</math> mit den Kommutatorrelationen <math>[l_m,l_n]\,=\,(m-n)l_{m+n}</math> erzeugt werde.
Eine Virasoro-Algebra <math>V</math> ist definiert als [[zentrale Erweiterung]] dieser Witt-Algebra. Das heißt, es gibt eine [[kurze exakte Sequenz]] von Lie-Algebren

:<math> 0 \rightarrow K\cdot c \rightarrow V \rightarrow W \rightarrow 0 </math>.

Hierbei ist <math>K\cdot c</math> ein eindimensionaler Vektorraum, den man sich in <math>V</math> enthalten denken kann.
Dabei soll <math>c</math> im [[Zentrum (Algebra)|Zentrum]] von <math>V</math> liegen, man bezeichnet <math>c</math> manchmal auch als „zentrale Ladung“ der Virasoro-Algebra.
Die Virasoro-Algebra <math>V</math> wird dann von <math>c</math> und Elementen <math>L_n</math>, die Urbilder der <math>l_n</math> sind, erzeugt.
Für die [[Kommutator (Mathematik)|Kommutatorrelationen]] hat man gewisse Wahlmöglichkeiten. Eine zweckmäßige Wahl ist

:<math>[L_m,L_n]=(m-n)\cdot L_{m+n} + \frac{c}{12}(m^3-m)\delta_{m+n,0}</math> für alle <math>m,n\in\Z</math>.

Dabei steht <math>\delta</math> für das [[Kronecker-Delta]], und da <math>c</math> im Zentrum von V ist, gilt <math>[v,c]=0</math> für alle <math>v\in V</math>. Man nennt <math>\tfrac{c}{12}(m^3-m)\delta_{m+n,0}</math> den zentralen Anteil der Kommutatorrelation; diesen Anteil kann man im allgemeinsten Fall als <math>\alpha m^3+\beta m</math> mit <math>\alpha, \beta \in K</math> wählen.
Die vorliegende Wahl wird dadurch motiviert, dass <math>m^3-m</math> für <math>m=-1,0,1</math> verschwindet und daher <math>K\cdot L_{-1} + K\cdot L_0 + K\cdot L_1 \subset V </math> in obiger Sequenz isomorph auf <math>K\cdot l_{-1} + K\cdot l_0 + K\cdot l_1 \subset W</math> abgebildet wird, wobei letzteres eine zur [[sl(2,C)|sl(2,K)]] isomorphe Lie-Algebra ist.
Der Faktor <math>\tfrac{1}{12}</math> ist lediglich eine bequeme Konvention.

== Äquivalenzen ==
Zwei zentrale Erweiterungen der Witt-Algebra
<math> 0 \rightarrow K\cdot c \, \stackrel{i_1}{\rightarrow}\, V_1 \, \stackrel{p_1}{\rightarrow} \, W \rightarrow 0 </math>
und
<math> 0 \rightarrow K\cdot c \, \stackrel{i_2}{\rightarrow}\, V_2 \, \stackrel{p_2}{\rightarrow} \, W \rightarrow 0 </math>
heißen ''äquivalent'', wenn es einen Lie-Algebren-[[Isomorphismus]] <math>\phi \colon V_1\to V_2</math> gibt mit <math>i_2 = \phi\circ i_1</math> und <math>p_1 = p_2\circ \phi</math> gibt.

Man kann zeigen, dass es bis auf Äquivalenz nur eine zentrale Erweiterung <math> 0 \rightarrow K\cdot c \rightarrow V \rightarrow W \rightarrow 0 </math> gibt, die nicht äquivalent zu einer [[semidirekte Summe|semidirekten Summe]] <math>K\cdot c \oplus W</math> ist, nämlich die oben eingeführte Virasoro-Algebra.

== Quellen ==
* [[Igor Frenkel]], [[James Lepowsky]], [[Arne Meurman]]: ''Vertex Operator Algebras and the Monster'', Academic Press, New York (1988) ISBN 0-12-267065-5

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[[Kategorie:Lie-Algebra]]

Virasoro-Algebra - Versionsgeschichte

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