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Ein '''Vierervektor''', ein Begriff der [[Relativitätstheorie]], ist ein [[Vektor]] in einem reellen, [[vierdimensional]]en Raum mit einem [[Definitheit|indefiniten]] Längenquadrat. Beispielsweise sind die Zeit- und Ortskoordinaten eines Ereignisses in der [[Raumzeit]] die Komponenten eines Vierervektors, ebenso die Energie und der Impuls eines Teilchens.

In zwei gegeneinander bewegten [[Inertialsystem]]en lassen sich die Komponenten der beiden Vierervektoren durch eine [[Lorentz-Transformation]] ineinander überführen.

== Schreibweise ==
Man verwendet die Abkürzungen
* <math>a^\mu = (a^0, a^1, a^2, a^3)</math> für die [[Kovarianz (Physik)|kontravariante]]
* <math>a_\mu = (a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (a^0, -a^1 ,-a^2, -a^3)</math> für die kovariante Darstellung eines Vierervektors. ''(Details zu [[Vierervektor#Ko- und kontravariante Vektoren|kontra- und kovarianten]] Vektoren [[Vierervektor#Ko- und kontravariante Vektoren|↓]])''
Meist werden griechische Indizes verwendet, wenn diese die Werte 0, 1, 2, 3 durchlaufen, während lateinische Indizes nur die Werte 1, 2, 3 der räumlichen Koordinaten durchlaufen. Dabei werden in der [[Relativitätstheorie]] bevorzugt die Buchstaben <math>\mu,\nu</math> geschrieben.

Hierbei wurde die Metrik des [[Minkowskiraum]]s der speziellen Relativitätstheorie benutzt und der zugehörige [[Metrischer Tensor|metrische Tensor]] <math>\eta_{\mu \nu}</math>, in der Allgemeinen Relativitätstheorie ist der (ortsabhängige) metrische Tensor <math>g_{\mu \nu}</math> zu wählen.

== Ortsvektor ==
Der Ortsvektor oder Orts-Vierervektor eines Teilchens beinhaltet sowohl die Zeitkoordinate <math>t</math> als auch die Raumkoordinaten <math>\mathbf x = (x,y,z)</math> eines Ereignisses. Die Zeitkoordinate wird in der Relativitätstheorie mit der [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math> multipliziert, so dass sie wie die Raumkoordinaten die [[Dimension (Physik)|Dimension]] einer Länge hat.

Die kontravariante Darstellung des Orts-Vierervektors ist

:<math>x^\mu = (ct, x, y, z) = (ct, \mathbf x)</math>.

Dass <math>x^\mu</math> ein kontravarianter Vierervektor ist, folgt daraus, dass er ein Koordinatenvektor zu einer [[orthonormal]]en [[Basis (Vektorraum)|Basis]] des Minkowskiraums ist und sich dementsprechend bei Basiswechsel kontravariant mittels einer Lorentz-Transformation ändert.

In der [[Metrischer Tensor|Metrik]] der flachen Raumzeit hat die Zeitkoordinate das entgegengesetzte [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] der drei Raumkoordinaten:

:<math>\mathrm d s^2 = c^2 \mathrm d t^2 - \mathrm d x^2 - \mathrm d y^2 - \mathrm d z^2</math>

Die Metrik hat also die [[Signatur (lineare Algebra)|Signatur]] (+ − − −) oder (− + + +). Insbesondere in Texten zur speziellen Relativitätstheorie wird überwiegend die erste Signatur verwendet, dies ist aber nur eine Konvention und variiert je nach Autor.

== Abgeleitete Vierervektoren ==
Aus dem Orts-Vierervektor lassen sich weitere Vierervektoren ableiten und definieren.

=== Vierergeschwindigkeit ===
Der Vierervektor <math>u^\mu</math> der Geschwindigkeit ergibt sich durch [[Differentialrechnung|Differentiation]] des Ortsvektors <math>x^\mu</math> nach der [[Eigenzeit]] <math>d\tau</math>:

:<math>u^\mu = \frac{\mathrm d x^\mu}{\mathrm d \tau}</math>

mit der Eigenzeit <math>\tau</math>, die über die [[Zeitdilatation]] mit der Koordinatenzeit <math>t</math> verknüpft ist:

:<math>\mathrm d \tau = \frac{1}{\gamma} \, \mathrm d t,</math>

mit dem [[Lorentz-Faktor]] <math>\gamma = \frac 1 {\sqrt{1 - \left( \dfrac{\mathbf v}{c} \right) ^2}}.</math>

Daraus folgt für die Vierergeschwindigkeit:

:<math>u^\mu = \gamma\ \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(c\ t,\ x,\ y,\ z) = \gamma\ \left(c,\ \dot x,\ \dot y,\ \dot z\right) = \gamma\ (c,\ \mathbf v)</math>

Die [[Norm (Mathematik)|Norm]] der Vierergeschwindigkeit ergibt sich sowohl in der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen]] als auch in der [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] zu

:<math>|u^\mu| = \sqrt{u^\mu\ u^\nu\ \eta_{\mu\nu}} = \sqrt{u_\mu\ u^\mu}= \sqrt{\gamma^2\ (c^2\ -\ \mathbf v^2)} = c</math> .

=== Viererimpuls ===
Der [[Viererimpuls]] wird analog zum klassischen [[Impuls]] definiert als

:<math>p^\mu\ =\ m\ u^\mu = (\gamma\ m\ c,\ \gamma\ m\ \mathbf v),</math>

wobei <math>m</math> die [[Masse (Physik)|Masse]] des Körpers ist. Im Vergleich mit der [[Newtonsche Gesetze|Newtonschen Mechanik]] wird die Kombination <math>\gamma m</math> zuweilen als „dynamisch zunehmende Masse“ („[[relativistische Masse]]“) interpretiert und <math>m</math> als „Ruhemasse“ bezeichnet, was allerdings leicht zu falschen Schlussfolgerungen durch eine hier unangemessene klassische Betrachtungsweise führen kann. Im konsequenten Vierer[[kalkül]] ohne Bezug auf die nicht-relativistische Physik ist nur die koordinatenunabhängige Masse <math>m</math> von praktischer Bedeutung.

Mit der [[Äquivalenz von Masse und Energie]] <math>E\ =\ \gamma\ m\ c^2</math> kann der Viererimpuls geschrieben werden als

:<math>p^\mu\ =\ \left( E/c,\ \mathbf p \right)</math>

mit dem [[Relativistischer Impuls|relativistischen räumlichen Impuls]] <math>\mathbf p\ =\ \gamma\ m\ \mathbf v</math>, der sich vom klassischen Impulsvektor um den Lorentz-Faktor <math>\gamma</math> unterscheidet.

Da der Viererimpuls die Energie und den räumlichen Impuls vereinigt, wird er auch als ''[[Energie-Impuls-Vektor]]'' bezeichnet.

Aus dem Quadrat der Norm des Viererimpulses <math>p_\mu\ p^\mu</math> ergibt sich die ''[[Energie-Impuls-Relation|Energie-Impuls-Beziehung]]''

:<math>E^2\ -\ \mathbf p^2\ c^2\ =\ m^2\ c^4,</math>

aus der eine zeit- und ortsunabhängige [[Hamilton-Funktion]] für [[Freies Teilchen|freie]], relativistische Teilchen abgeleitet werden kann.

=== Viererbeschleunigung ===
Durch nochmaliges Ableiten der Vierergeschwindigkeit <math>u^\mu\ =\ \frac{\mathrm d x^\mu}{\mathrm d \tau}</math> nach <math>\tau</math> erhält man die Viererbeschleunigung.

Die 0-te Komponente der Viererbeschleunigung bestimmt sich zu

:<math>\frac{\mathrm d u^0}{\mathrm d \tau}\ =\ c\ \frac{\mathrm d}{\mathrm d \tau}\ \gamma\ =\ c\ \frac{\mathrm d t}{\mathrm d \tau} \ \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \gamma\ =\ c\ \gamma\ \cdot\ \frac{\gamma^3}{c^2}\ \left(\mathbf v\ \cdot\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)\ =\ \frac{\gamma^4}{c}\ \left(\mathbf v\ \cdot\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right).</math>

Die räumlichen Komponenten der Viererbeschleunigung lauten

:<math>\frac{\mathrm d u^j}{\mathrm d \tau}\ =\ \frac{\mathrm d t}{\mathrm d \tau}\ \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\left(\gamma\ \mathbf v\right)\ =\ \gamma\ \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\left(\gamma\ \mathbf v\right)\ =\ \frac{\gamma^4}{c^2}\ \left(\mathbf v\ \cdot\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)\ \cdot\ \mathbf v\ +\ \gamma^2\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}.</math>

Insgesamt erhält man für die Viererbeschleunigung das Ergebnis

:<math>\frac{\mathrm d u^\mu}{\mathrm d \tau}\ =\ \frac{\gamma^4}{c^2}\ \mathbf v\ \cdot\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\ (c,\ \mathbf v)\ +\ \gamma^2\ \left(0,\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right).</math>

Die Viererbeschleunigung besteht aus einem Teil mit Faktor <math>\frac{\gamma^4}{c^2}</math> und einem Teil mit <math>\gamma^2</math>. Man erhält also für Beschleunigungen parallel und orthogonal zu <math>\mathbf v</math> unterschiedliche Viererbeschleunigungen. Mit der [[Graßmann-Identität]]

:<math>\mathbf v\ \times\ \left(\mathbf v\ \times\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)\ =\ \mathbf v\ \left(\mathbf v\ \cdot\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)\ -\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\ \left(\mathbf v\ \cdot\ \mathbf v\right)</math>

kann man den Ausdruck für den räumlichen Teil des Vierervektors umformen. Man findet, dass

:<math>\frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\ +\ \frac{1}{c^2}\ \left(\mathbf v\ \times\ \left(\mathbf v\ \times\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)\right)\ =\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\ \left(1\ -\ \frac{\mathbf v^2}{c^2}\right)\ +\ \frac{1}{c^2}\ \mathbf v\ \left(\mathbf v\ \cdot\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)\ =\ \frac{1}{\gamma^2}\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\ +\ \frac{1}{c^2}\ \mathbf v\ \left(\mathbf v\ \cdot\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)</math>

ist. Es folgt

:<math>\frac{\mathrm d u^j}{\mathrm d \tau}\ =\ \gamma^4\ \left(\frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\ +\ \frac{1}{c^2}\ \left(\mathbf v\ \times\ \left(\mathbf v\ \times\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)\right)\right).</math>

und somit insgesamt

:<math>\frac{\mathrm d u^\mu}{\mathrm d \tau}\ =\ \gamma^4\ \left(\frac{1}{c}\ \mathbf v\ \cdot\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t},\ \ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\ +\ \frac{1}{c^2}\ \left(\mathbf v\ \times\ \left(\mathbf v\ \times\ \frac{\mathrm d \mathbf v}{\mathrm d t}\right)\right)\right)</math>

=== Viererkraft und Bewegungsgleichung {{Anker|Minkowskikraft}} {{Anker|Viererkraft}} ===
Wie bereits beim Viererimpuls kann eine '''Viererkraft''', auch '''Minkowskikraft''' genannt, analog zur entsprechenden newtonschen [[Kraft]] definiert werden:

:<math>K^\mu = \frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d \tau} = \gamma \frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d t}</math>

Dies ist die [[Bewegungsgleichung]] der speziellen Relativitätstheorie. Sie beschreibt beschleunigte Bewegungen in einem [[Inertialsystem]].

Weiter kann die Viererkraft mit der newtonschen Kraft <math>\mathbf{F}</math> in Beziehung gesetzt werden: In dem ''Inertialsystem, in dem die Masse annähernd ruht'' (sie ruhe zum Zeitpunkt <math>t = 0</math>, dann gilt für genügend kleines <math>t</math> wegen der beschränkten Beschleunigung:<math>v \ll c</math>), muss die klassische Newtonsche Gleichung gelten:

:<math>\begin{pmatrix}
0 \\
\mathbf F
\end{pmatrix} = \frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d t} = \frac{1}{\gamma}\frac{\mathrm d p^\mu}{\mathrm d \tau} \Rightarrow \mathbf F = \frac{1}{\gamma} K^i \Leftrightarrow K^i= \gamma \, \mathbf F</math>

mit dem räumlichen Teil <math>K^i = (K^1, K^2, K^3)</math> der Viererkraft.

In einem ''beliebigen Inertialsystem'' gilt
:<math>\begin{pmatrix}
K^0 \\
K^1 \\
K^2 \\
K^3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{c}\mathbf u \mathbf F \\
\mathbf F_{\perp \mathbf u} + \gamma \mathbf F_{\| \mathbf u}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{c}\mathbf u \mathbf F \\
\left ( \mathbf F - \frac{\mathbf u \mathbf F}{u} \frac{\mathbf u}{u} \right ) + \gamma \frac{\mathbf u \mathbf F}{u} \frac{\mathbf u}{u}
\end{pmatrix}</math>,
wobei <math>\mathbf u = \gamma \mathbf v</math> der räumliche Anteil der Vierergeschwindigkeit ist. Das heißt, der Raumanteil der Minkowskikraft ist die Newtonsche Kraft, wobei der zur Geschwindigkeit parallele Anteil mit <math>\gamma</math> multipliziert ist.

Die durch die Beschleunigung mit <math>K^\mu</math> übertragene [[Leistung (Physik)|Leistung]] ist <math>c K^0</math>.

In dem Spezialfall, dass eine Newton’sche Kraft <math>\mathbf F</math> ''allein parallel'' zur Geschwindigkeit wirkt, folgt aus der Bewegungsgleichung für Vierervektoren der Zusammenhang zwischen Newton’scher Kraft und räumlicher Beschleunigung:

:<math>\mathbf F = \gamma^3 m\mathbf a</math>

Für räumliche Kräfte ''senkrecht zur Bewegungsrichtung'' folgt hingegen

:<math>\mathbf F = \gamma m\mathbf a</math>.

Der bei Impulsbetrachtungen zuweilen eingeführte Begriff einer „dynamischen“ [[Relativistische Masse|relativistischen Masse]] für den Term <math>\gamma m</math> ist daher im Vergleich mit der [[Newtonsche Axiome#Zweites Newtonsches Gesetz|Newton’schen Bewegungsgleichung]] missverständlich. Denn für beliebige Raumrichtungen ist der Zusammenhang zwischen den räumlichen Größen <math>\mathbf F</math> und <math>\mathbf a</math> zwar [[Lineare Abbildung|linear]], aber keine einfache Proportionalität.

== Ko- und kontravariante Vektoren ==
Die Komponenten eines ''kontravarianten'' Vierervektors <math>a</math> gehen bei [[Lorentztransformation]]en <math>\Lambda</math> über in:

:<math>a^\prime = \Lambda \, a</math>

Man schreibt seine Komponenten mit oben stehenden Zahlen: <math>a = (a^0, a^1, a^2, a^3)</math>

Die Komponenten eines ''kovarianten'' Vierervektors folgen dem [[Kontragrediente Darstellung|kontragredienten]] (entgegengesetzten) Transformationsgesetz:

:<math>b^\prime = \Lambda^{-1 \, \text{T}} \, b</math>

Man schreibt seine Komponenten mit unten stehenden Zahlen: <math>b = (b_0, b_1, b_2, b_3)</math>

Die beiden Transformationsgesetze sind nicht gleich, aber [[Äquivalenzrelation|äquivalent]], denn definitionsgemäß erfüllen sie:

:<math>\Lambda^{-1 \, \text{T}} = \eta \, \Lambda \, \eta^{-1}</math>

mit der üblichen [[Minkowski-Metrik]] der SRT:

:<math>\eta_{\mu \nu} = \mathrm{diag}(1, -1, -1, -1) = \eta^{\mu \nu}</math>

Daher ergibt

:<math> a_{\mu} = (a_0, a_1, a_2, a_3) = \eta_{\mu \nu} a^{\nu} = \eta \, a = (a^{0}, -a^{1}, -a^{2}, -a^{3}) </math>

die Komponenten des kovarianten Vektors, der dem kontravarianten Vektor <math>a </math> zugeordnet ist.

Dabei wird bei den Vierervektorindizes die [[Einsteinsche Summenkonvention]] verwendet. Das innere Produkt zweier Vierervektoren im Minkowskiraum ist gegeben durch:

:<math>a_{\mu} b^{\mu} = \eta_{\mu \nu} a^{\nu} b^{\mu} = a_0 b_0 - a_1 b_1 -a_2 b_2 - a_3 b_3</math>

Beispielsweise sind die [[partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] einer Funktion <math>f(x)</math> die Komponenten eines kovarianten Vektors.

Lorentztransformationen bilden <math>x</math> ab auf:

:<math>x^\prime = \Lambda \, x</math>

und definieren die transformierte Funktion <math>f^\prime = f\circ \Lambda^{-1}</math> durch die Forderung, dass sie am transformierten Ort denselben Wert habe, wie die ursprüngliche Funktion am ursprünglichen Ort:

:<math>f^\prime(x^\prime) = f(x)</math>

mit

:<math>f^\prime(x) = f(\Lambda^{-1} \, x)</math>

Die partiellen Ableitungen transformieren wegen der Kettenregel kontragredient:

:<math>\frac{\partial f^\prime}{\partial x^m}(x) =
\frac{\partial (\Lambda^{-1}x)^n}{\partial x^m}\,
\frac{\partial f}{\partial y^n}_{|_{y=\Lambda^{-1}\,x}} =
\Lambda^{-1\,n}{}_m\,
\frac{\partial f}{\partial y^n}_{|_{y=\Lambda^{-1}\,x}} =
\Lambda^{-1 \,\text{T}}{}_m{}^n\,
\frac{\partial f}{\partial y^n}_{|_{y=\Lambda^{-1}\,x}}
</math>

== Siehe auch ==
* [[Vierertensor]]

== Literatur ==
* [[Lew Dawidowitsch Landau| L. D. Landau]]: ''Lehrbuch der theoretischen Physik.'' Band 2: L. D. Landau, [[Jewgeni Michailowitsch Lifschitz|E. M. Lifschitz]]: ''Klassische Feldtheorie.'' 12. überarbeitete Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun u. a. 1997, ISBN 3-8171-1327-7.
* [[Torsten Fließbach|Torsten Fliessbach]]: ''Allgemeine Relativitätstheorie.'' BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14331-2 (mit einem Kapitel über Spezielle Relativitätstheorie).
* [[Walter Greiner]]: ''Theoretische Physik.'' Band 3a: Walter Greiner, [[Johann Rafelski]]: ''Spezielle Relativitätstheorie.'' 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun u. a. 1989, ISBN 3-8171-1063-4.
* [[Reinhard Meinel]]: ''Spezielle und allgemeine Relativitätstheorie für Bachelorstudenten.'' 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2019, ISBN 978-3-662-58966-3.

== Weblinks ==
* Norbert Dragon [https://www.itp.uni-hannover.de/fileadmin/arbeitsgruppen/dragon/relativ.pdf Geometrie der Relativitätstheorie] (PDF; 2,4 MB).

[[Kategorie:Relativitätstheorie]]

Vierervektor - Versionsgeschichte

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