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2026-02-04T14:12:35Z

Massenschale: Symbol ist hier überflüssig

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Als '''Viererimpuls''' oder auch '''Energie-Impuls-Vektor''' eines Teilchens oder Systems bezeichnet man in der [[relativistische Physik|relativistischen Physik]] zusammenfassend seine [[Energie]] und seinen [[Impuls]] in Form eines [[Vierervektor]]s, d. h. eines Vektors mit vier Komponenten (Energie und drei Raumrichtungen des Impulses). In Analogie zu „[[Raumzeit]]“ prägten [[Edwin F. Taylor|Taylor]] und [[John Archibald Wheeler|Wheeler]] für den Viererimpuls die Bezeichnung '''Impenergie''' ({{enS|momenergy}}).<ref name="TaylorWheeler88" />

Der Viererimpuls ist eine [[Erhaltungsgröße]], d. h., er bleibt konstant, solange das Teilchen oder System keine Einwirkungen von außen erfährt.

== Elementare Zusammenhänge ==

=== Definition ===
Der Viererimpuls ist als [[Vierervektor]] definiert, wobei die Komponenten wie üblich von 0 bis 3 durchnummeriert werden. Die nullte Komponente ist die Energie, die drei anderen die drei räumlichen Komponenten des Impulsvektors <math>\vec p</math>:

: <math>\mathbf p = \begin{pmatrix} E / c \\ \vec p \end{pmatrix} </math>.

Die [[Lichtgeschwindigkeit]] hat hier die Rolle eines Skalierungsfaktors zwischen den klassische Größen „Ort“ und „Zeit“. Man kann die Größen und Maßeinheiten so definieren, dass der Skalierungsfaktor die Zahl 1 ist, dass also <math>c</math> in den Gleichungen einfach entfällt.<ref name="TaylorWheeler88" />

=== Zusammenhang mit der Geschwindigkeit ===

Für den Zusammenhang zwischen Energie <math>E</math> und Impuls <math>\vec p</math> eines Teilchens oder Systems der Masse <math>m</math> mit Geschwindigkeit <math>\vec v</math> ergibt sich:

:<math>
\begin{pmatrix}
E / c \\
\vec p
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\gamma\cdot m \, c \\
\gamma\cdot m \, \vec v
\end{pmatrix}
</math>,
wobei <math display="inline">\gamma = 1/\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c} \right) ^2}</math> der [[Lorentzfaktor|Lorentz-Faktor]] ist.

=== Energie-Impuls-Relation ===
Das [[Signatur (Lineare Algebra)#Signatur der Minkowski-Metrik|Längenquadrat des Viererimpulses]] ist – unabhängig von der Geschwindigkeit – immer gleich dem Quadrat der [[Masse (Physik)|Masse]] (skaliert mit <math>c^2</math>) und daher – wie jeder [[Skalar (Mathematik)|Skalar]] bzw. jedes [[Skalarprodukt]] von Vierervektoren – [[Invariante Masse|invariant]] unter [[Lorentz-Transformation]]:

:<math>\mathbf p^2 = \begin{pmatrix} E / c \\ \vec p \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} E / c\\ \vec p \end{pmatrix} = \frac{ E^2}{c^2} - \vec p^2 = m^2 c^2</math>

Im Minkowski-Raum ist das Skalarprodukt zweier Vierervektoren so definiert, dass das Produkt der nullten Komponenten und die Produkte der ersten bis dritten Komponente entgegengesetzte [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] erhalten – daher das Minuszeichen in der Formel.

=== Zusammenhang mit der Raumzeit ===
{| class="wikitable float-right" style="text-align:left; border:0;"
|- class="hintergrundfarbe5"
| class="hintergrundfarbe2" style="border:0;" colspan="2" |  
| style="text-align:center;" colspan="2" | Raumzeit
| style="text-align:center;" colspan="2" | Impenergie
| style="text-align:center;" | Verknüpfung
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="text-align:left; border-bottom:0px;" colspan="2" | Vierervektor
| style="border-right:0px; padding-right:0px;" | Raumzeitintervall || style="border-left:0px;" | <math> \mathrm d \mathbf x </math>
| style="border-right:0px; padding-right:0px;" | Viererimpuls || style="border-left:0px;" | <math> \mathbf p</math>
| <math> \mathbf p = \mathrm d \mathbf x \cdot \tfrac m {\mathrm d \tau} </math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="border-top:0px;" rowspan="3" |  
| class="hintergrundfarbe5" style="text-align:left; | 0-te Komponente
| style="border-right:0px;" | Zeitintervall || style="border-left:0px;" | <math> \mathrm d t \cdot c</math>
| style="border-right:0px;" | Energie || style="border-left:0px;" | <math>E/c</math>
| <math> E = \mathrm d t \cdot \tfrac m {\mathrm d \tau}\cdot c^2 </math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="text-align:left;" | 1.–3. Komponente
| style="border-right:0px;" | Ortsintervall || style="border-left:0px;" | <math>\mathrm d \vec x</math>
| style="border-right:0px;" | Impuls || style="border-left:0px;" | <math>\vec p</math>
| <math> \vec p = \mathrm d \vec x \cdot \tfrac m {\mathrm d \tau} </math>
|-
| class="hintergrundfarbe5" style="text-align:left;" | Betrag (invariant)
| style="border-right:0px;" | [[Eigenzeit]]<nowiki />intervall || style="border-left:0px;" | <math>\mathrm d\tau \cdot c</math>
| style="border-right:0px;" | Masse || style="border-left:0px;" | <math>m \cdot c</math>
| class="hintergrundfarbe2" style="border:0;" |  
|-
|}
Der Viererimpuls ermöglicht ebenso wie die vierdimensionale Raumzeit eine elegante und anschauliche Beschreibung von Energie und Impuls. Man sieht die Analogien zwischen den skalaren Größen Zeit und Energie sowie den Dreiervektoren Ort und Impuls. Die Masse (Ruheenergie) ist analog zur Eigenzeit.{{Absatz}}

=== Massenschale ===
[[Datei:Energy-momentum diagram for pion decay (A).png|mini|Zerfall eines ruhenden Pions in ein Myon und ein Antineutrino im Energie-Impuls-Raum (vereinfachte Darstellung mit nur einer Impulsdimension): Die Viererimpulse liegen auf den jeweiligen Massenschalen (π, μ: violett). Da (Anti-)Neutrinos fast masselos sind, ist ihre Massenschale (grün) fast gleich dem Vorwärtslichtkegel. Es gilt der Erhaltungssatz <math>\mathbf p_\pi = \mathbf p_\mu + \mathbf p_{\bar\nu}</math>. ]]

Die für die relativistische [[Kinematik]] grundlegende Energie-Impuls-Beziehung bedeutet geometrisch, dass die möglichen Viererimpulse von Teilchen der Masse <math>m</math> im vierdimensionalen [[Impulsraum]] (Impenergie-Raum) auf der durch die Gleichung

:<math>{E^2}/{c^2} - \vec p^2 = m^2\,c^2</math>

beschriebenen dreidimensionalen [[Hyperfläche]] liegen, die ein [[Hyperboloid#Zweischaliges Hyperboloid|zweischaliges Hyperboloid]] ist und deren [[Asymptote]]n den [[Lichtkegel]] des Impulsraumes bilden. Weil ein Viererimpuls stets zukunftsgerichtet ist (d. h. im Inneren des Vorwärtslichtkegels liegt), kommt nur eine der beiden Schalen des Hyperboloids in Frage, und zwar die durch die Gleichung
:<math>E/c = +\sqrt{\vec p^2 + m^2 c^2}</math>
beschriebene so genannte '''Massenschale'''.

Für [[Virtuelles Teilchen|virtuelle Teilchen]] gilt <math display="inline">E^2/c^2 - \vec p^2 \ne m^2c^2 </math>, wobei <math display="inline">m</math> die Masse desselben Teilchens in ''reellem'' Zustand ist. Im Fachjargon sagt man: Sie „liegen nicht auf der Massenschale.“ oder: Sie sind nicht „on-shell“, sondern „off-shell“.

=== Erhaltungssätze ===

Der Viererimpuls bleibt stets erhalten. Zum Beispiel gilt beim Zerfall eines negativ geladenen [[Pion]]s in ein [[Myon]] und ein [[Antineutrino]]:
:<math> \mathbf p_\mu + \mathbf p_{\bar\nu} = \mathbf p_\pi </math>.
Da dies für alle vier Vektorkomponenten separat gilt, entspricht es der klassischen [[Energieerhaltung|Energie-]] und [[Impulserhaltung]]. Die Masse bleibt hingegen nicht erhalten (außer wenn die Vektoren parallel sind), so wie auch in der klassischen Vektoraddition die Länge der Vektoren nicht additiv ist.
{{Absatz}}

== Herleitung der Geschwindigkeitsabhängigkeit von Energie und Impuls ==

Aus dem Postulat, dass Erhaltung des Viererimpulses <math>\mathbf p</math>, also die Energie- und Impulserhaltung, für jeden Beobachter gilt, lässt sich die Geschwindigkeitsabhängigkeit von Energie und Impuls mathematisch herleiten.

Wenn einem Teilchen eine additive Erhaltungsgröße <math>p_1</math> zukommt und einem anderen Teilchen die Erhaltungsgröße <math>p_2</math>, dann kommt dem System beider Teilchen die Erhaltungsgröße <math>p = p_1 + p_2</math> zu.
Auch ein bewegter Beobachter stellt bei beiden Teilchen Erhaltungsgrößen <math>p^\prime_1</math> und <math>p^\prime_2</math> fest, allerdings haben sie nicht unbedingt dieselben, sondern transformierte Werte. Es muss aber gelten, dass die Summe dieser Werte das Transformierte der Summe ist:

:<math>p_1^\prime + p_2^\prime = (p_1 + p_2)^\prime</math>

Ebenso kommt (für alle Zahlen <math>a</math>) einem vervielfachten System mit Erhaltungsgröße <math>a \, p</math> für den bewegten Beobachter die vervielfachte Erhaltungsgröße

:<math>(a \, p)^\prime = a \, p^\prime</math>

zu. Das besagt mathematisch, dass die Erhaltungsgrößen, die ein bewegter Beobachter misst, durch eine [[lineare Transformation]] <math>L</math>

:<math>p^\prime = L p</math>

mit den Erhaltungsgrößen des ruhenden Beobachters zusammenhängen.

Die lineare Transformation ist dadurch eingeschränkt, dass solch eine Gleichung für jedes Paar von Beobachtern gelten muss, wobei die [[Bezugssystem]]e der Beobachter durch [[Lorentz-Transformation|Lorentztransformationen]] <math>\Lambda</math> und Verschiebungen auseinander hervorgehen. Hängen die Bezugssysteme vom ersten und zweiten Beobachter durch <math>\Lambda_1</math> und vom zweiten zu einem dritten durch <math>\Lambda_2</math> zusammen, dann hängt das Bezugssystem vom ersten mit dem dritten durch
<math>\Lambda_2\circ\Lambda_1</math> zusammen. Genauso müssen die zugehörigen Transformationen der Erhaltungsgrößen

:<math>L(\Lambda_2) \circ L(\Lambda_1) = L(\Lambda_2 \circ \Lambda_1)</math>

erfüllen.

Im einfachsten Fall ist <math>L(\Lambda) = \Lambda</math>. Da Lorentztransformationen <math>4 \times 4</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] sind, betrifft also das einfachste, nichttriviale Transformationsgesetz, bei dem nicht einfach <math> p^\prime = p</math> gilt, vier Erhaltungsgrößen <math>p</math>, die wie die [[Raumzeit]]<nowiki/>koordinaten als Vierervektor transformieren:

:<math> \mathbf p^\prime = \Lambda \mathbf p</math>


Insbesondere ändert sich ein ruhendes Teilchen nicht bei Drehungen. Daher ändern sich auch nicht diejenigen Komponenten seines Viererimpulses <math>\mathbf p</math>, die wie ein dreidimensionaler [[Ortsvektor]] bei Drehungen in einen gedrehten Vektor übergehen. Der einzige solche Vektor ist aber der [[Nullvektor]]. Also hat der Viererimpuls <math>\mathbf p</math> eines ruhenden Teilchens einen Wert

:<math>
\mathbf p_{\text{Ruhe}} = \begin{pmatrix}
m \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
</math>

Die Bezeichnung <math>m</math> ist im Vorgriff auf das spätere Ergebnis gewählt, steht hier aber zunächst für irgendeinen Wert.

Für einen entlang der <math>x</math>-Achse bewegten Beobachter hat das Teilchen eine Geschwindigkeit <math>v</math> und einen lorentztransformierten Viererimpuls (wir rechnen einfachheitshalber in Maßsystemen mit <math>c = 1</math>):

:<math>
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{1-v^2}} & \frac{v}{\sqrt{1-v^2}} & &\\
\frac{v}{\sqrt{1-v^2}} & \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} & &\\
& & 1 &\\
& & & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
m \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{m}{\sqrt{1-v^2}} \\\frac{m\,v}{\sqrt{1-v^2}} \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
</math>

[[Reihenentwicklung|Entwickelt]] man die vier Erhaltungsgrößen nach der Geschwindigkeit:

:<math>
\begin{pmatrix}
\frac{m}{\sqrt{1 -v^2}} \\\frac{m \, v}{\sqrt{1 - v^2}} \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
m + \frac{1}{2} \,m v^2 + \dots\\ m \, v + \dots \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
</math>

und vergleicht man mit Newtons Mechanik, so enthüllt sich die physikalische Bedeutung der Komponenten des Viererimpulses: die erste Komponente ist die Energie und die drei Komponenten, die sich bei Drehungen wie ein Ortsvektor ändern, sind der Impuls:

:<math>\mathbf p = \begin{pmatrix}
\text{Energie}\\ \text{Impuls}
\end{pmatrix}</math>

So wie in Newtons Mechanik nennt man den geschwindigkeitsunabhängigen Parameter <math>m</math> in der Relation, die den Impuls eines Teilchens als Funktion seiner Geschwindigkeit angibt, die Masse. Sie muss allen Beobachtungen nach positiv sein.

== Anwendung: Bewegungsgleichung und der Kraft/Leistung-Vierervektor ==

Spaltet man die Masse vom Viererimpuls ab, so verbleibt die [[Vierergeschwindigkeit]] <math>\mathbf u</math>:

:<math>\mathbf p = m \, \mathbf u</math>

Sie ist die [[Differentialrechnung|Ableitung]] der [[Weltlinie]] <math>\tilde \boldsymbol x(\tau) = (c t(\tau), x(\tau), y(\tau), z(\tau))</math>, die das Teilchen durchläuft, nach seiner [[Eigenzeit]] <math>\tau</math>:<ref>Siehe z. B. Band 2 der Lehrbuchreihe von [[Lew Dawidowitsch Landau|Landau]]/[[Jewgeni Michailowitsch Lifschitz|Lifschitz]], Harri Deutsch V., Frankfurt/Main</ref>

:<math>\mathbf u = \frac{\mathrm d \tilde \mathbf x}{\mathrm d \tau} = \begin{pmatrix}
\frac{c} {\sqrt{1 - \frac{\vec v^2}{c^2}}}\\
\frac{\vec v}{\sqrt{1 - \frac{\vec v^2}{c^2}}}
\end{pmatrix}</math>

d. h., die Vierergeschwindigkeit ist der normierte [[Tangentialvektor]] an der Weltlinie:

:<math>(\mathbf u^0)^2 - \vec u^2 = c^2</math>

Das [[Differential (Mathematik)|Differential]] <math>\mathrm d\tau</math> der Eigenzeit ist – im Gegensatz zu <math>\mathrm dt</math> – eine skalare Größe und ergibt den Nenner <math>\sqrt{1 - {\vec v^2/c^2}}</math>.

Im mitbewegten System ist <math>\vec v = 0</math> und bleibt Null, solange keine [[Kraft]] einwirkt. Falls jedoch während einer Zeit <math>\delta\tau</math> eine Kraft <math>\vec K</math> ausgeübt und gleichzeitig eine externe [[Leistung (Physik)|Leistung]] <math>L</math> zugeführt wird, erhöhen sich sowohl die Geschwindigkeit als auch die Energie des Teilchens (im selben Bezugssystem wie zuvor!). Durch den [[Kraftstoß]] und die Leistungszufuhr gilt dann als [[Bewegungsgleichung]]:

:<math>\delta \, \mathbf p = \delta (m \, \mathbf u) = \begin{pmatrix}L/c \\ \vec K \end{pmatrix} \delta \tau</math>

Die rechte Seite dieser Gleichung definiert den Kraft-Leistung-Vierervektor. Es wird also u. a. die [[Ruheenergie]] des Systems erhöht von <math>mc^2</math> auf <math>mc^2+L\delta\tau</math>, d. h., die Masse wird leicht erhöht; vgl. [[Äquivalenz von Masse und Energie]]. Gleichzeitig wird durch den Kraftstoß die Geschwindigkeit – und somit die [[kinetische Energie]] – erhöht. Dabei wird vorausgesetzt, dass die von Null ausgehende Geschwindigkeit nach der Erhöhung immer noch klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit bleibt, sodass im mitbewegten System die [[Newtonsche Physik]] gültig ist.

== Siehe auch ==
* [[Energie-Impuls-Tensor]]

== Literatur ==
* [[Edwin F. Taylor]], [[John Archibald Wheeler|John A. Wheeler]]: ''[[Physik der Raumzeit|Spacetime Physics]] 2nd Ed.'' W. H. Freeman and Company, New York 1992. ISBN 978-0-71672-327-1. Kostenfreier Download: [https://www.eftaylor.com/spacetimephysics/] (PDF)

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="TaylorWheeler88">
Edwin F. Taylor, John A. Wheeler: ''[[Physik der Raumzeit|Spacetime Physics]] 2nd Ed.'' W. H. Freeman and Company, New York 1992. ISBN 978-0-71672-327-1. Kap. 7
</ref>
</references>

[[Kategorie:Spezielle Relativitätstheorie]]

Viererimpuls - Versionsgeschichte

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