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Ein '''Vielfaches''' ist ein Begriff aus der [[Arithmetik]], der sich primär auf die [[Multiplikation]] [[Ganze Zahl|ganzer Zahlen]] (<math>\dotsc, -1, 0, 1, 2, \dotsc</math>) bezieht. Allerdings kann er auch auf beliebige [[abelsche Gruppe]]n verallgemeinert werden. In der [[Bruchrechnung]] und der [[Zahlentheorie]] spielt das [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches|kleinste gemeinsame Vielfache]] von zwei oder mehreren ganzen Zahlen eine Rolle.

== Vielfaches einer ganzen Zahl ==
Eine [[ganze Zahl]] <math>a \in \Z</math> heißt ''Vielfaches'' einer Zahl <math>b \in \Z</math>, wenn es eine ganze Zahl <math>k \in \Z</math> gibt, so dass <math>a=k\cdot b</math> ist. In diesem Fall ist <math>b</math> ein [[Teilbarkeit|Teiler]] von <math>a</math>. Von einem ''echten Vielfachen'' wird gesprochen, wenn <math>|k|>1</math> ist.

Analog wird das Vielfache auch für [[Rationale Zahl|rationale]] oder [[Reelle Zahl|reelle]] Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> definiert.<ref>{{MathWorld | id = Multiple | title = Multiple | author = }}</ref>

== Beispiele ==
* 6, 9 und −15 sind echte Vielfache von 3.
* 6 ist auch ein echtes Vielfaches von 2.
* 0 ist ein Vielfaches von jeder Zahl.

== Vielfache in abelschen Gruppen ==
Sei <math>(A, +)</math> eine [[abelsche Gruppe]], so gibt es zu jedem <math>a \in A</math> einen durch <math>\mu_a(1) = a</math> eindeutig bestimmten [[Gruppenhomomorphismus]] <math>\mu_a \colon \Z \to A</math>. Für diesen gilt
:<math>\begin{align}
\mu_a(0) &= 0,\\
\mu_a(2) &= \mu_a(1) + \mu_a(1) = a + a,\\
\mu_a(-n)&=-\mu_a(n)\ \mbox{für alle}\ n\in\N\,.
\end{align}</math>
Nun wird
:<math>n \cdot a := \mu_a(n)</math>
für <math>n \in \Z</math> und <math>a \in A</math> gesetzt. Dann nennt man <math>n \cdot a</math> ein Vielfaches oder genauer das <math>n</math>-Fache von <math>a</math> in der abelschen Gruppe <math>A</math>.<ref>{{Literatur |Titel=Vielfaches |Autor= |Herausgeber=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Jahr=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref>

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* {{EoM
| Autor =
| Titel = Multiple
| Url = http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Multiple
| id =
}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Multiplikation]]

Vielfaches - Versionsgeschichte

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