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2025-02-01T22:26:50Z

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In der [[Mathematik]] sind '''Vielfach-Zetafunktionen''' (engl.: '''multiple zeta functions''') eine Verallgemeinerung der [[Riemannsche Zeta-Funktion|Riemannschen Zeta-Funktion]], definiert durch
:<math>
\zeta(s_1, \ldots, s_k) = \sum_{n_1 > n_2 > \cdots > n_k > 0} \ \frac{1}{n_1^{s_1} \cdots n_k^{s_k}} = \sum_{n_1 > n_2 > \cdots > n_k > 0} \ \prod_{i=1}^k \frac{1}{n_i^{s_i}},
</math>

Obige Reihe konvergiert wenn <math>Re(s_1) + \ldots + Re(s_i)>i</math> für alle <math>i</math>, sie kann (analog zur Riemannschen Zeta-Funktion) durch [[analytische Fortsetzung]] als [[meromorphe Funktion]] auf <math>\mathbb C^n</math> definiert werden.

Die Werte für positive, ganzzahlige <math>s_1,\ldots,s_k</math> mit <math>s_1>1</math> werden als Multiple Zeta-Werte (engl.: '''multiple zeta values''', MZVs) bezeichnet. Man nennt <math>n=s_1+\ldots+s_k</math> das „Gewicht“ und <math>k</math> die „Länge“ des Arguments.

Die Vielfach-Zetafunktionen wurden erstmals in der Korrespondenz zwischen [[Leonhard Euler]] und [[Christian Goldbach]] definiert. Euler bewies die ''Reduktionsformel'' für <math>1<s\in\mathbb Z</math>:
: <math>\zeta(s,1) = \frac{1}{2}s\zeta(s+1)+\frac{1}{2}\sum_{k=2}^{s-1}\zeta(k)\zeta(s+1-k)</math>.
Zum Beispiel ist <math>\zeta(2,1)=\zeta(3)</math>.

Allgemein kann man, wenn <math>m+n</math> ungerade ist, die Zweifach-Zetafunktion <math>\zeta(m,n)</math> als rationale Linearkombination von <math>\zeta(m+n)</math> und <math>\zeta(k)\zeta(m+n-k)</math> mit <math>k\in\mathbb N</math> darstellen.

Eine Vermutung von [[Alexander Goncharov]] besagte, dass die Perioden von über <math>\mathbb Z</math> unverzweigten gemischten Tate-Motiven sich als <math>\mathbb Q\left[\frac{1}{2\pi i}\right]</math>-Linearkombinationen von Werten der Vielfachzetafunktion darstellen lassen.<ref>[http://arxiv.org/abs/math/0103059 Goncharov: Multiple polylogarithms and mixed Tate motives]</ref> Für den Spezialfall des durch den Modulraum <math>{\mathcal{M}}_{0,n}</math> von Kurven des Geschlechts 0 mit <math>n</math> markierten Punkten und die relative Kohomologie <math>H^l(\overline{\mathcal{M}}_{0,n}-A,B-B\cap A)</math> definierten Tate-Motivs wurde dies zunächst von [[Francis Brown]] 2007 in seiner Dissertation bewiesen.<ref>Brown: ''Multiple zeta values and periods of moduli spaces'', Annales Scientifiques de l´ENS, Band 42, 2009, S. 371–489, [http://smf4.emath.fr/Publications/AnnalesENS/4_42/html/ens_ann-sc_42_371-489.php Abstract]</ref> Die allgemeine Form von Goncharovs Vermutung bewies Brown dann in einer 2012 in [[Annals of Mathematics]] veröffentlichten Arbeit.<ref>[http://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v175-n2-p10-p.pdf Brown: Mixed Tate motives over Z]</ref>

== Literatur ==

<references />

== Weblinks ==

* [http://publications.ias.edu/sites/default/files/61_LeGroupeFondamentalDroite.pdf Deligne: "Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points"] (PDF; 4,2 MB) erklärt den Zusammenhang zwischen gemischten Tate-Motiven und Vielfach-Zetafunktionen.

[[Kategorie:Analytische Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]
[[Kategorie:Analytische Funktion]]

Vielfach-Zetafunktion - Versionsgeschichte

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