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'''Verzerrungstensoren''' sind [[Dimension (Größensystem)|dimensionslose]] [[Tensor]]en zweiter Stufe, die das Verhältnis von [[Konfiguration (Mechanik)|Momentankonfiguration]] zur Ausgangskonfiguration bei der Deformation von kontinuierlichen Körpern und damit Veränderung der gegenseitigen Lagebeziehungen der Materieelemente beschreiben. Diese Änderung (''Deformation'') der inneren Anordnung korrespondiert mit einer Änderung der äußeren Gestalt des [[Festkörper]]s und wird damit beispielsweise als [[Dehnung]], [[Stauchung]], [[Scherung (Mechanik)|Scherung]] usw. sichtbar. Die Verzerrungstensoren sind eine wesentliche Größe in der Beschreibung der [[Kinematik]] der Deformation. In der [[Kontinuumsmechanik]] werden eine Reihe von verschiedenen Verzerrungstensoren definiert, deren Benennung nicht einheitlich ist.

Die Verzerrungstensoren werden vor allem für die Formulierung von Materialmodellen, z. B. der [[Hyperelastizität]], verwendet, die eine Relation zwischen den [[Spannungstensor|Spannungen]] im Material und seinen Deformationen herstellen. Solche Materialmodelle werden dazu benutzt, Verformungen von Körpern zu berechnen.

== Einleitung ==
In der Literatur ist eine Vielzahl von Verzerrungstensoren bekannt, die aus dem [[Deformationsgradient]]en gebildet werden. Für deren Definition werden die Verschiebungen

:<math>\vec{u}(\vec{X},t)=\vec{\chi}(\vec{X},t)-\vec{X}
= \sum_{i=1}^3 u_i \vec{e}_i
= \begin{pmatrix} u(\vec{X},t) \\ v(\vec{X},t) \\ w(\vec{X},t) \end{pmatrix}
</math>

als Differenzvektor zwischen der momentanen Lage <math>\vec{x}=\vec{\chi}(\vec{X},t)</math> eines Partikels und seiner Ausgangslage <math>\vec{X}
=\sum_{i=1}^{3}X_i \vec{e}_i </math> eingeführt, mit <math>X_i </math> als den ''materiellen Koordinaten'' des Partikels bezüglich der [[Standardbasis]]. Der ''[[Verschiebungsgradient]]''<ref name="Frechet">Die [[Fréchet-Ableitung]] einer Funktion <math>f</math> nach <math>x</math>
ist der beschränkte lineare Operator <math>\mathcal{A}</math> der – sofern er existiert – in alle Richtungen <math>h</math> dem [[Gâteaux-Differential]] entspricht, also

:<math>\mathcal{A}(h)
= \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}f(x+sh)\right|_{s=0}
= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{f(x+s h) - f(x)}{s}
\quad\forall\;
h</math>

gilt. Darin ist <math>s\in \mathbb{R}\,, f,x\, \textsf{und}\, h</math> skalar-, vektor- oder tensorwertig aber <math>x</math> und <math>h</math> gleichartig. Dann wird auch

:<math>\mathcal{A} = \frac{\partial f}{\partial x}</math>

geschrieben.</ref>

:<math>\mathbf{H}
:= \operatorname{GRAD}(\vec{u})
:= \sum_{i,j=1}^3 \frac{\mathrm{d} u_i}{\mathrm{d} X_j} \vec{e}_i \otimes \vec{e}_j
= \frac{\mathrm{d}\vec{u}}{\mathrm{d}\vec{X}}
</math>

ist dann die Ableitung des Verschiebungsvektors <math>\vec u</math> nach den materiellen Koordinaten <math>\vec X</math> und enthält die Ableitungen der Verschiebungen ''u''i nach den Koordinaten ''X''j. Damit bekommt der Deformationsgradient die Form

:<math>\mathbf{F}
:=\frac{\mathrm{d}\vec{\chi}}{\mathrm{d}\vec{X}}
=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\vec{X}}(\vec{u}+\vec{X})
=\mathbf{H}+\mathbf{1}</math>

worin '''1''' der [[Einheitstensor]] ist. Zunächst lassen sich damit der ''rechte Cauchy-Green-Tensor''

:<math>\mathbf{C} := \mathbf{F^\top \cdot F}</math>

bzgl. der Ausgangskonfiguration und der ''linke Cauchy-Green-Tensor''

:<math>\mathbf{b} := \mathbf{F \cdot F^\top}</math>

bzgl. der Momentankonfiguration bilden. Diese beiden [[Strecktensor]]en sind symmetrisch und im Fall einer ''Nicht-Deformation'' gleich dem Einheitstensor.

Für ingenieurtechnische Anwendungen werden gewöhnlich allerdings Größen gewünscht, die bei ''Nicht-Deformation'' eine ''Null'' darstellen.
Dies führt auf Definitionen des Green-Lagrange-Verzerrungstensors

:<math>\mathbf{E} := \frac{1}{2}(\mathbf{F^\top\cdot F-1})</math>

oder des Euler-Almansi-Verzerrungstensors

:<math>\mathbf{e} := \frac{1}{2}(\mathbf{1-(F \cdot F^\top)}^{-1})\,.</math>

Daneben existiert aber noch eine Vielzahl weiterer ähnlicher Definitionen, die jeweils ihre Berechtigung und Vorteile in verschiedenen Theorien besitzen, siehe unten. Dort erklärt sich auch der oben auftretende Faktor ½.

== Linearisierter Verzerrungstensor ==
Zur Beschreibung ''[[Geometrische Linearisierung|kleiner Verzerrungen]]'' wird in der [[Technische Mechanik|technischen Mechanik]] üblicherweise der linearisierte Verzerrungstensor <math>\boldsymbol{\varepsilon}</math> verwendet. Dieser Verzerrungstensor wird auch ''Ingenieursdehnung'' genannt, denn bei vielen Anwendungen im technischen Bereich liegen kleine Dehnungen vor oder sie müssen aus sicherheitstechnischen Gründen klein gehalten werden. Der linearisierte Verzerrungstensor entsteht durch Linearisierung der Größen <math>\mathbf{E}</math> oder <math>\mathbf{e}\,.</math>
Hierzu wird die Definition des Deformationsgradienten in den Verzerrungstensor eingesetzt:
:<math>
\mathbf{E} = \frac{1}{2}\Bigl[
\mathbf{F^\top\cdot F}
-
\mathbf{1}\Bigr]
= \frac{1}{2}\Bigl[
\Bigl(\mathbf{H+1}\Bigr)^\top\cdot
\Bigl(\mathbf{H}+\mathbf{1}\Bigr)
-
\mathbf{1}\Bigr]
= \frac{1}{2}\Bigl[ \mathbf{H+H^\top}
+ \mathbf{H^\top\cdot H}\Bigr]
\,.</math>

Bei kleinen Verzerrungen kann der letzte Term vernachlässigt werden und so entsteht der linearisierte Verzerrungstensor

:<math>\boldsymbol{\varepsilon}
:=\frac{1}{2}\Bigl[ \mathbf{H+H^\top}\Bigr]
=
\begin{pmatrix}
\varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\
\varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\
\varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz}
\end{pmatrix},
</math>
mit den Komponenten
:<math>
\begin{matrix}
&\varepsilon_{xx}=\frac{\partial u_x}{\partial X_x},\;
\varepsilon_{yy}=\frac{\partial u_y}{\partial X_y},\;
\varepsilon_{zz}=\frac{\partial u_z}{\partial X_z},\;
\varepsilon_{xy}=\varepsilon_{yx}
=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_x}{\partial X_y}+
\frac{\partial u_y}{\partial X_x}\right),\\
&\varepsilon_{yz}=\varepsilon_{zy}
=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_y}{\partial X_z}+
\frac{\partial u_z}{\partial X_y}\right),\;
\varepsilon_{zx}=\varepsilon_{xz}
=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_z}{\partial X_x}+
\frac{\partial u_x}{\partial X_z}\right).
\end{matrix}
</math>
=== Zylinderkoordinaten ===
In [[Zylinderkoordinaten]] mit radialer Koordinate <math>\rho</math>, [[Azimut]] <math>\varphi</math> und [[Höhe]] <math>z</math> über der <math>\rho\varphi</math>-Ebene lauten der Verzerrungstensor<ref name="sadd">{{Literatur| Autor=Martin H. Sadd| Titel=Elasticity – Theory, applications and numerics| Seiten=47f.| Verlag=Elsevier Butterworth-Heinemann| Jahr=2005| ISBN=0-12-605811-3}}</ref><ref name="Landau-4">{{Literatur |Autor= L. D. Landau, E. M. Lifschitz |Titel= Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 7, Elastizitätstheorie - |Auflage=4. |Verlag=Akademie Verlag |Ort=Berlin |Datum= 1975 |ISBN= |Seiten=4}}</ref>

:<math>\begin{align}
\varepsilon_{\rho\rho}=&\frac{\partial u_\rho}{\partial\rho}\qquad \varepsilon_{\varphi\varphi}=\frac{1}{\rho}\left(u_\rho+\frac{\partial u_\varphi}{\partial\varphi}\right)\qquad\varepsilon_{zz}=\frac{\partial u_z}{\partial z}\\
\varepsilon_{\rho\varphi}=&\frac12\left(
\frac1\rho\frac{\partial u_\rho}{\partial\varphi}
+\frac{\partial u_\varphi}{\partial\rho}-\frac{u_\varphi}\rho\right)
\\
\varepsilon_{\varphi z}=&\frac12\left(\frac{\partial u_\varphi}{\partial z}
+\frac1\rho\frac{\partial u_z}{\partial\varphi}\right)
\\
\varepsilon_{\rho z}=&\frac12\left(\frac{\partial u_\rho}{\partial z}
+\frac{\partial u_z}{\partial\rho}\right)
\end{align}</math>

=== Kugelkoordinaten ===
In [[Kugelkoordinaten]] mit Abstand <math>r</math> vom Ursprung, [[Zenitwinkel]] <math>\vartheta</math> und [[Azimut]] <math>\varphi</math> lauten der Verzerrungstensor<ref name="sadd"/><ref name="Landau-4">{{Literatur |Autor= L. D. Landau, E. M. Lifschitz |Titel= Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 7, Elastizitätstheorie - |Auflage=4. |Verlag=Akademie Verlag |Ort=Berlin |Datum= 1975 |ISBN= |Seiten=4}}</ref>

:<math>\begin{align}
\varepsilon_{rr}=&\frac{\partial u_r}{\partial r}\qquad \varepsilon_{\vartheta\vartheta}=\frac{1}{r}\left(u_r+\frac{\partial u_\vartheta}{\partial\vartheta}\right)\\
\varepsilon_{\varphi\varphi}=&\frac{1}{r\sin\vartheta}\left(\frac{\partial u_\varphi}{\partial\varphi} +\sin\vartheta\,u_r+\cos\vartheta\,u_\vartheta\right)=\frac{1}{r\sin\vartheta}\frac{\partial u_\varphi}{\partial\varphi} +\frac{u_\vartheta}{r}\cot\vartheta+\frac{u_r}{r}\\
\varepsilon_{r\vartheta}=&\frac12\left(\frac1r\frac{\partial u_r}{\partial\vartheta}
+\frac{\partial u_\vartheta}{\partial r}-\frac{u_\vartheta}r\right)
\\
\varepsilon_{\vartheta\varphi}=&\frac1{2r}\left(
\frac1{\sin\vartheta}\frac{\partial u_\vartheta}{\partial\varphi}
+\frac{\partial u_\varphi}{\partial\vartheta}-\cot\vartheta\;u_\varphi
\right)
\\
\varepsilon_{r\varphi}=&\frac12\left(
\frac1{r\sin\vartheta}\frac{\partial u_r}{\partial\varphi}
+\frac{\partial u_\varphi}{\partial r}-\frac{u_\varphi}r\right)
\end{align}</math>

mit den Winkelfunktionen [[Sinus und Cosinus|Sinus sin]] und [[Tangens und Kotangens|Kotangens cot]].

== Allgemeine Definition ==
Ein Tensor '''E''' ist ein geeignetes Verzerrungsmaß, wenn er drei Forderungen genügt<ref>Z. P. Bazant, L. Cedolin: ''Stability of Structures. Elastic, Inelastic, Fracture and Damage Theories''. Oxford Univ. Press, 2003, ISBN 0-486-42568-1.</ref>:

# '''E''' verschwindet bei Starrkörperbewegungen (Verschiebung und/oder Drehung ''ohne'' Formänderung)
# '''E''' ist eine monotone, stetige und stetig differenzierbare Funktion des Verschiebungsgradienten '''H''' und
# '''E''' geht bei kleinen Verzerrungen in den linearisierten Verzerrungstensor '''ε''' über.

Die [[Polarzerlegung]] des Deformationsgradienten '''F''' = '''R''' · '''U''' = '''v''' · '''R''' spaltet die Verformung lokal in eine reine Drehung, vermittelt durch den [[Orthogonaler Tensor|orthogonalen]] Rotationstensor '''R''' (mit '''R''' · '''R'''T und der [[Determinante]] det('''R''') = 1), und eine reine Streckung, vermittelt durch die [[Symmetrische Matrix|symmetrischen]] [[Definitheit|positiv definiten]] ''rechten'' bzw. ''linken Strecktensoren'' '''U''' bzw. '''v'''. Letztere dienen der Definition einer Vielzahl von Verzerrungstensoren.

In seiner natürlichen Darstellung in [[Konvektive Koordinaten|konvektiven Koordinaten]] ist der rechte Strecktensor '''U''' kovariant und der linke Strecktensor '''v''' kontravariant. Diese Eigenschaft überträgt sich auf die mit ihnen gebildeten Verzerrungstensoren. Durch Invertierung werden kovariante Tensoren kontravariant und umgekehrt.

=== Seth-Hill-Familie von Verzerrungstensoren ===
Die Verzerrungstensoren

:<math>\mathbf{E}_{(m)}
=\frac{1}{2m}(\mathbf{U}^{2m}-\mathbf{1})
=\frac{1}{2m}(\mathbf{C}^m-\mathbf{1})</math>

und

:<math>\mathbf{e}_{(m)}
=\frac{1}{2m}(\mathbf{v}^{2m}-\mathbf{1})
=\frac{1}{2m}(\mathbf{b}^m -\mathbf{1})\,,</math>

die sich für verschiedene Werte des Parameters <math>m</math> ergeben, genügen den Bedingungen der allgemeinen Definition<ref>B. R. Seth vom Indian Institute of Technology in Kharagpur war der erste der gezeigt hat, dass der Green-Lagrange- und der Euler-Almansi-Verzerrungstensor Spezialfälle dieses allgemeineren Verzerrungsmaßes sind [a][b]. Die Idee wurde von [[Rodney Hill]] in [c] weiterentwickelt.
:[a] B. R. Seth: ''Generalized strain measure with applications to physical problems''. MRC Technical Summary Report #248 des Mathematics Research Center, United States Army, University of Wisconsin, 1961, S. 1–18, [http://www.dtic.mil/cgi-bin/GetTRDoc?AD=AD0266913 AD0266913.pdf]
:[b] B. R. Seth: ''Generalized strain measure with applications to physical problems''. IUTAM Symposium on Second Order Effects in Elasticity, Plasticity and Fluid Mechanics, Haifa 1962.
:[c] R. Hill: ''On constitutive inequalities for simple materials-I''. In: ''Journal of the Mechanics and Physics of Solids.'' 16, Nr. 4, 1968, S. 229–242. </ref>. Die einigen gebräuchlichen Werten von <math>m</math> entsprechenden Tensoren führt die folgende Tabelle auf:
{| class="wikitable"
|-
! m !! Verzerrungstensor !! <math>\nabla\Delta</math> !! Namen<ref name="Bertram">Bertram (2012)</ref><ref name="einheit">Haupt (2000)</ref><ref name="altenbach" >Altenbach (2012) </ref>
|-
| 1 || <math>\mathbf{E}_{(1)}
=\frac{1}{2}(\mathbf{U}^2 -\mathbf{1})
=\frac{1}{2}(\mathbf{C-1})</math>
| <math>\Delta</math>
| ''Green-Lagrange-Verzerrungstensor'', Green- oder St.-Venant-Dehnungen
|-
| ½
| <math>\mathbf{E}_{(1/2)}
=\mathbf{U}-\mathbf{1}
=\sqrt{\mathbf{C}}-\mathbf{1}</math>
| <math>\Delta</math>
| ''Biot-Verzerrungstensor'', Materieller Biot-, Cauchy- oder Swainger-Verzerrungstensor
|-
| 0 || <math>\mathbf{E}_{(0)}
=\ln (\mathbf{U})
=\frac{1}{2}\ln (\mathbf{C})</math>
| <math>\Delta</math>
| ''[[Dehnung#Logarithmische Dehnung|Hencky-Dehnungen]]'', materielle logarithmische Dehnungen
|-
| −1 || <math>\mathbf{E}_{(-1)}
=\frac{1}{2}(\mathbf{1}-\mathbf{U}^{-2})
=\frac{1}{2}(\mathbf{1}-\mathbf{C}^{-1})</math>
| <math>\nabla</math>
| negativer ''Piola-Verzerrungstensor'', Lagrange-Karni-Reiner-Verzerrungstensor
|}

Die hier benutzten Namen stehen jeweils ''kursiv'' hervorgehoben an erster Stelle. In der räumlichen Beschreibung ergeben sich die Entsprechungen:

{| class="wikitable"
|-
! m !! Verzerrungstensor !! <math>\nabla\Delta</math> !! Namen<ref name="Bertram" /><ref name="einheit" /><ref name="altenbach" />
|-
| 1 || <math>\mathbf{e}_{(1)}
=\frac{1}{2}(\mathbf{v}^2 -\mathbf{1})
=\frac{1}{2}(\mathbf{b}-\mathbf{1})</math>
| <math>\nabla</math>
| negativer ''Finger-Tensor'', Euler-Karni-Reiner-Verzerrungstensor
|-
| 0 || <math>\mathbf{e}_{(0)}
=\ln (\mathbf{v})
=\frac{1}{2}\ln (\mathbf{b})</math>
| <math>\nabla</math>
| ''Räumliche Hencky-Dehnungen'', räumliche logarithmische Dehnungen
|-
| -½ || <math>\mathbf{e}_{(-1/2)}
=\mathbf{1-v}^{-1}
=\mathbf{1}-\sqrt{\mathbf{b}}^{\,-1}</math>
| <math>\Delta</math>
| ''Swainger-Verzerrungstensor'', räumlicher Biot-Verzerrungstensor
|-
| −1 || <math>\mathbf{e}_{(-1)}
=\frac{1}{2}(\mathbf{1-v}^{-2})
=\frac{1}{2}(\mathbf{1-b}^{-1})</math>
| <math>\Delta</math>
| ''Euler-Almansi-Verzerrungstensor'', Almansis- oder Hamels-Verzerrungstensor
|}

In den Tabellen bedeutet „<math>\Delta</math>“ Kovarianz und „<math>\nabla</math>“ Kontravarianz. Der Funktionswert eines Tensors (z. B. <math>\sqrt{\mathbf{C}}\,,\;\ln(\mathbf{C})</math>) berechnet sich durch [[Hauptachsentransformation]], Bildung der Funktionswerte der Diagonalelemente und Rücktransformation.

== Beschreibung einiger Verzerrungstensoren ==

Weil die Verzerrungstensoren der Seth-Hill-Familie bei kleinen Verzerrungen in den linearisierten Verzerrungstensor übergehen, trifft das hier gesagte bei kleinen Verzerrungen auch auf den linearisierten Verzerrungstensor zu.

=== Der Green-Lagrange-Verzerrungstensor ===
[[Datei:Kurven.png|mini|Streckung und Scherung der Tangenten (rot und blau) an materielle Linien (schwarz) im Zuge einer Deformation]]
Der Green-Lagrange-Verzerrungstensor ist aus dem Vergleich zweier materieller Linienelemente <math>\mathrm{d}\vec{X}</math> und <math>\mathrm{d}\vec{Y}</math> im Punkt <math>\vec{X}</math> motiviert, siehe Abbildung rechts:

:<math>\mathrm{d}\vec{x}\cdot \mathrm{d}\vec{y}-\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathrm{d}\vec{Y}
=(\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\vec{X})\cdot(\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\vec{Y})
-\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathrm{d}\vec{Y}
=2\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\vec{Y}\,.</math>

In einer Richtung <math>\vec{e}_1=\tfrac{\mathrm{d}\vec{X}}{|\mathrm{d}\vec{X}|}</math> ergibt sich über

:<math>\begin{align}
\mathrm{d}\vec{x}\cdot \mathrm{d}\vec{x}
=&2\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\vec{X}+\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathrm{d}\vec{X}
=(2\vec{e}_1 \cdot \mathbf{E}\cdot\vec{e}_1 +1)(\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathrm{d}\vec{X})
\\
\rightarrow\quad
|\mathrm{d}\vec{x}|=&\sqrt{2\vec{e}_1 \cdot \mathbf{E}\cdot\vec{e}_1 +1}\;|\mathrm{d}\vec{X}|
\end{align}</math>

die [[Dehnung]]:

:<math>\varepsilon
:=\frac{|\mathrm{d}\vec{x}|-|\mathrm{d}\vec{X}|}{|\mathrm{d}\vec{X}|}
=\sqrt{1+2\vec{e}_1 \cdot \mathbf{E}\cdot\vec{e}_1 } - 1</math>

Wenn in der Ausgangskonfiguration <math>\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathrm{d}\vec{Y}=0</math> ist, berechnet sich:

:<math>\begin{align}
\mathrm{d}\vec{x}\cdot \mathrm{d}\vec{y}
=&
2\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\vec{Y}
\\
\frac{\mathrm{d}\vec{x}\cdot \mathrm{d}\vec{y}}{|\mathrm{d}\vec{x}||\mathrm{d}\vec{y}|}
=&
\frac{2\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\vec{Y}}{|\mathrm{d}\vec{x}||\mathrm{d}\vec{y}|}
=
\frac{2\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\vec{Y}}
{\sqrt{2\vec{e}_1 \cdot \mathbf{E}\cdot\vec{e}_1 +1}\;|\mathrm{d}\vec{X}|\;
\sqrt{2\vec{e}_2\cdot \mathbf{E}\cdot\vec{e}_2+1}\;|\mathrm{d}\vec{Y}|}
\end{align}</math>

Mit <math>\vec{e}_{2}=\tfrac{\mathrm{d}\vec{Y}}{|\mathrm{d}\vec{Y}|}</math> resultiert für die [[Scherung (Mechanik)|Scherung]] ''γ'' dann:

:<math>\sin (\gamma ):
=\frac{\mathrm{d}\vec{x}\cdot
\mathrm{d}\vec{y}}{|\mathrm{d}\vec{x}||\mathrm{d}\vec{y}|}
=\frac{2\vec{e}_1 \cdot\mathbf{E}\cdot\vec{e}_{2}}
{\sqrt{1+2\vec{e}_1 \cdot \mathbf{E}\cdot\vec{e}_1 }
\sqrt{1+2\vec{e}_{2}\cdot \mathbf{E}\cdot\vec{e}_{2}}}</math>

=== Der Euler-Almansi-Verzerrungstensor ===
Der Euler-Almansi-Verzerrungstensor

:<math>\mathbf{e} = \frac{1}{2}(\mathbf{1}
-\mathbf{F}^{\top-1}\cdot \mathbf{F}^{-1})</math>

kann analog zum Green-Lagrange-Verzerrungstensor aus dem Vergleich zweier materieller Linienelemente <math>\mathrm{d}\vec{x}</math> und <math>\mathrm{d}\vec{y}</math> im Punkt <math>\vec{x}</math> motiviert werden:

:<math>\mathrm{d}\vec{x}\cdot \mathrm{d}\vec{y}
-\mathrm{d}\vec{X}\cdot \mathrm{d}\vec{Y}
=\mathrm{d}\vec{x}\cdot \mathrm{d}\vec{y}
-(\mathbf{F}^{-1}\cdot\mathrm{d}\vec{x})\cdot
(\mathbf{F}^{-1}\cdot\mathrm{d}\vec{y})
=2\mathrm{d}\vec{x}\cdot \mathbf{e}\cdot \mathrm{d}\vec{y}\,.</math>

Für die Dehnung <math>\varepsilon</math> in eine Richtung <math>\vec{e}_1 </math> ergibt sich dann:

:<math>\varepsilon
=\frac{1}{\sqrt{1-2\vec{e}_1 \cdot \mathbf{e}\cdot\vec{e}_1 }}-1</math> mit <math>\vec{e}_1 =\tfrac{\mathrm{d}\vec{x}}{|\mathrm{d}\vec{x}|}\,.</math>

=== Der Hencky-Verzerrungstensor ===
Der Hencky-Verzerrungstensor wird über die Hauptachsentransformation des rechten Strecktensors <math>\mathbf{U}</math> berechnet. Weil dieser symmetrisch und positiv definit ist, lautet seine spektrale Zerlegung

:<math>\mathbf{U}
=\sum_{i
=1}^{3}\lambda_i \hat{v}_i \otimes \hat{v}_i </math>

wobei λi die sämtlich positiven [[Eigenwertproblem|Eigenwerte]] und <math>\hat{v}_i </math> die auf eins normierten und paarweise orthogonalen Eigenvektoren von <math>\mathbf{U}</math> sind. Dann berechnet sich der Hencky-Verzerrungstensor aus

:<math>\mathbf{E}_{H}:
=\ln (\mathbf{U}):
=\sum_{i=1}^{3}\ln (\lambda_i )\hat{v}_i \otimes \hat{v}_i \,.</math>

Seine [[Hauptinvariante|Spur]] ist wegen
:<math>
\operatorname{Sp}(\mathbf{E}_{H})
= \sum_{i=1}^{3}\ln (\lambda_i )\hat{v}_i \cdot \hat{v}_i
= \ln (\lambda_1 \lambda_{2}\lambda_{3})
= \ln (\operatorname{det}(\mathbf{U}))
= \ln (\operatorname{det}(\mathbf{F}))
</math>

ein Maß für die Kompression am Ort. Bei [[Geometrische Linearisierung|kleinen Verzerrungen]] ist

:<math>\ln (\operatorname{det}(\mathbf{F})) \approx \operatorname{Sp}(\mathbf{H})
= \operatorname{Sp}(\boldsymbol{\varepsilon})
</math>

weswegen dann die Spur des Verschiebungsgradienten oder des linearisierten Verzerrungstensors diese Rolle übernimmt.

=== Der Piola- und Finger-Verzerrungstensor ===
[[Datei:PiolaFlaechen.png|mini|Streckung und Scherung der Normalen (rot und blau) an materielle Flächen (grau) im Zuge einer Deformation]]
Der Piola-Verzerrungstensor <math>\mathbf{E}_{P}=-\mathbf{E}_{(-1)}</math> ist aus dem Vergleich der [[Normalenvektor]]en <math>\vec{N}</math> an materielle Flächen motiviert. Eine Familie von [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] kann durch eine skalare Funktion

:<math>\Phi(\vec{X},t)=C</math>

und einen Flächenparameter <math>C</math> definiert werden. Die Normalenvektoren an diese Flächen sind die Gradienten

:<math>\vec{N}:=\operatorname{GRAD}(\Phi)
=\sum_{i=1}^{3}\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}X_i }\vec{e}_i \,.</math>

Im Zuge einer Deformation wird daraus

:<math>\begin{align}
\vec{n}
=&\operatorname{grad}(\Phi)
=\sum_{i=1}^{3} \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}x_i }\vec{e}_i
=\sum_{i,j=1}^{3} \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}X_j }
\frac{\mathrm{d}X_j }{\mathrm{d}x_i }\vec{e}_i
\\=&
\sum_{i,j=1}^{3}
\frac{\mathrm{d}X_j }{\mathrm{d}x_i } \vec{e}_i \otimes \vec{e}_j
\cdot
\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}X_{k}}\vec{e}_k
=\mathbf{F}^{\top-1}\cdot\vec{N}.
\end{align}</math>

Mit einer anderen skalaren Funktion <math>\Psi(\vec{X},t)</math> kann eine andere Familie von Flächen definiert werden, deren Normalenvektoren <math>\vec{M}</math> bzw. <math>\vec{m}</math> über

:<math>\vec{m}=\mathbf{F}^{\top-1}\cdot\vec{M}</math>

in Beziehung stehen. Der Vergleich der Skalarprodukte der Normalenvektoren in der deformierten und undeformierten Lage in einem materiellen Punkt <math>\vec{X}</math> führt auf den Piola-Verzerrungstensor

:<math>\begin{align}
\vec{m}\cdot \vec{n}-\vec{M}\cdot \vec{N}
=&(\mathbf{F}^{\top-1}\cdot\vec{M})\cdot
(\mathbf{F}^{\top-1}\cdot\vec{N})-\vec{M}\cdot \vec{N}
\\=&
2\vec{M}\cdot \frac{1}{2}(\mathbf{F}^{-1}\cdot\mathbf{F}^{\top-1}
-\mathbf{1})\cdot\vec{N}
=2\vec{M}\cdot \mathbf{E}_{P}\cdot\vec{N}
\,,\end{align}</math>

der also ein Maß für die Deformationen der materiellen Flächen ist. Der Piola-Verzerrungstensor operiert in der Ausgangskonfiguration.

Sein Gegenstück in der Momentankonfiguration ist der ''Finger-Tensor''<ref name="einheit" />

:<math>\mathbf{e}_{F}
:=\frac{1}{2}(\mathbf{1}-\mathbf{F\cdot F}^\top)
=\frac{1}{2}(\mathbf{1}-\mathbf{b})</math>

für den

:<math>\begin{align}
\vec{m}\cdot \vec{n}-\vec{M}\cdot \vec{N}
=&\vec{m}\cdot \vec{n}-(\mathbf{F}^\top\cdot\vec{m})\cdot (\mathbf{F}^\top\cdot\vec{n})
\\=&
2\vec{m}\cdot \frac{1}{2}(\mathbf{1-F\cdot F}^\top)\cdot\vec{n}
=2\vec{m}\cdot \mathbf{e}_{F}\cdot\vec{n}
\,.\end{align}</math>

abgeleitet werden kann.

== Verzerrungsgeschwindigkeiten ==
{{Hauptartikel|Geschwindigkeitsgradient}}
Alle realen Materialien sind mehr oder weniger ratenabhängig, das heißt ihr Widerstand gegen eine Deformation hängt davon ab, mit welcher Geschwindigkeit diese Deformation herbeigeführt wird. Für die Beschreibung eines solchen Zusammenhangs werden Verzerrungsgeschwindigkeiten benutzt. Das Materialverhalten ist [[Euklidische Transformation|beobachterinvariant]], die meisten Zeitableitungen der Verzerrungen jedoch nicht. Es wurden aber eine Reihe von Verzerrungsgeschwindigkeiten definiert, die beobachterinvariant sind.

Der rechte Strecktensor <math>\mathbf{U}</math> ist ''körperbezogen objektiv'', was bedeutet, dass er von einem Wechsel des Bezugssystems unbeeinflusst ist. Gleiches gilt auch für seine [[Substantielle Ableitung|materielle Zeitableitung]] <math>\dot{\mathbf{U}}\,.</math> Dementsprechend sind auch alle aus dieser Zeitableitung gebildeten Verzerrungsgeschwindigkeiten, z. B.

:<math>\dot{\mathbf{E}}
=\frac{1}{2}(\dot{\mathbf{U}}\cdot\mathbf{U}
+\mathbf{U}\cdot\dot{\mathbf{U}})\,,</math>

körperbezogen objektiv.

In der räumlichen Beschreibung kann nachgewiesen werden, dass der linke Strecktensor <math>\mathbf{v}</math> objektiv ist, seine Rate <math>\dot{\mathbf{v}}</math> jedoch nicht. Für die Formulierung objektiver Raten der räumlichen Verzerrungstensoren wird der ''räumliche Geschwindigkeitsgradient''

:<math>\mathbf{l}=\dot{\mathbf{F}}\cdot\mathbf{F}^{-1}=\mathbf{d+w}</math>

definiert, dessen symmetrischer Anteil

:<math>\mathbf{d}:=\frac{1}{2}(\mathbf{l+l}^\top)</math>

''räumlicher Verzerrungsgeschwindigkeitstensor'' und dessen unsymmetrischer Anteil

:<math>\mathbf{w}:=\frac{1}{2}(\mathbf{l-l}^\top)</math>

''Spin''- oder ''Wirbeltensor'' heißt. Dann lautet die (objektive) ''kovariante'' Oldroyd-Ableitung eines Tensors <math>\mathbf{a}</math>:

:<math>\stackrel{\Delta}{\mathbf{a}}
:=\dot{\mathbf{a}}+\mathbf{a\cdot l+l^\top\cdot a}\,.</math>

Für den Euler-Almansi-Tensor '''e''' gilt insbesondere

:<math>\stackrel{\Delta}{\mathbf{e}}
=\mathbf{d}
=\mathbf{F}^{\top-1}\cdot\dot{\mathbf{E}}\cdot\mathbf{F}^{-1}\,.</math>

Die ''kontravariante'' Oldroyd-Ableitung eines Tensors <math>\mathbf{a}</math> ist definiert als:

:<math>\stackrel{\nabla}{\mathbf{a}}
:=\dot{\mathbf{a}}-\mathbf{l\cdot a-a\cdot l}^\top\,.</math>

Die Raten der kovarianten Tensoren werden üblicherweise mit der kovarianten Oldroyd-Ableitung gebildet und die der kontravarianten Tensoren mit der kontravarianten Oldroyd-Ableitung. Die Zaremba-Jaumann-Rate eines Tensors <math>\mathbf{a}</math> ist ebenfalls objektiv und definiert als:

:<math>\stackrel{\circ}{\mathbf{a}}:=\dot{\mathbf{a}}+\mathbf{a\cdot w-w\cdot a}\,.</math>

== Siehe auch ==
* [[Mohrscher Spannungskreis]]
* [[Dyadisches Produkt]]
* [[Formelsammlung Tensoralgebra]]
* [[Formelsammlung Tensoranalysis]]

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=H. Altenbach|Titel=Kontinuumsmechanik|Verlag=Springer|Jahr=2012|ISBN=978-3-642-24118-5}}
* {{Literatur|Autor=G. Holzapfel|Titel=Nonlinear Solid Mechanics: A Continuum Approach for Engineering|Verlag=Wiley|Jahr=2000|ISBN=978-0-471-82319-3}}
* {{Literatur|Autor=P. Haupt|Titel=Continuum Mechanics and Theory of Materials|Verlag=Springer|Jahr=2000|ISBN=3-540-66114-X}}
* {{Literatur|Autor=A. Bertram|Titel=Elasticity and Plasticity of Large Deformations: An Introduction|Verlag=Springer|Jahr=2012|ISBN=978-3-642-24614-2}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4316421-3}}

[[Kategorie:Kontinuumsmechanik]]

Verzerrungstensor - Versionsgeschichte

imported>GünniX: WPCleaner v2.05 - Wikipedia:WPSK (Überschriftenstruktur fehlerhaft)