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2025-05-08T06:53:40Z

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In der Mathematik und der Physik, insbesondere in der [[Differentialgeometrie]] und der [[Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeinen Relativitätstheorie]], bezeichnet das '''verzerrte Produkt''' zweier [[Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit|Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten]] die [[Produktmannigfaltigkeit]] mit der '''verzerrten Produktmetrik'''.

== Definition ==
Unter dem '''verzerrten Produkt''' <math>M\times_fN</math> zweier [[Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit|Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten]] <math>(M,g_M)</math> und <math>(N,g_N)</math> längs einer strikt positiven Funktion <math>f \colon M\to(0;\infty)</math> versteht man die [[Produktmannigfaltigkeit]] <math>M\times N</math> ausgestattet mit dem [[Metrischer Tensor|metrischen Tensor]] <math>g:=\pi^*(g_M)+(f\circ\pi)^2\sigma^*(g_N)</math>. Dabei bezeichnen <math>\pi \colon M\times N\to M</math> und <math>\sigma \colon M\times N\to N</math> die natürlichen [[Submersion]]en und <math>g^*</math> den [[Rücktransport|Pullback]] eines Tensors unter einer Abbildung g zwischen zwei Mannigfaltigkeiten. Dabei wird <math>M</math> als '''Basis''' und <math>N</math> als '''Faser''' der Produktmannigfaltigkeit bezeichnet.

== Definition verzerrte Metrik ==
Unter einer '''verzerrten Produktmetrik''' versteht man eine [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|Riemannsche]] oder [[Lorentzsche Mannigfaltigkeit|Lorentzsche]] [[Mannigfaltigkeit]], deren [[Metrischer Tensor|Metrik]] durch
:<math>ds^2 \, = g_{ab}(y) dy^a dy^b + f(y) g_{ij}(x) dx^i dx^j</math>
dargestellt werden kann. D. h. insbesondere zerfällt die betrachtete Mannigfaltigkeit in das [[Kartesisches Produkt|kartesische Produkt]] einer „y“- und einer „x“-Geometrie, wobei die „x“-Metrik verzerrt wird.

== Literatur ==
* Barrett O’Neill: ''Semi-Riemannian Geometry. With Applications to Relativity'' (Pure and applied mathematics; Bd. 103). Academic Press, New York 1983, ISBN 0-12-526740-1.

[[Kategorie:Riemannsche Geometrie]]

Verzerrtes Produkt - Versionsgeschichte

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