imported>Naronnas: /* Siehe auch */ +Einfallswinkel

2025-01-08T09:16:23Z

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[[Datei:Horizontal and vertical coordinates.svg|mini|HOR = Horizont, ZEN = Zenit, NAD = Nadir, <br />
Objekt 1 (über dem Horizont): ''h'' = Höhenwinkel, ''z'' = Zenitwinkel,<br />
Objekt 2 (unter dem Horizont): ''t'' = Tiefenwinkel, ''n'' = Nadirwinkel]]

'''Vertikalwinkel''' sind in einer lotrechten Ebene gemessene [[Winkel]]. In der [[Geodäsie]] und der [[Astrometrie]] beschreiben sie insbesondere alle auf die [[Lotrichtung]] bezogenen Winkel.

Werden der [[Zenit]], der [[Nadir (Richtungsangabe)|Nadir]] und der [[Horizont]] als Ausgangslage gewählt, lassen sich folgende vier Vertikalwinkel definieren:
* '''Zenitwinkel''' <math>z</math> (auch ''Zenitdistanz, Zenitabstand''): als Winkel eines Punktes unter dem Zenit;
* '''Höhenwinkel''' <math>h</math> (auch ''Höhe, Elevation, Altitude''): als Winkel eines Punktes über dem Horizont;
* '''Tiefenwinkel''' <math>t</math> (auch ''Depressionswinkel''): als Winkel eines Punktes unter dem Horizont;
* '''Nadirwinkel''' <math>n</math>: als Winkel über dem Nadir (der Punkt, der dem Zenit gegenüberliegt).

Es gilt: <math>h+z=90^\circ</math> und <math>n+t=90^\circ</math>.

Höhenwinkel und Tiefenwinkel entsprechen dem Sehwinkel zwischen der [[Visierlinie]] und dem Horizont. Zenitwinkel und Nadirwinkel entsprechen dem Sehwinkel zwischen der Visierlinie und der Lotrichtung.

== Einheiten ==
Vertikalwinkel werden in der [[Astronomie]] oft in [[Grad (Winkel)|Grad]] oder sexagesimal in Grad-[[Bogenminute|Minuten]]-[[Bogensekunde|Sekunden]] (° ′ ″) angegeben, während in der Geodäsie [[Gon]] verwendet werden.<ref>Hans Volquardts und Karl Matthews: ''Vermessungskunde (Teil 2)''. 14. Auflage, VIII, S. 7–8, B. G. Teubner, Stuttgart, 1981.</ref> Beim [[Militär]] und in der [[Ballistik]] wird als Winkeleinheit auch der „[[Strich (Winkeleinheit)|Strich]]“ verwendet (6400¯ = 360°), weil er die [[Entfernungsmessung]] erleichtert (der [[Sinus]] von 1¯ ist fast genau 0,001).

== Winkelarten ==
[[Datei:Hoehenwinkel.svg|mini|hochkant=1.5|''Höhenmessung'': Der lotrechte Abstand von Objekt 1 zur Bodenfläche ist die Summe aus der Stativhöhe und dem lotrechten Abstand von Objekt 1 zur Referenzfläche.]]
=== Höhenwinkel ===
Ein ''Höhenwinkel'' ist der Winkel eines Punktes über einer [[Referenzfläche]] (etwa dem [[Horizont]]). In der Astronomie wird er auch kurz als ''Höhe'' bezeichnet. In der Geodäsie bezeichnet ''[[Höhe]]'' jedoch den lotrechten Abstand von der Referenzfläche.

Die [[Höhenmessung]]en mit [[Libelle (Messtechnik)|Libellen]]- oder pendelkompensierten Instrumenten beziehen sich auf den „mathematischen Horizont“, der durch die Lotrichtung realisiert wird, also ohne auf die tatsächliche Erscheinung des Horizonts (geprägt z. B. durch Vegetation, Gebäude und Berge) Rücksicht zu nehmen. In der Seefahrt wurden mit üblichen [[Sextant]]en die Sonnen- oder Sternhöhen über der [[Horizont#Horizont in der Nautik, Kimmlinie|Kimm]] gemessen, das ist die scheinbare Trennlinie zwischen Meer und Himmel. Die [[Kimmtiefe]] ist dann von der Messung abzuziehen, um den Höhenwinkel zu erhalten.

=== Tiefenwinkel ===
Ein Tiefenwinkel <math>t</math> ist der Winkel eines Punktes unter dem Horizont.

Er wird wie der Höhenwinkel verwendet, aber für Fälle, in denen der Beobachter höher steht als das Objekt. In diesem Fall hat der Höhenwinkel ein negatives [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]], der Tiefenwinkel aber ein positives. Für Objekte unterhalb des Horizonts gilt also <math>t=-h</math>.

Der Tiefenwinkel wird mitunter als [[Depressionswinkel]] bezeichnet. Er ist vom Neigungswinkel zu unterscheiden, der die Neigung eines Geräts bezüglich der Lotrichtung beschreibt und sowohl positiv als auch negativ sein kann.

=== Zenitwinkel ===
Der ''Zenitwinkel'' oder die ''Zenitdistanz'' ist der Winkel zwischen einem Zielpunkt und der [[Lotrichtung]]. Ehemals wurde der Zenitwinkel auch „Vertikalwinkel“ genannt, was heute aber aufgrund missverständlicher Begriffsnutzung vermieden wird.

Die Verwendung von Zenitwinkeln im Gegensatz zu Höhen- und Tiefenwinkeln hat mehrere Vorteile:
* Zenitwinkel benötigen kein Vorzeichen, weil sie immer zwischen 0° und 180° liegen (zwischen 0° und 90° bei Objekten über dem Horizont und zwischen 90° und 180° bei Objekten unter dem Horizont).
* Der Bezug zur Vertikalachse des [[Messinstrument]]s ist ein direkter (die üblichen Formeln gelten auch für schrägliegende Messachsen, etwa im [[Maschinenbau]])
* Der [[Zenit]] ist klar definiert, während mit dem Bezug auf den „Horizont“ der mathematische gemeint sein kann, aber auch der [[Kimmlinie|nautische]] Horizont, ein [[Kreisel]]- oder der [[Landschaft]]shorizont.
* Die meisten Messgeräte verwenden den Zenitwinkel als ausgegebenen Vertikalwinkel.

=== Nadirwinkel ===
Nadirwinkel werden vor allem in der [[Fernerkundung]] und [[Photogrammetrie]] verwendet. Der Winkel zum Nadir liegt bei Luftbildaufnahmen idealerweise um 0° herum, da zu große Abweichungen zum Nadir Bildverzerrungen hervorrufen und die Orthogonalaufnahme unbrauchbar machen. Bei horizontnahen Punkten liegt der zum Horizont gerichtete Nadirwinkel bei 90°.

== Verwendung ==
Vertikalwinkel dienen zur Bestimmung von [[Höhe]]n, der [[geografische Koordinaten|geografischen Koordinaten]], zur [[Vermessung]] von [[terrestrisch]]en Objekten und Positionen sowie in der [[Astronomie]] zur Einmessung von [[Himmelskörper]]n.

=== Verwendung in der Astronomie ===
Den Höhenwinkel eines Himmelskörpers nennt man ''astronomische Höhe'' (auch deutsch ''Altitude''); er wird üblicherweise mit <math>h</math> bezeichnet. Die Höhe eines Gestirns kann zwischen +90° (der Zenit) und −90° (der Nadir) betragen, wobei eine positive Höhe anzeigt, dass das Objekt über dem Horizont steht, während eine negative Höhe bedeutet, dass das Objekt unter dem Horizont steht.

Zusammen mit dem [[Azimut]] <math>a</math> bildet die Höhe <math>h</math> ein ''[[topozentrisches horizontales Koordinatensystem]]'' oder allgemeiner ein ''[[azimutales Koordinatensystem]]''.

=== Verwendung in der Geodäsie ===
[[Datei:Horizontal and vertical coordinates (geodetic).svg|mini|'''Geodätische Terminologie''': <br />
HOR=Horizont, ZEN=Zenit, NAD=Nadir, β=Höhenwinkel, ζ=Zenitwinkel]]

In der [[Geodäsie]] beschränkt sich die Verwendung der Vertikalwinkel auf zwei, da sie für ihre Ausgangslage jeweils eindeutig bestimmt werden können:<ref name="volquardts-matthews-7">Hans Volquardts und Karl Matthews: ''Vermessungskunde (Teil 2)''. 14. Auflage, VIII, S. 7, B. G. Teubner, Stuttgart, 1981.</ref><ref>Walter Großmann und [[Heribert Kahmen]]: ''Vermessungskunde''. 12. Auflage, III, S. 13–33, De Gruyter-Verlag, Berlin und New York 1988.</ref><ref name="witte-schmidt">Bertold Witte und Hubert Schmidt: ''Vermessungskunde und Grundlagen der Statistik für das Bauwesen''. S. 250, Band 17, 4. Auflage, Verlag Konrad Wittwer, Stuttgart, 2000.</ref>
* '''Zenitwinkel''' <math>\zeta</math> (oder <math>z</math>): als Winkel eines Punktes unter dem [[Zenit]];
* '''Höhenwinkel''' <math>\beta</math> (oder <math>b</math>): als Winkel eines Punktes über oder unter dem [[Horizont]], wobei das Vorzeichen die Richtung bestimmt;

Es gilt: <math>\beta+\zeta=90^\circ</math>.

In der Geodäsie wird ein Tiefenwinkel üblicherweise durch einen Höhenwinkel mit negativem Vorzeichen ausgedrückt.<ref name="volquardts-matthews-7" /><ref name="witte-schmidt" /><ref name="ingensand">Hilmar Ingensand: ''Einführung in die geodätische Messtechnik''. S. 79–82, Institut für Geodäsie und Photogrammetrie ETH Zürich, Zürich 2012.</ref> Ebenso wird der Nadirwinkel durch den supplementären Zenitwinkel ersetzt.<ref name="witte-schmidt" /><ref name="ingensand" />

== Messung ==
=== Richtungsbezug ===
Ein gemessener Vertikalwinkel bezieht sich auf die ''[[wahre Lotrichtung]]'' – auch ''astronomische Lotrichtung'' genannt – und damit auf das ''[[Natürliches Koordinatensystem|natürliche Koordinatensystem]]''. Jedoch kann sich ein geodätisch berechneter Vertikalwinkel auch auf die [[Orthogonale|Normale]] des [[Erdellipsoid]]s im Messpunkt beziehen. Diese schließt mit dem wahren Lot (welche auf dem [[Geoid]] und somit auf dem messbaren Schwerefeld der Erde beruht) die ''[[Lotabweichung]]'' ein. Sie kann im Hügelland etwa 10″ betragen, im Hochgebirge aber 30–60″ erreichen.

=== Realisierung des Richtungsbezugs ===
Den Bezug des Messgeräts auf die exakte Lotrichtung stellt eine [[Libelle (Messtechnik)|Libelle]] oder ein [[Lotsensor]] her. Letzterer kann ein Flüssigkeits-Kompensator im Strahlengang des [[Zielfernrohr]]s sein, oder ein kleiner [[Pendel]]körper in der [[Ablesung|Ableseoptik]]. In der Technik und [[Navigation]] wird auch bezüglich von [[Kreisel]]plattformen gemessen.

=== Messgeräte ===
Die wichtigsten Instrumente für Vertikalwinkelmessungen sind, nach ihrer [[Messgenauigkeit]] geordnet:
* [[Zenitteleskop]] und [[Photographisches Zenitteleskop|Fotografisches Zenitteleskop]] sowie
* [[Zenitkamera]]s, [[Meridiankreis]] und [[Passageninstrument]] (±0,01…0,1″)
* [[Theodolit]] und [[Tachymeter (Geodäsie)|Tachymeter]] (je nach Zweck ±0,5…10″)
* [[Lot (Schifffahrt)|Lotinstrumente]] und [[Neigungsmesser]]; für nautische Höhenmessung auch [[Sextant]]en (± 0,5…5′)
* [[Winkelmesser]] und [[Peilung|Peilgeräte]] (±0,2…1°).
* [[Astrolabium|Astrolab]], das Navigationsgerät der frühen Seefahrer, ca. ±0,5°.

=== Korrekturen ===
Für höhere Genauigkeiten als eine [[Bogenminute]] muss der gemessene Vertikalwinkel unbedingt um den Einfluss von ''Höhenindexfehler'' und ''Refraktion'' reduziert werden:
* Der [[Höhenindexfehler]] ist die Abweichung der Nullrichtung des Instrumentes von der Lotrichtung bzw. von der Horizontalen. Er wird mit der Höhenkreis-Libelle oder (bei neueren Theodoliten) mit einem [[Neigungssensor]] bestimmt.
* Jede Messung innerhalb der [[Erdatmosphäre]] wird von der Refraktion beeinflusst. Verläuft der Lichtstrahl gänzlich innerhalb der Atmosphäre, spricht man von ''[[Terrestrische Refraktion|terrestrischer Refraktion]]''.
* Wird hingegen ein [[Gestirn]] oder ein [[Erdsatellit]] eingemessen, nennt man die Lichtkrümmung ''Satelliten-'' bzw. ''[[astronomische Refraktion]]''. Sie beträgt bei einem [[Zenitdistanz|Zenitwinkel]] <math>z=45^\circ</math> etwa 1′ (55–65″) und bei horizontnahen Gestirnen bis zu 0,6° (33–40′). Die Krümmung des Lichtverlaufs aufgrund der terrestrischen Refraktion wird hingegen in Bruchteilen der [[Erdkrümmung]] angegeben und beläuft sich im Durchschnitt auf das 0,13-fache des reziproken [[Erdradius]]. Sie kann jedoch in Bodennähe (insbesondere im [[Sommer]]) auch negative Werte annehmen.
* Für spezielle Zwecke der [[Erdmessung]] und Landesvermessung ist auch eine [[Topografische Reduktion|Reduktion]] wegen des Einflusses der [[Lotabweichung]] (bis zu 50″) vorzunehmen.

== Siehe auch ==
* [[Vertikalkreis (Geometrie)]]
* [[Gefahrenstandlinie]]
* [[Methode gleicher Höhen]]
* [[Einfallswinkel]]

== Literatur ==
* Emil Bachmann: ''Vermessungskunde für Ingenieure und Techniker''. Archimedes-Verlag, Kreuzlingen 1950.
* Hans Volquardts und Karl Matthews: ''Vermessungskunde''. 26. Auflage, VIII, B. G. Teubner, Stuttgart 1985.
* [[Bertold Witte]] und Hubert Schmidt: ''Vermessungskunde und Grundlagen der Statistik für das Bauwesen''. S. 250, Band 17, 4. Auflage, Verlag Konrad Wittwer, Stuttgart 2000.
* Walter Großmann und [[Heribert Kahmen]]: ''Vermessungskunde''. 12. Auflage, De Gruyter, Berlin und New York 1988.
* Heribert Kahmen: ''Vermessungskunde''. 18./20. Auflage, De Gruyter, Berlin 1993 und 2005.
* [[Wolfgang Torge]]: ''Geodäsie''. 2. Auflage, De Gruyter, Berlin 1975.
* Industrieverlag: ''Taschenbuch der Navigation''. Karlheinz Gehölsen GmbH, Heidelberg ~1967.
* Hilmar Ingensand: ''Einführung in die geodätische Messtechnik''. Institut für Geodäsie und Photogrammetrie, ETH Zürich, Zürich 2012.

== Einzelnachweise ==
<references />


[[Kategorie:Astronomisches Koordinatensystem]]
[[Kategorie:Geodäsie]]
[[Kategorie:Navigation]]
[[Kategorie:Geometrie]]

Vertikalwinkel - Versionsgeschichte

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