imported>Thomas Dresler: Format

2025-07-14T07:08:32Z

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{{Dieser Artikel|behandelt das Verkettungszeichen als mathematischen Operator, für das Pipe-Symbol in der EDV siehe [[senkrechter Strich]].}}
{{Mathematische Zeichen|∘}}
Das '''Verkettungszeichen''' (<math>\circ</math>), auch als '''Kreisoperator''' bezeichnet, Sprechweise auch '''Kringel''', ist ein [[Mathematik|mathematisches]] Zeichen, das die [[Komposition (Mathematik)|Verkettung]] zweier [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]], [[Relation (Mathematik)|Relationen]] oder [[Wort (Theoretische Informatik)|Wörter]] ausdrückt. Besteht keine Verwechslungsgefahr mit der [[Multiplikation]], wird es oft auch weggelassen.

== Verwendung ==

=== Verkettung von Funktionen ===
Das Verkettungszeichen wird häufig als [[mathematischer Operator]] für die [[Komposition (Mathematik)|Hintereinanderausführung]] von [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] verwendet. Sind <math>A, B, C</math> [[Menge (Mathematik)|Mengen]] und <math>f \colon A \to B</math> sowie <math>g \colon B \to C</math> Funktionen, dann wird die Verkettung von <math>f</math> und <math>g</math> durch

:<math>(g \circ f)(x) = g(f(x))</math>

notiert. Der Ausdruck „<math>g \circ f</math>“ wird als „<math>g</math> verknüpft mit <math>f</math>“, „<math>g</math> komponiert mit <math>f</math>“, „<math>g</math> nach <math>f</math>“ oder „<math>g</math> Kringel <math>f</math>“ gelesen.<ref>{{Literatur|Autor=Gerd Fischer|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Springer|Jahr=2009|Seiten=36}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Ehrhard Behrends|Titel=Analysis Band 1|Verlag=Springer|Jahr=2014|Seiten=19}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Georg Hoever|Titel=Höhere Mathematik kompakt|Verlag=Springer|Jahr=2013|Seiten=43}}</ref> Bei der Notation ist darauf zu achten, dass die Komposition <math>g \circ f</math> von rechts nach links durchgeführt wird, das heißt erst <math>f</math> und dann <math>g</math> angewandt wird. Gelegentlich wird in der Literatur allerdings auch die umgekehrte Reihung verwendet und <math>(f \circ g)(x) = g(f(x))</math> geschrieben.

=== Verkettung von Relationen ===
Allgemeiner wird das Verkettungszeichen als Operator für die Verkettung [[binäre Relation|binärer Relationen]] verwendet. Sind wieder <math>A, B, C</math> Mengen und <math>R \subseteq A \times B</math> sowie <math>S \subseteq B \times C</math> binäre Relationen, dann wird die Verkettung von <math>R</math> und <math>S</math> durch

:<math>S \circ R = \{ (a,c) \in A \times C \mid \exists ~ b \in B: (a,b) \in R \land (b,c) \in S \}</math>

notiert. Das Resultat nennt man [[Zweistellige Relation#Verkettung von Relationen|Relationsprodukt]] oder relatives Produkt. Auch hier wird gelegentlich die umgekehrte Reihung <math>R \circ S</math> verwendet.

=== Verkettung von Wörtern ===
In der [[Theoretische Informatik|theoretischen Informatik]] wird das Verkettungszeichen für die [[Konkatenation (Wort)|Konkatenation]] von [[Wort (Theoretische Informatik)|Wörtern]] verwendet. Sind <math>x = (x_1, x_2, \dotsc, x_n)</math> und <math>y = (y_1, y_2, \dotsc, y_k)</math> zwei Wörter über einem [[Alphabet (Informatik)|Alphabet]], dann wird die Konkatenation von <math>x</math> und <math>y</math> durch

:<math>x \circ y = (x_1, x_2, \dotsc, x_n, y_1, y_2, \dotsc, y_k)</math>

notiert. Hierbei ist <math>x</math> das [[Präfix]] und <math>y</math> das [[Suffix]] des Resultats der Konkatenation. Die Konkatenation von Wörtern ist dabei ein Spezialfall einer [[Konkatenation (Mengen)|Konkatenation von Mengen]].

=== Binäre Verknüpfungen ===
Noch allgemeiner wird das Verkettungszeichen manchmal neben den Zeichen <math>\bullet</math>, <math>\ast</math> und <math>\cdot</math> als Platzhalter für [[binäre Verknüpfung]]en allgemeiner [[Algebraische Struktur|algebraischer Strukturen]] eingesetzt.

==Darstellung auf dem Computer==

=== Kodierung ===
Das Verkettungszeichen wird folgendermaßen definiert und kodiert:

{| class="wikitable"
|+ Kodierung in Unicode, [[HTML]] und [[LaTeX]]
|- class="hintergrundfarbe6"
! rowspan="2" | Zeichen
! colspan="2" | Unicode
! rowspan="2" | Bezeichnung
! colspan="3" | HTML
! rowspan="2" | LaTeX
|- class="hintergrundfarbe6"
! Position
! Bezeichnung
! hexadezimal
! dezimal
! benannt
|- style="text-align:center"
| ∘
| <code>U+2218</code>
| style="text-align:left" | {{Kapitälchen|ring operator}}
| style="text-align:left" | Kreisoperator
| <code>&#x2218;</code>
| <code>&#8728;</code>
|
| <code>\circ</code>
|}

=== Ähnliche Zeichen ===
{| class="wikitable"
|+Ähnliche und verwandte Zeichen –<br />mit folgenden Zeichen besteht zum Teil Verwechslungsgefahr
|- class="hintergrundfarbe6"
! rowspan="2" | Zeichen
! colspan="2" | Unicode
! rowspan="2" | Name
|- class="hintergrundfarbe6"
!Position
!Bezeichnung
|- style="text-align:center"
|o
| <code>U+006F</code>
| style="text-align:left" | {{Kapitälchen|latin small letter o}}
| style="text-align:left" | [[o|Lateinischer Kleinbuchstabe o]]
|- style="text-align:center"
|°
| <code>U+00B0</code>
| style="text-align:left" | {{Kapitälchen|degree sign}}
| style="text-align:left" | [[Gradzeichen]]
|- style="text-align:center"
|ο
| <code>U+03BF</code>
| style="text-align:left" | {{Kapitälchen|greek small letter omicron}}
| style="text-align:left" | [[Omikron|Griechischer Kleinbuchstabe ο]]
|- style="text-align:center"
|о
| <code>U+043E</code>
| style="text-align:left" | {{Kapitälchen|cyrillic small letter о}}
| style="text-align:left" | [[О|Kyrillischer Kleinbuchstabe о]]
|- style="text-align:center"
|ₒ
| <code>U+2092</code>
| style="text-align:left" | {{Kapitälchen|latin subscript small letter o}}
| style="text-align:left" | [[Tiefstellung|Tiefgestellter]] lateinischer Kleinbuchstabe o
|- style="text-align:center"
|○
| <code>U+25CB</code>
| style="text-align:left" | {{Kapitälchen|white circle}}
| style="text-align:left" | Weißer [[Kreis]]
|- style="text-align:center"
|◦
| <code>U+25E6</code>
| style="text-align:left" | {{Kapitälchen|white bullet}}
| style="text-align:left" | Weißes [[Aufzählungszeichen]]
|- style="text-align:center"
|⚬
| <code>U+26AC</code>
| style="text-align:left" | {{Kapitälchen|medium small white circle}}
| style="text-align:left" | Mittlerer kleiner weißer [[Kreis]]
|- style="text-align:center"
|。
| <code>U+3002</code>
| style="text-align:left" | {{Kapitälchen|ideographic full stop}}
| style="text-align:left" | [[Punkt (Satzzeichen)#Darstellung des Punktes|Satzende]] in [[CJK]]-Schriftarten
|}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* [https://decodeunicode.org/U+2218 Verkettungszeichen in Unicode]

[[Kategorie:Mathematisches Zeichen]]

Verkettungszeichen - Versionsgeschichte

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