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2022-05-14T06:27:27Z

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{{Dieser Artikel|befasst sich mit dem Vergleichssatz in der Mathematik. Für den Vergleichssatz in der Grammatik siehe [[Komparativsatz]].}}

'''Vergleichssätze''' (englisch: comparison principle) sind in der Theorie von [[Differentialgleichungen]] wichtige Hilfsmittel, um Aussagen über das Verhalten von Lösungen dieser Gleichungen treffen zu können. Diese sind insbesondere deshalb wichtig, da man für solche Gleichungen oftmals keine expliziten Lösungsformeln angeben kann.

== Vergleichssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen ==
In der Theorie der [[gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlichen Differentialgleichungen]] ist der Vergleichssatz eines der wichtigsten Hilfsmittel, um Aussagen über Lösungen von (skalaren) Differentialgleichungen erster Ordnung zu treffen, welche man nicht explizit ausrechnen kann.

Anschaulich bedeutet er, dass Lösungen derselben Differentialgleichung angeordnet bleiben, d. h., ist <math>u(a) < v(a)</math> für zwei Lösungen einer skalaren Differentialgleichung, so bleibt <math>u(x) < v(x)</math> auf dem gesamten gemeinsamen Definitionsbereich. Ist insbesondere eine Lösung der Differentialgleichung ''explizit'' bekannt, so gewinnt man daraus Abschätzungen für nicht explizit ausrechenbare Lösungen.

Da es jedoch nicht immer möglich ist, explizite Lösungen aufzufinden, ist es aus praktischen Gründen notwendig, auch mit Ober- bzw. Unterlösungen vergleichen zu können, da diese leichter zu konstruieren sind.

=== Formulierung ===
Es sei <math>D \subset \mathbb{R}</math>, <math>F: (a,b] \times D \rightarrow \mathbb{R}</math> stetig und lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen. Weiter seien <math>y_+, y_- \in C([a,b]) \cap C^1((a, b])</math> eine Ober- bzw. Unterlösung von <math>\ y'=F(x,y)</math>, d. h., es gelte <math>y_+(x), y_-(x) \in D</math> für alle <math>x \in (a,b]</math> mit
:<math>y_+'(x) \geq F(x,y_+(x))\ \textrm{und}\ y_-'(x) \leq F(x,y_-(x))</math>
für alle <math>x \in (a,b]</math>. Gilt zudem <math>\ y_+(a) > y_-(a)</math>, so folgt
:<math>\ y_+(x) > y_-(x)</math>
für alle <math>x \in [a,b]</math>.

==== Variante ====
Analog gilt, wobei man <math>(a,b]</math> durch <math>[a,b)</math> ersetze: Falls <math>\ y_+(b) < y_-(b)</math>, so folgt <math>\ y_+(x) < y_-(x)</math> für alle <math>x \in [a,b]</math>.

==== Beweis ====
Sei <math>\ d(x) := y_+(x) - y_-(x)</math> und <math>A := \{x \in [a,b]\ |\ d(x) \leq 0\}</math>. Angenommen, <math>A \neq \emptyset</math>. Für <math>x_0 := \min A > a</math> folgt <math>d > 0</math> auf <math>[a, x_0)</math> und <math>d(x_0) = 0</math>. Man fixiere ein <math>s_0 \in (a,x_0)</math>. Es ist <math>K := \{y_+(x)\ |\ x \in [s_0,x_0]\} \cup \{y_-(x)\ |\ x \in [s_0,x_0]\}</math> eine kompakte Teilmenge von <math>D</math>. Da <math>F</math> lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen, gibt es ein <math>L \geq 0</math> mit
:<math>\|F(x,y) - F(x,z)\| \leq L\|y-z\|</math>
für alle <math>x \in [s_0,x_0]</math> und <math>y,z \in K</math>. Es folgt
:<math>d'(x) = y_+'(x)-y_-'(x) \geq F(x,y_+(x))-F(x,y_-(x)) \geq -L\|y_+(x)-y_-(x)\| = -L\cdot d(x)</math>
für alle <math>x \in [s_0,x_0]</math>, also <math>\frac{d'(x)}{d(x)} \geq -L</math> für alle <math>x \in [s_0, x_0)</math>. Integration liefert <math>\ln d(x) - \ln d(s_0) \geq -L(x-s_0)</math>, also <math>d(x) \geq d(s_0)e^{-L(x-s_0)}</math> für alle <math>x \in (s_0, x_0)</math>. Aus der Stetigkeit von <math>d</math> folgt der Widerspruch <math>d(x_0) \geq d(s_0)e^{-L(x_0-s_0)} > 0</math>.
<div align="right"><math>\Box</math></div>

=== Beispiel ===
Man betrachte das Anfangswertproblem
:<math>y' = \frac{y^6-64}{1+x^2y^2}\ ,\ y(0) = 1\ .</math>
Es besitzt eine [[nicht-fortsetzbare Lösung]] <math>y: D \rightarrow \mathbb{R}</math>.
Die Differentialgleichung hat die trivialen Lösungen <math>y_1(x) :\equiv 2</math> und <math>y_2(x) :\equiv -2</math>. Gemäß dem Vergleichssatz, jeweils angewandt auf <math>\ y,y_1</math> und <math>\ y,y_2</math>, gilt <math>\ -2 < y(x) < 2</math> für alle <math>x \in D</math>. Insbesondere folgt aus dem [[nicht-fortsetzbare Lösung|Satz über das maximale Existenzintervall]], dass <math>D = \mathbb{R}</math>, d. h., die Lösung existiert global. Zudem liefert die Abschätzung <math>y' < 0</math>. Somit ist <math>y</math> streng monoton fallend.
<div align="right"><math>\Box</math></div>

== Vergleichssätze für partielle Differentialgleichungen ==
Auch für [[Partielle Differentialgleichung|partielle Differentialgleichungen]] existieren Vergleichssätze, etwa für die nichtlineare [[parabolische Differentialgleichung]].<ref>Gerhard Dziuk: ''Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen.'' de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-014843-5, Seite 190–194</ref> Als Verallgemeinerung des schwachen [[Maximumprinzip (Mathematik)|Maximumprinzips]] erlauben die Vergleichssätze Aussagen insbesondere über die Lösungen ''nichtlinearer'' partieller Differentialgleichungen.

== Literatur ==
* Wolfgang Walter: ''Gewöhnliche Differentialgleichungen''. 6. Auflage. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg/New York 1996, ISBN 3-540-59038-2.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen]]
[[Kategorie:Theorie partieller Differentialgleichungen]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]

Vergleichssatz - Versionsgeschichte

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