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2024-10-27T11:38:48Z

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In der elementaren [[Mengenlehre]] gibt es zwei wichtige '''Vergleichbarkeitssätze''':

# Für beliebige [[Menge (Mathematik)|Mengen]] <math>M</math>, <math>N</math> gilt stets: <math>|M|\leq |N|</math> oder <math>|N|\leq |M|</math>. wobei <math>|M|\leq |N|</math> eine Kurzschreibweise für die Aussage, es gibt eine injektive Abbildung von <math>M</math> nach <math>N</math>, ist.<br> (Anmerkung: gelten beide Beziehungen, so sind die Mengen nach dem [[Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem]] [[gleichmächtig]].)
# Wann immer <math>(A,<)</math> und <math>(B,<)</math> [[Wohlordnung]]en sind, ist eine dieser Wohlordnungen zu einem Anfangsabschnitt der anderen [[isomorph]].

== Beweisskizze des Satzes für wohlgeordnete Mengen ==

Für beliebige Wohlordnungen <math>(A,<)</math> und <math>(B,<)</math> definieren wir eine Relation <math>R_{A,B}\subseteq A\times B</math> so:
:<math> R_{A,B}:= \bigg\{(a,b)\in A\times B: \{x\in A: x<a\} \simeq \{y\in B: y < b\}\bigg\}</math>
Man kann leicht zeigen, dass <math>R_{A,B}</math> eine partielle [[injektive Funktion]] ist (rechtseindeutig und linkseindeutig), dass [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]] und Wertebereich Anfangsabschnitte von <math> A </math> bzw. <math>B</math> sind und dass diese Funktion streng monoton ist.

Die Annahme, dass sowohl Definitions- und Wertebereich echte Anfangsabschnitte von <math> A </math> bzw. <math>B</math> sind, führt auf einen Widerspruch; denn dann müsste es <math>a_0\in A</math> und <math>b_0\in B</math> geben, sodass <math>R_{A,B} </math> eine Ordnungsisomorphie von <math>\{x\in A: x<a_0\}</math> nach <math> \{y\in B: y < b_0\}</math> wäre, also wäre nach Definition auch <math>(a_0,b_0)</math> in <math>R_{A,B}</math>.

Daher ist entweder der Definitions- oder der Wertebereich von <math>R_{A,B}</math> ganz <math> A </math> bzw. ganz <math>B</math>. Damit ist dann <math>R_{A,B}</math> entweder eine Isomorphie zwischen <math> A </math> und einem Anfangsabschnitt von <math>B</math>, oder zwischen einem Anfangsabschnitt von <math> A </math> und <math>B</math>.

== Beweisskizze des Satzes für beliebige Mengen ==

Seien <math>M</math> und <math>N</math> beliebige Mengen. Nach dem [[Wohlordnungssatz]] gibt es auf <math>M</math> und <math>N</math> Wohlordnungen <math>(M,<)</math> und <math>(N,<)</math>. Nach dem Vergleichbarkeitssatz für Wohlordnungen existiert ein Isomorphismus <math>f</math> zwischen der einen Wohlordnung und einem Anfangsabschnitt der anderen. Diese Abbildung ist nun eine injektive Funktion von der einen in die andere Menge.

== Die Notwendigkeit des Auswahlaxioms ==

Der Vergleichbarkeitssatz für wohlgeordnete Mengen kann ohne Verwendung des Auswahlaxioms bewiesen werden.

Aus dem Vergleichbarkeitssatz für beliebige Mengen folgt hingegen der Wohlordnungssatz, somit auch das [[Auswahlaxiom]]: Zu jeder Menge <math>M</math> kann man nämlich nach dem [[Satz von Hartogs (Mengenlehre)|Satz von Hartogs]] eine Ordinalzahl <math>\alpha</math> finden, die nicht in <math>M</math> injektiv eingebettet werden kann. Nach dem Vergleichbarkeitssatz muss es eine injektive Abbildung von <math>M</math> nach <math>\alpha</math> geben; so eine Abbildung induziert eine Wohlordnung auf <math>M</math>.

Der Vergleichbarkeitssatz für beliebige Mengen ist also (über der Theorie [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZF]]) zum Auswahlaxiom äquivalent.

== Geschichte ==
Der Satz wurde lange Zeit von [[Georg Cantor]] vermutet, konnte aber erst [[1904]] durch [[Ernst Zermelo]] bewiesen werden.

== Literatur ==
* Oliver Deiser: ''Einführung in die Mengenlehre''. Berlin [[2004]]. ISBN 3-540-20401-6

[[Kategorie:Satz (Mengenlehre)]]

Vergleichbarkeitssatz - Versionsgeschichte

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