imported>At40mha: nowiki entfernt

2026-04-12T12:40:11Z

nowiki entfernt

Neue Seite

[[Datei:spherical triangle 3d.png|mini|Kugeldreieck mit Winkeln]]
Unter '''Verebnung''' wird in der [[Geodäsie]] die Überführung der Kugelgestalt der [[Erdoberfläche]] in die [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] sowie die Darstellung von [[Reliefunterschied]]en verstanden.<ref>{{Literatur |Autor=Fabian van der Linden |Titel=Wie sieht für dich eine Karte aus?: Eine empirische Studie zu Vorstellungen von Schülerinnen und Schülern der vierten und elften Jahrgangsstufe |Verlag=BoD – Books on Demand |Datum=2022 |ISBN=978-3-7568-3468-6 |Seiten=42ff. |Online=https://www.google.de/books/edition/Wie_sieht_f%C3%BCr_dich_eine_Karte_aus/rzGiEAAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=verebnung+h%C3%BCttermann&pg=PA42&printsec=frontcover |Abruf=2026-04-10}}</ref>

Dabei findet mittels einer vereinfachten Berechnung für [[Kugeldreieck]]e unter Anwendung des [[Satz von Legendre|Satzes von Legendre]] eine Überführung auf ebene [[Dreieck]]e statt.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.biancahoegel.de/topo/satz_legendre.html |titel=Satz von Legendre |abruf=2026-04-10}}</ref> Vereinfacht ausgedrückt wird dabei von jedem Winkel des [[Sphärisches Dreieck|sphärischen Dreiecks]] ein Drittel des Betrages, um den die Winkelsumme 180° übersteigt, - dem sogenannten [[Kugeldreieck|sphärischen Exzess]] - abgezogen. Dadurch erhält man ein [[Planarer Graph|planares]] Ersatzdreieck mit denselben Seitenlängen, das sich auf einfache Weise mit den Mitteln der ebenen [[Trigonometrie]] berechnen lässt. Das Verfahren reduziert dabei den Rechenaufwand erheblich, ohne bei den in der Landvermessung üblichen Distanzen nennenswerte Fehler zu verursachen.<ref>Florita-Ionela STRUGARI, Raluca-Camelia MURESAN, Alexandra-Madalina GRAD, Alina GIURGIU, University of Agricultural Sciences and Veterinary Medicine of Cluj-Napoca: ''COMPARATIVE ANALYSIS OF THE RESULTS OBTAINED FROM SOLVING SMALL SPHERICAL TRIANGLES THROUGH LEGENDRE METHOD, AND THROUGHSOLDNER METHOD''. In: Journal of Young Scientist, Volume II, 2014 {{ISSN|2344-1283}}; abrufbar unter https://journalofyoungscientist.usamv.ro/pdf/vol_II_2014/art39.pdf</ref>

Die Berechnung der Verebnung setzt voraus, dass zwei oder drei Dreieckswinkel <math>\alpha, \beta, \gamma</math> in der Natur gemessen oder anderweitig bekannt sind. Sie ergibt für Dreiecksseiten einer Länge bis etwa 100 km eine [[Genauigkeit]] im Millimeter-Bereich, d. h. ca. <math>10^{-8}.</math><ref>Geodätische Messtechnik -Vermessungskunde - Band 2, F. Chaperon und A. Elmiger, 4. Auflage Dez. 1996, ETH Zürich, Institut für Geodäsie und Photogrammetrie, ISBN 3-906513-60-2, [https://www.geometh-data.ethz.ch/student/diverses/Vermessungskunde96_Band2.pdf Online]</ref>

Der Rechenvorgang ist folgendermaßen:<ref>{{Literatur |Autor=Wilhelm Jordan, Otto Eggert |Titel=Handbuch der Vermessungskunde: Mathematische Geodäsie (Landesvermessung) von M. Kneissl: 1. Die Figur der Erde und die geodätischen Bezugsflächen. Die Feldarbeiten bei der Haupttriangulation. 2. Die geodätischen Berechnungen auf der Kugel und auf dem Ellipsoid. 2 v |Verlag=J. B. Metzler |Datum=1959 |ISBN=978-3-476-40011-6 |Seiten=725ff. |Online=https://www.google.de/books/edition/Handbuch_der_Vermessungskunde_Mathematis/J1ovAQAAIAAJ?hl=de&gbpv=1&bsq=verebnung+geod%C3%A4sie&dq=verebnung+geod%C3%A4sie&printsec=frontcover |Abruf=2026-04-10}}</ref>
# genäherte Berechnung der [[Flächeninhalt|Dreiecksfläche]] <math>\tilde A</math> (hierfür genügen vorläufige Werte)
# Berechnung des [[sphärischer Exzess|sphärischen Exzesses]] <math>\epsilon</math>, um den die [[Winkelsumme]] eines sphärischen Dreiecks den Wert von 180° übersteigt:<math>\epsilon = \alpha + \beta + \gamma - 180^\circ</math>
# aus der genäherten Dreiecksfläche <math>\tilde A</math>:
# <math>\tilde A = \frac{\epsilon}{180^\circ} \cdot \pi R^2 \quad \Leftrightarrow \quad \epsilon = \frac{\tilde A}{\pi R^2} \cdot 180^\circ,</math> worin <math>R</math> der [[Radius|Kugelradius]] ist.

:3. Verminderung aller gemessenen (sphärischen) Dreieckswinkel um <math>\frac{\epsilon}{3}</math>
:4. Berechnung der Dreiecksseiten mittels ebener [[Trigonometrie]].

Bei einem sehr kleinen Kugeldreieck (klein im Vergleich zur gesamten Erdoberfläche) übersteigt die Winkelsumme den Wert von 180° nur wenig. So hat z. B. ein [[gleichseitiges Dreieck]] mit 21 km langen Seiten einen sphärischen Exzess von nur 1 [[Winkelsekunde|"]] (etwa das Zehnfache der modernen [[Messgenauigkeit]]). Überdeckt das Dreieck hingegen fast die halbe [[Kugeloberfläche]] (drei Winkel zu fast 180°), so ist die Winkelsumme nur wenig kleiner als 540° und der Exzess daher beinahe 360°.<ref name=":0">{{Internetquelle |url=https://www.walter-fendt.de/html5/mde/sphericaltriangle_de.htm |titel=Kugeldreieck, Seiten und Winkel |abruf=2026-04-10}}</ref>

Der direkte Zusammenhang zwischen Exzess und Dreiecksfläche wird am Achtel einer Kugel deutlich (gleichseitiges Dreieck mit drei sphärischen Winkeln zu je 90°), wo <math>\epsilon = 90^\circ</math> beträgt. Ein solches Dreieck verbindet z. B. ein Viertel des [[Äquator]]s mit dem [[Nordpol]]. Gemäß der obigen Rechenvorschrift sind die drei Winkel jeweils um <math>\tfrac{\epsilon}{3} = \tfrac{90^\circ}{3} = 30^\circ</math> zu verringern, so dass sich mit 60° jeweils der Winkel ergibt, den ein ebenes gleichseitiges Dreieck aufweist.<ref name=":0" />

== Siehe auch ==
* [[Erdkrümmung]]
* [[Kugelzweieck]]
* [[sphärische Astronomie]]
* [[Netzausbreitung]], [[Vermessungsnetz]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematische Geographie]]

Verebnung - Versionsgeschichte

imported>At40mha: nowiki entfernt