imported>FlMcc: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|0 */

2024-11-15T07:09:54Z

growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|0

Neue Seite

Das '''Verdopplungsverfahren''', auch bekannt als '''[[Arthur Cayley|Cayley]]-[[Leonard Eugene Dickson|Dickson]]-Verfahren''', ist ein Verfahren zur Erzeugung [[Hyperkomplexe Zahlen|hyperkomplexer Zahl]]en. Das neue [[Zahlensystem]] hat dabei doppelt so viele Dimensionen wie das Ausgangssystem.

Die Bedeutung des Verdopplungsverfahrens liegt darin, dass es aus den [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] nacheinander die [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], die [[Quaternionen]], die [[Oktonionen]] und die [[Sedenionen]] hervorbringt.

== Definition ==

Sei <math>a</math> eine hyperkomplexe Zahl und <math>a^*</math> die konjugierte hyperkomplexe Zahl (diese erhält man, indem man in der Schreibweise der Zahl als [[Linearkombination]] ihrer Einheiten die Vorzeichen der Koeffizienten der imaginären Einheiten umkehrt).
Wir betrachten nun Paare über den hyperkomplexen Zahlen mit folgender Addition und [[Multiplikation]]:
:<math> (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)</math>

:<math> (a,b)(c,d) = (ac - d^*b,da + bc^*)</math>
Bei der Multiplikation ist die Reihenfolge der Faktoren wichtig, da das [[Kommutativgesetz]] nicht zu gelten braucht.

Die Paare mit der so definierten Addition und Multiplikation bilden wieder ein System [[Hyperkomplexe Zahlen|hyperkomplexer Zahlen]].

== Alternative Beschreibung ==

Eine andere Beschreibung des Verdopplungsverfahrens sieht so aus: Füge zu den hyperkomplexen
Zahlen eine neue Einheit <math>E</math> hinzu und betrachte nun Summen <math>a + bE </math> mit
folgender Addition und Multiplikation
:<math>(a + bE) + (c + dE) = (a + c) + (b + d)E</math>
:<math>(a + bE)\;\cdot\,(c + dE) = (ac - d^*b) + (da + bc^*)E</math>
In dieser Beschreibung sieht man leicht, dass
:<math>E^2 = -1</math>
und dass <math>E</math> mit den imaginären Einheiten <math>\mathbf i_k</math> des
Ausgangssystems anti-kommutiert:
:<math>E\mathbf i_k = -\mathbf i_k E</math>.

== Die ersten Schritte ==

=== Von den reellen zu den komplexen Zahlen ===

Wenn <math>a</math> eine [[reelle Zahl]] ist, ist <math>a^* = a</math>. Außerdem ist die Multiplikation
der reellen Zahlen [[kommutativ]]. Damit vereinfachen sich die Gleichungen zu:
:<math>(a + bE) + (c + dE) = (a + c) + (b + d)E</math>

:<math>(a + bE)\;\cdot\,(c + dE) = (ac - bd) + (ad + bc)E</math>
Setzt man <math>E=i</math>, erkennt man die [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] wieder.

=== Von den komplexen Zahlen zu den Quaternionen ===

Die komplexen Zahlen verlieren im Vergleich zu den reellen Zahlen die Eigenschaft, zu ihrer konjugierten Zahl gleich zu sein. Die Multiplikation ist weiterhin kommutativ. Damit erhalten wir:
:<math>(a + bE) + (c + dE) = (a + c) + (b + d)E</math>
:<math>(a + bE)\;\cdot\,(c + dE) = (ac - d^*b) + (da + bc^*)E</math>

Setzt man <math>E=j</math> und <math>\ iE=k</math>, erkennt man die [[Quaternionen]] wieder.
Die Multiplikation der Quaternionen ist nicht mehr [[kommutativ]], aber das [[Assoziativgesetz]] gilt weiterhin.

=== Von den Quaternionen zu den Oktonionen ===

Von nun an braucht man die Formel in ihrer vollen Schönheit. Beim Schritt zu den Oktonionen geht auch noch das [[Assoziativgesetz]] der Multiplikation verloren. Immerhin bilden die Oktonionen einen [[Alternativkörper]].

=== Und weiter ===

Verdoppelt man die [[Oktonionen]], dann erhält man die [[Sedenionen]]. Die Sedenionen verlieren die Eigenschaft, eine [[Divisionsalgebra]] zu sein und auch die [[Alternativität]] der Multiplikation geht verloren. Die Sedenionen sind nur noch [[Potenz-assoziative Algebra|potenz-assoziativ]]. Diese Eigenschaft geht auch bei weiterer Anwendung des Verdopplungsverfahrens nicht verloren.

== Literatur ==

*I. L. Kantor, A. S. Solodownikow: ''Hyperkomplexe Zahlen.'' BSG B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1978.

[[Kategorie:Algebra]]

Verdopplungsverfahren - Versionsgeschichte

imported>FlMcc: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:2|0|0 */