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2025-03-27T18:00:37Z

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{{Dieser Artikel|behandelt die zusammenhängende Summe von Mannigfaltigkeiten. Für die zusammenhängende Summe von Knoten siehe [[zusammengesetzter Knoten]].}}
In der [[Geometrie]] und [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] ist die Bildung der '''verbundenen''' oder '''zusammenhängenden Summe''' eine Möglichkeit, aus gegebenen [[Mannigfaltigkeit]]en neue, kompliziertere Mannigfaltigkeiten zusammenzusetzen oder umgekehrt komplizierte Mannigfaltigkeiten als verbundene Summe von einfacheren zu zerlegen.
[[Bild:Connected sum.svg|right|mini|220px|Verbundene Summe von ''A'' und ''B''.]]

== Definition ==

Sind ''A'' und ''B'' zwei [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängende]] ''m''-dimensionale Mannigfaltigkeiten, so bezeichnet die '''verbundene Summe'''
: <math>A\#B:=(A\setminus \operatorname{Int} B_1^m)\cup_f (B\setminus \operatorname{Int} B_2^m)</math>
diejenige Mannigfaltigkeit, die durch Herausschneiden je eines ''m''-[[Sphäre (Mathematik)|Balles]] <math>B^m</math> aus ''A'' und ''B'' und dem Zusammenkleben entlang der entstandenen Ränder entsteht, d. h. entlang des [[Homöomorphismus]] <math>f:S^{m-1}\to S^{m-1}</math> (so dass die [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] erhalten bleibt).

== Eigenschaften ==

=== Wohldefiniertheit ===

Falls beide ursprünglichen Mannigfaltigkeiten [[Orientierung (Mathematik)|orientiert]] sind, so wird die verbundene Summe eindeutig, indem man fordert, dass die Verklebeabbildung [[Orientierung (Topologie)|orientierungsumkehrend]] sein soll. Für die Konstruktion muss man zwar jeweils einen Ball auswählen, jedoch ist das Ergebnis (bis auf einen [[Homöomorphismus]]) das gleiche, egal wo der Ball herausgeschnitten wird.

Die verbundene Summe lässt sich auch auf die [[Kategorientheorie|Kategorie]] der [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|differenzierbare Mannigfaltigkeiten]] übertragen, indem man die Verklebung auf einem [[Kragen (Topologie)|Kragen]] <math>S^{m-1}\times [0,1]</math> um die Randsphäre glatt definiert. Dabei erhält man Eindeutigkeit bis auf einen [[Diffeomorphismus]].

Die Menge aller ''m''-dimensionalen Mannigfaltigkeiten zusammen mit der Operation der verbundenen Summe bildet eine [[Halbgruppe]] mit der [[Topologische Sphäre|''m''-Sphäre]] als [[Neutrales Element|neutralem Element]]. Die verbundene Summe von <math>M</math> mit <math>S^m</math> ist also homöomorph zu <math>M</math>.

=== Flächen (2-Mannigfaltigkeiten) ===

Bei [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] (2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten) bedeutet die oben beschriebene Konstruktion das Herausschneiden von je einer [[Scheibe]] und Verklebung am entstandenen eindimensionalen Rand. 

Die verbundene Summe mit einem [[Torus]] ist dann äquivalent zum [[Henkel-Zerlegung|Hinzufügen eines Henkel]]s, sie erhöht also das Geschlecht der Fläche um eins. Der [[Klassifikationssatz für 2-Mannigfaltigkeiten]] sagt aus, dass jede [[kompakter Raum|kompakte]] Fläche homöomorph zur verbundenen Summe von einer 2-Sphäre, einer [[Kleinsche Flasche|Kleinschen Flasche]] oder des projektiven 2-dimensionalen Raumes mit Null oder mehr Tori ist.

'''Beispiele für Flächen:'''
* Die verbundene Summe zweier Tori ist eine Sphäre mit 2 Henkeln, d. h. eine Fläche vom Geschlecht zwei.
* Die verbundene Summe zweier projektiver Räume ist eine Kleinsche Flasche.

=== 3-Mannigfaltigkeiten ===

Ein wichtiges Resultat in der 3-dimensionalen Topologie ist folgende '''Primzerlegungssatz''' von [[Helmut Kneser]] (1930):
:''Jede kompakte, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit ist die verbundene Summe einer eindeutigen Kollektion von '''primen''' 3-Mannigfaltigkeiten.''
Eine Mannigfaltigkeit wird dabei als '''prim''' bezeichnet, wenn sie nicht als verbundene Summe zusammengesetzt werden kann außer auf die triviale Weise, d. h. als
:<math>P=P\#S^3</math>.

Ist ''P'' eine prime 3-Mannigfaltigkeit, so ist sie entweder <math>S^2\times S^1</math>, das nicht-orientierbare <math>S^2</math>-Bündel über <math>S^1</math> oder jede 2-Sphäre in ''P'' berandet einen Ball. Im letzten Fall heißt ''P'' '''irreduzibel'''.

Der Primzerlegungssatz gilt auch für nicht-orientierbare 3-Mannigfaltigkeiten, jedoch muss hierfür die Eindeutigkeitsaussage abgewandelt werden:
:''Jede kompakte, nicht-orientierbare 3-Mannigfaltigkeit ist die verbundene Summe eine Kollektion von irreduziblen 3-Mannigfaltigkeiten und nicht-orientierbaren <math>S^2</math>-Bündeln über <math>S^1</math>. Diese Summe ist eindeutig falls man fordert, dass jeder Summand entweder irreduzibel oder ein nicht-orientierbares <math>S^2</math>-Bündel über <math>S^1</math> ist''.

Der Beweis der beiden Theoreme benutzt die von Kneser entwickelte Normalflächentechnik.

Die Verbundene-Summen-Zerlegung spielt eine wichtige Rolle im Zusammenhang mit der von [[William Thurston]] aufgestellten [[Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten|Geometrisierungsvermutung]].

== Siehe auch ==
* [[Primzerlegung (Topologie)]]

== Literatur ==

* Allen Hatcher: [https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/3M/3M.pdf ''Notes on Basic 3-Manifold Topology''] (PDF; 385 kB) 2000 (englisch).

[[Kategorie:Differentialtopologie]]
[[Kategorie:Geometrische Topologie]]

Verbundene Summe - Versionsgeschichte

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