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[[Datei:GQ(2,2), the Doily.svg|mini|Ein kleines nicht-triviales verallgemeinertes Viereck: das „Doily“, bis auf Isomorphie das einzige <math>GQ(2,2)</math>]]
'''Verallgemeinertes Viereck''' ist eine Bezeichnung für bestimmte [[Inzidenzstruktur]]en, die insbesondere in der [[Endliche Geometrie|endlichen Geometrie]] untersucht werden.

== Definition ==
Eine Inzidenzstruktur <math>\mathcal{I}=(\mathfrak{p},\mathfrak{B},I)</math> mit einer ''Inzidenzrelation'' <math>I\subseteq \mathfrak{p}\times\mathfrak{B}</math> heißt ''verallgemeinertes Viereck'', wenn die folgenden Axiome gelten:<ref>Payne, Thas 1984.</ref>
# Es existiert eine [[natürliche Zahl]] <math>s\geq 1</math>, sodass jeder Block <math>b\in\mathfrak{B}</math> genau <math>s</math> Punkte enthält – hier werden ''Blöcke'' meist als ''Geraden'' bezeichnet.
# Es existiert eine natürliche Zahl <math>t\geq 1</math>, sodass durch jeden Punkt <math>p\in\mathfrak{p}</math> genau <math>t</math> Geraden gehen.
# Durch zwei verschiedene Punkte existiert ''höchstens eine'' Gerade.
# Für jeden Punkt <math>p</math>, der nicht auf einer Geraden <math>g</math> liegt, existiert genau eine Gerade <math>h</math> durch <math>p</math>, die <math>g</math> schneidet.

Allgemeiner wird auch zugelassen, dass eine der Anzahlen <math>s, t</math> in den ersten beiden Axiomen eine feste [[Kardinalzahl (Mathematik)|''unendliche'' Zahl]] ist.

=== Ordnung ===
Die Anzahl <math>s=v_1</math> der Punkte auf einer beliebigen Geraden wird zusammen mit der Anzahl <math>t=b_1</math> der Geraden durch einen beliebigen Punkt zusammengefasst und das Zahlenpaar <math>(s-1,t-1)</math> als ''Ordnung''<ref name="Polster4">Polster 1991: ''4. Generalized Quadrangles.''</ref> des verallgemeinerten Vierecks bezeichnet. Man schreibt dann auch, das Viereck sei ein <math>GQ(s-1,t-1)</math>.

== Eigenschaften ==
* Falls es mehr als einen Punkt und mehr als eine Gerade gibt, ist die Struktur ''einfach.'' Das heißt, zwei Geraden sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Punkte enthalten.
* Die duale Inzidenzstruktur eines <math>GQ(s-1,t-1)</math>, die durch Vertauschung der Punkt- mit der Geradenmenge und Umkehrung der Inzidenzrelation entsteht, ist ein <math>GQ(t-1,s-1)</math>. Es gilt allgemeiner (da die Aussage auch für ''un''endliche verallgemeinerte Vierecke gilt): Die [[Klasse (Mengenlehre)|Klasse]] aller verallgemeinerten Vierecke ist zu sich selbst dual.
* Auch im Fall <math>s=t</math> muss das verallgemeinerte Viereck nicht zu seinem dualen Viereck isomorph sein.
* Jedes endliche verallgemeinerte Viereck erfüllt die [[Inzidenzstruktur#Regularitätsbedingungen und Typen von endlichen Inzidenzstrukturen|Regularitätsbedingungen]] <math>(P_1)</math> und <math>(B_1)</math> und ist also eine [[taktische Konfiguration]].
* Ist die Anzahl der Punkte <math>v_0\geq 2</math> und die Anzahl der Geraden <math>b_0\geq 2</math>, dann existieren Paare von Punkten ohne [[Verbindungsgerade]]n, daher ist dann das verallgemeinerte Viereck ''keine'' [[Inzidenzgeometrie]] und auch kein 2-[[Blockplan]].

=== Anzahlen der Punkte und Geraden ===
Für <math>s,t \geq 1</math> gilt:
* Ein <math>GQ(s-1,t-1)</math> enthält genau <math>(s+1)\cdot (st+1)</math> Punkte.<ref name="Polster4" />
* Ein <math>GQ(s-1,t-1)</math> enthält genau <math>(t+1)\cdot (st+1)</math> Geraden.<ref name="Polster4" />

== Beispiele ==
* Triviale Beispiele sind:
** Strukturen mit einer Geraden, die alle <math>s</math> Punkte enthält <math>(GQ(s-1,0))</math>
** Dual zu vorigem: Strukturen mit einem Punkt, durch den alle <math>t</math> Geraden gehen <math>(GQ(0,t-1))</math>
* Das gewöhnliche [[Viereck]] (Eckpunkte als Punkte und Seiten als Blöcke) ist das bis auf Isomorphie einzige <math>GQ(1,1)</math>, einziges <math>GQ</math> mit genau 4 Punkten und isomorph zu seiner dualen Struktur.
* Allgemeiner ist ein quadratisches Gitter ein <math>GQ(n,1)</math>.
* Das „Doily“ ist ein <math>GQ(2,2)</math>. Es wurde von Payne so benannt,<ref name="Payne">Payne 1973: Das englische Wort ''doily'' bezeichnet in etwa ein [[Tortenspitze|Deckchen]].</ref> und das in der Einleitung dargestellte Diagramm des Doily wurde als Titelbild der Proceedings<ref name="Payne" /> gewählt.

=== Auf einem Hyperboloid ===
{{Hauptartikel|Quadratische Menge}}
[[Datei:Ruled hyperboloid.jpg|mini|Die Abbildung zeigt ein (affines) einschaliges Hyperboloid mit einigen in dieser Quadrik enthaltenen Geraden, die sich in zwei disjunkte Scharen aufteilen lassen]]

Auf einem [[Hyperboloid]] in einem dreidimensionalen affinen oder projektiven Raum lässt sich folgendermaßen ein verallgemeinertes Viereck erklären: Die Punkte sind die Punkte auf der Hyperboloidfläche, die Geraden sind die ganz im Hyperboloid enthaltenen Geraden. Diese Geraden bilden zwei Scharen, die Geraden einer solchen Schar sind paarweise [[windschief]] zueinander. Durch jeden Punkt gehen genau zwei Geraden <math>(t=2)</math>.

In einem ''endlichen'' projektiven Raum <math>\mathbb{P}^3(\mathbb{F_q})</math> über dem [[Endlicher Körper|endlichen Körper]] <math>\mathbb{F_q}</math> enthält jede Gerade <math>s=q+1</math> Punkte. Also ist dieses verallgemeinerte Viereck ein <math>GQ(q,1)</math>. Es ist isomorph zu einem quadratischen Gitter.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Albrecht Beutelspacher]], Ute Rosenbaum |Titel=Projektive Geometrie |TitelErg=Von den Grundlagen bis zu den Anwendungen |Reihe=Vieweg Studium: Aufbaukurs Mathematik |Auflage=2., durchgesehene und erweiterte |Verlag=Vieweg |Ort=Wiesbaden |Datum=2004 |ISBN=3-528-17241-X |Abruf=2022-03-04 |Online=[https://d-nb.info/972794298/04 Inhaltsverzeichnis] |Kommentar=Verallgemeinerte Vierecke auf Quadriken}}
* {{Literatur |Autor=S. E. Payne, [[Joseph A. Thas]] |Titel=Finite generalized quadrangles |Sammelwerk=Research Notes in Mathematics |Verlag=Pitman (Advanced Publishing Program) |Ort=Boston |Datum=1984 |ISBN=0-273-08655-3}}
* {{Literatur |Autor=S. E. Payne |Titel=Finite generalized quadrangles |TitelErg=A survey |Sammelwerk=Proceedings of the International Conference on Projective Planes |Verlag=Pullman |Ort=Washington |Datum=1973 |Seiten=219–261}}
* {{Literatur |Autor=Burkhard Polster |Titel=A geometrical picture book |Auflage=1. |Verlag=Springer |Ort=New York / Berlin / Heidelberg |Datum=1998 |ISBN=0-387-98437-2 }}
* {{Literatur |Autor=Koen Thas |Titel=Symmetry in finite generalized quadrangles |Sammelwerk=Frontiers in Mathematics |Verlag=Birkhäuser Verlag |Ort=Basel |Datum=2004 |ISBN=3-7643-6158-1}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld|GeneralizedQuadrangle|Generalized Quadrangle}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Inzidenzstruktur]]
[[Kategorie:Endliche Geometrie]]
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]

Verallgemeinertes Viereck - Versionsgeschichte

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