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2026-03-16T20:44:03Z

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'''Verallgemeinerte Laplace-Operatoren''' sind mathematische Objekte, welche in der [[Differentialgeometrie]] insbesondere in der [[Globale Analysis|Globalen Analysis]] untersucht werden. Die hier behandelten Operatoren sind Verallgemeinerungen des aus der reellen [[Analysis]] bekannten [[Laplace-Operator|Laplace-Operators]]. Diese Verallgemeinerungen sind notwendig, um den Laplace-Operator auf [[riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeiten]] definieren zu können. Eine wichtige Rolle spielen diese Operatoren in den Beweisen für den [[Atiyah-Singer-Indexsatz]] und den [[Atiyah-Bott-Fixpunktsatz]].

== Definition ==
Sei <math>(M,g)</math> eine n-dimensionale [[riemannsche Mannigfaltigkeit]], <math>\pi \colon E \to M</math> ein hermitesches [[Vektorbündel]] und <math>H \colon \Gamma^\infty(M,E) \to \Gamma^\infty(M,E)</math> ein [[geometrischer Differentialoperator]] zweiter Ordnung. Dieser heißt verallgemeinerter Laplace-Operator, falls für sein Hauptsymbol
:<math>\sigma_H^2(x,\xi) = \|\xi\|^2</math>
für <math>x \in M</math> und <math>\xi \in T^*_xM</math> gilt. Die [[Norm (Mathematik)|Norm]] wird durch die riemannsche Metrik induziert und daher ist auch die Definition abhängig von der Metrik.

== Beispiele ==
Im Folgenden werden einige bekannte Beispiele verallgemeinerter Laplace-Operatoren vorgestellt. Dazu sei wieder wie in der Definition <math>(M,g)</math> eine <math>n</math>-dimensionale, kompakte riemannsche Mannigfaltigkeit und <math>\pi \colon E \to M</math> ein Vektorbündel.

=== Laplace-Beltrami-Operator ===
====Definition ====
Der '''Laplace-Beltrami-Operator''' ist definiert durch
:<math>\Delta f := \operatorname{div} (\operatorname{grad} f ).</math>
für zweimal stetig differenzierbare Funktionen <math>f\colon M \to \R</math>.
Dabei bezeichnet <math>\operatorname{grad} f</math> den [[Gradient (Mathematik)|Gradient]]en der Funktion <math>f</math>, ein Vektorfeld auf <math>M</math>. Die [[Divergenz eines Vektorfeldes]] <math>X</math> auf <math>M</math> an der Stelle <math>p \in M</math> ist definiert als die Spur der linearen Abbildung <math>\nabla X\colon T_pM \to T_p M</math>, <math>\xi \mapsto \nabla_\xi X</math>, wobei <math>\nabla</math> der [[Levi-Civita-Zusammenhang]] auf <math>M</math> ist. Hat man als Definitionsbereich eine offene Teilmenge des <math>\R^n</math>, betrachtet als Mannigfaltigkeit über sich, so ist der Zusammenhang <math>\nabla</math> die gewöhnliche [[Richtungsableitung]] und <math>\operatorname{div}</math> die aus der reellen Analysis bekannte Divergenz eines Vektorfeldes. In diesem Fall erhält man den bekannten Laplace-Operator.

==== Lokale Koordinaten ====

Es seien <math>(x_1, \dots, x_n)</math> lokale Koordinaten auf <math>M</math> und <math>\tfrac{\partial}{\partial x_1}, \dots, \tfrac{\partial}{\partial x_n}</math> die zugehörigen Basisfelder des Tangentialbündels. Mit <math>g_{ij}</math> für <math>1 \le i,j \le n</math> seien die Komponenten der riemannschen Metrik <math>g</math> bezüglich dieser Basis bezeichnet.

Die Darstellung des Gradienten <math>\operatorname{grad}</math> in lokalen Koordinaten lautet dann

:<math>\operatorname{grad} f = \sum_{i,j} \left(g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x_j} \right) \frac{\partial}{\partial x_i}</math>.

Hierbei ist <math>(g^{ij})</math> die inverse Matrix der Matrix <math>(g_{ij})</math>.

Die Darstellung der Divergenz eines Vektorfelds <math>\textstyle X = \sum\limits_i X^i \tfrac{\partial }{\partial x_i}</math> ist
:<math>\operatorname{div} X = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \sum_i \frac{\partial}{\partial x_i} \left(\sqrt {\det g} X^i\right)</math>,
wobei <math>\det g</math> die [[Determinante]] der Matrix <math>(g_{ij})</math> ist.<ref>[[Torsten Fließbach]]: ''Allgemeine Relativitätstheorie''. 4. Auflage, Elsevier – Spektrum Akademischer Verlag, 2003, Kapitel 17 Verallgemeinerte Vektoroperationen ISBN 3-8274-1356-7</ref>

Setzt man diese Gleichungen zusammen, so erhält man die lokale Darstellung
:<math>\Delta f = \operatorname{div}(\nabla f) = \frac{1}{\sqrt {\det g}} \sum_{i,j}\frac{\partial }{\partial x_i} \left(\sqrt{\det g}\, g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x_j} \right)</math>
des Laplace-Beltrami-Operators bezüglich der Metrik <math>g</math>. Setzt man in dieser Formel für den Laplace-Beltrami-Operator die Darstellung des euklidischen metrischen Tensors in [[Polarkoordinaten|Polar-]], [[Zylinderkoordinaten|Zylinder-]] oder [[Kugelkoordinaten]] ein, so erhält man die Darstellung des üblichen Laplace-Operators in diesen Koordinatensystemen.

=== Hodge-Laplace-Operator ===
Sei <math>\textstyle \mathcal{A}(M) := \bigoplus_{i=1}^n \mathcal{A}^i(M)</math> der Raum der [[Differentialform|Differentialformen]] über <math>M</math> und <math>\mathrm{d} : \mathcal{A}^i(M) \to \mathcal{A}^{i+1}(M)</math> die [[Cartan-Ableitung|äußere Ableitung]]. Die [[adjungierte äußere Ableitung]] wird mit <math>\delta</math> bezeichnet. Dann heißt der Operator
:<math>\Delta := \mathrm{d} \delta + \delta \mathrm{d} = (\mathrm{d} + \delta)^2</math>
'''Hodge-Laplace-''' oder '''Laplace-de-Rham-Operator''' und ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator.<ref>H. B. Lawson, M. Michelsohn: ''Spin Geometry''. Princeton University Press, 1989, ISBN 978-0691085425, S. 123</ref> Die Namen stammen daher, dass dieser Operator in der klassischen [[Hodge-Zerlegung|Hodge-Theorie]] und dem damit eng verbundenen [[De-Rham-Kohomologie|De-Rham-Komplex]] Anwendung findet.

=== Dirac-Laplace-Operator ===
Ein [[Dirac-Operator]]
:<math>D : \Gamma^\infty(M,E) \to \Gamma^\infty(M,E)</math>
ist gerade so definiert, dass er durch quadrieren einen verallgemeinerten Laplace-Operator induziert. Das heißt, <math>D^2 : \Gamma^\infty(M,E) \to \Gamma^\infty(M,E)</math> ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator und wird '''Dirac-Laplace-Operator''' genannt. Diese Laplace-Operatoren spielen eine wichtige Rolle im Beweis des Indexsatzes.

=== Bochner-Laplace-Operator ===
==== Definition ====
Der '''Bochner-Laplace-Operator''' wird mit dem [[Metrischer Zusammenhang|metrischen Zusammenhang]] <math>\nabla^E \colon \Gamma(M,E) \to \Gamma(T^*M \otimes E)</math> auf dem Vektorbündel <math>E</math> definiert. Sei außerdem <math>\nabla^{T^*M} \colon \Gamma(M,T^*M) \to \Gamma(T^*M \otimes T^*M)</math> der [[Levi-Civita-Zusammenhang]] und <math>\nabla^{T^*M \otimes E}</math> der durch <math>\nabla^E</math> und <math>\nabla^{T^*M}</math> induzierte Zusammenhang auf dem Bündel <math>T^*M \otimes E</math> dann ist der Bochner-Laplace-Operator durch

:<math>
\Delta^E \cdot := - \operatorname{Tr}_g\left(\nabla^{T^*M \otimes E} \nabla^E \cdot \right)\,.
</math>

definiert. Die Abbildung <math>\operatorname{Tr}_g</math> ist dabei die [[Tensorverjüngung]] bezüglich der riemannschen Metrik.<ref name="Getzler63">Nicole Berline, [[Ezra Getzler]], [[Michèle Vergne]]: ''Heat kernels and Dirac operators'' (= ''Grundlehren der mathematischen Wissenschaften'' 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 63–64.</ref>

Eine äquivalente Definition des Bochner-Laplace-Operators ist
:<math>\Delta^E := - (\nabla^E)^* \nabla^E.</math>
Dabei ist <math>(\nabla^E)^*</math> der [[Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] bezüglich der riemannschen Metrik <math>g</math>.

==== Lokale Darstellung ====
Wählt man als Zusammenhang den [[Levi-Civita-Zusammenhang]] so erhält man in lokalen Koordinaten mit dem [[Orthonormaler Rahmen|orthonormalen Rahmen]] <math>e_1 , \ldots , e_n</math> die Darstellung<ref name="Getzler63" />
:<math>
\Delta^E = - \sum_{i = 1}^n \left( \nabla^E_{e_i} \nabla^E_{e_i} - \nabla^E_{\nabla_{e_i}e_i}\right)\,.
</math>

== Eigenschaften ==
* Ein verallgemeinerter Laplace-Operator ist ein [[geometrischer Differentialoperator]] der Ordnung zwei.
* Da ein verallgemeinerter Laplace-Operator, wie in der Definition gefordert, das Hauptsymbol <math>|\xi|^2</math> hat, ist er ein [[elliptischer Differentialoperator]].
* Jeder Differentialoperator zweiter Ordnung mit positiv definitem Hauptsymbol ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator bezüglich einer geeigneten riemannschen Metrik auf der Mannigfaltigkeit und einer geeigneten hermiteschen Metrik auf dem Vektorbündel.
* Sind <math>\phi, \psi \in \Gamma^{\infty}(M,E)</math> glatte [[Schnitt (Faserbündel)|Schnitte]], so gilt
::<math>g(\Delta^E \phi,\psi) = g(\nabla^E\phi, \nabla^E \psi)</math>.
* Der Operator <math>\Delta^E</math> ist nichtnegativ und [[Wesentlich selbstadjungierter Operator|wesentlich selbstadjungiert]] bezüglich <math>L^2(X,E)</math>. Die Definition des <math>L^2</math>-Raums auf Mannigfaltigkeiten kann in dem Artikel über [[Dichtebündel]] nachgelesen werden.
* Jeder verallgemeinerte Laplace-Operator <math>H</math> bestimmt eindeutig einen Zusammenhang <math>\nabla^E</math> auf dem Vektorbündel <math>E</math> und einen Schnitt <math>B \in \Gamma^\infty(M,\operatorname{End}(E))</math>, so dass <math>H = \Delta^E - B</math> gilt, wobei <math>\Delta^E</math> der Bochner-Laplace-Operator ist. Jeder verallgemeinerte Laplace-Operator stimmt also mit dem Bochner-Laplace-Operator bis auf eine Störung der Ordnung Null überein. Eine solche Formel wird [[Weitzenböck-Formel]] genannt.

== Quellen ==
* Isaac Chavel: ''Eigenvalues in Riemannian Geometry'' (= ''Pure and Applied Mathematics'' 115). Academic Press, Orlando FL u. a. 1984, ISBN 0-12-170640-0.
* Liviu I. Nicolaescu: ''Lectures on the geometry of manifolds.'' 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270853-3.
* Martin Schottenloher: ''Geometrie und Symmetrie in der Physik. Leitmotiv der Mathematischen Physik'' (= ''Vieweg-Lehrbuch Mathematische Physik''). Vieweg, Braunschweig u. a. 1995, ISBN 3-528-06565-6.

== Siehe auch ==
*[[Vektorieller Laplace-Operator]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Spektralgeometrie]]
[[Kategorie:Differentialoperator]]
[[Kategorie:Pierre-Simon Laplace als Namensgeber]]

Verallgemeinerter Laplace-Operator - Versionsgeschichte

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