imported>JonskiC: k

2019-07-24T10:15:04Z

Neue Seite

{{Belege}}
Die '''verallgemeinerte Poisson-Verteilung''' ist eine [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] und somit dem mathematischen Teilgebiet der [[Stochastik]] zuzuordnen. Sie ist eine [[Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung|univariate]] [[diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]] auf den natürlichen Zahlen, die vor allem in der [[Versicherungsmathematik]] verwendet wird. Im Vergleich zur [[Poisson-Verteilung]] besitzt sie zwei Parameter, ist dadurch wesentlich flexibler als diese.

== Definition ==
Eine diskrete [[Zufallsvariable]] <math>X_n</math> unterliegt der '''Verallgemeinerten Poisson-Verteilung''' mit den Parametern <math>\lambda</math> (Ereignisrate) und <math>\theta</math>, wenn sie die
[[Wahrscheinlichkeit]]en
:<math>P(X_n=k)= \frac{\theta(\theta+k\lambda)^{k-1}\; \mathrm{e}^{-\theta-k\lambda}}{k!}</math>

besitzt. Setzt man <math> \lambda=0 </math>, so ergibt sich die gewöhnliche [[Poisson-Verteilung]] zum Erwartungswert <math> \theta </math>.

== Eigenschaften ==
*Die Varianz ist immer mindestens so groß wie der Erwartungswert (für <math>\lambda > 0</math> sogar größer). Diese Eigenschaft nennt man [[Überdispersion]] ({{enS}} ''overdispersion'').
*Für die verallgemeinerte Poisson-Verteilung sind Rekursionen für die Summenverteilung bekannt, wie man sie auch von der [[Panjer-Verteilung]] kennt.
*Für viele Anwendungsfälle ist die implizite Definition der verallgemeinerten Poisson-Verteilung ausreichend.

=== Erwartungswert ===
Der [[Erwartungswert]] ergibt sich zu
:<math>\operatorname{E}(X_n) = \frac{\theta}{1-\lambda}</math>.

=== Varianz ===
Für die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] erhält man
:<math>\operatorname{Var}(X_n) = \frac{\theta}{(1-\lambda)^{3}}</math>.

=== Standardabweichung ===
Aus der [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] erhält man wie üblich die [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]]
:<math>\sigma = \sqrt{\frac{\theta}{(1-\lambda)^{3}}}</math>.

=== Variationskoeffizient ===
Für den [[Variationskoeffizient]]en ergibt sich:
:<math>\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\frac{1}{\theta(1-\lambda)}}</math>.

=== Schiefe ===
Die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] lässt sich darstellen als
:<math>\operatorname{v}(X) = \frac{1-2\lambda}{\sqrt{\theta(1-\lambda)}}</math>.

=== Charakteristische Funktion ===
Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] hat die Form
:<math>\phi_{X}(s) = e^{\theta(u-1)}</math> mit <math>u=e^{is}e^{\lambda(u-1)}</math>.

=== Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ===
Für die [[wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]] erhält man
:<math>g_{X}(s) = e^{\theta(u-1)}</math> mit <math>u=ze^{\lambda(u-1)}</math>. 

=== Momenterzeugende Funktion ===
Die [[momenterzeugende Funktion]] der verallgemeinerten Poisson-Verteilung ist
:<math>m_{X}(s) = e^{\theta(u-1)}</math> mit <math>u=e^{s}e^{\lambda(u-1)}</math>.

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}

[[Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Verallgemeinerte Poisson-Verteilung - Versionsgeschichte

imported>JonskiC: k