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2023-10-04T04:20:20Z

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Die '''verallgemeinerte''' oder '''generalisierte Entropie''' respektive der ''verallgemeinerte'' oder ''generalisierte Entropie-Index'' (Abkürzung: '''GE''') ist eine allgemeine Formel zur [[Redundanz (Informationstheorie)|Redundanz]]messung (von Daten). Die Redundanz kann als Disparität (Ungleichheit), Mangel an Diversität, [[Nichtzufälligkeit]], Verdichtbarkeit oder [[Segregation (Soziologie)|Segregation]] der Daten betrachtet werden. Hauptsächlich findet dieses Maß als [[Ungleichverteilungsmaß]] Anwendung.<ref>Aman Ullah, David Evan Albert Giles: ''Handbook of Applied Economic Statistics.'' CRC Press, 1998. ISBN 0824701291.</ref> Es gleicht der Definition der Redundanz, das auf der ''[[Entropie (Informationstheorie)|Shannon-Entropie]]'' basiert, wenn <math>\alpha = 1</math>, welche in der Ungleichverteilungsmessung auch als ''[[Theil-Index]]'' <math>T_T</math> bezeichnet wird. Vollkommen unterschiedliche Daten haben keine Redundanz, so dass <math>GE = 0</math>, woraus folgt, dass es in der entgegengesetzten Richtung eines Disparitätsmaßes verläuft. Dieses nimmt bei Ordnung eher als bei Unordnung zu, also ist es ein negiertes Maß der Entropie.

== Formel ==
Die Formel lautet:

: <math>GE (\alpha) = \begin{cases}
\frac{1}{N \alpha (\alpha - 1)} \sum_{i = 1}^N\left[ \left(\frac{y_i}{\overline{y}} \right)^\alpha - 1 \right] & \mathrm{f\ddot{u}r} \text{ reelle Werte } \alpha \ne 0, 1\, ,\\
\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^N\left[ \frac{y_i}{\overline{y}} \ln\left(\frac{y_i}{\overline{y}} \right)\right] & \mathrm{f\ddot{u}r} \, \alpha = 1\, ,\\
\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^N \ln\left(\frac{\overline{y}}{y_i} \right) & \mathrm{f\ddot{u}r} \, \alpha = 0\, ,
\end{cases}</math>

wobei <math>y_i</math> das Einkommen jedes Individuums <math>i</math>, das ein Teil von <math>N</math> bezeichnet und <math>\alpha</math> ist die Gewichtung der Abstände zwischen Einkommen bei verschiedenen Teilen der [[Einkommensverteilung]], darstellt. Manchmal wird bei <math>\alpha = \beta + 1</math> eine andere Notation verwandt.

Für geringere Werte von <math>\alpha</math> nahe 0 ist die GE sensibel bei geringeren Einkommen und vice versa (umgekehrt) für Werte von fast 1. Der <math>T_T</math> liegt bei <math>\alpha = 1</math> vor und der Theil-L-Index <math>T_L</math>, die mittlere logarithmische Abweichung, bei <math>\alpha = 0</math>. Falls <math>\alpha = 2</math> ist, beträgt der Wert die Hälfte des quadrierten [[Variationskoeffizient]]en:
: <math>GE (\alpha) = 1/2 (\sigma/\mu)^2 \quad \quad\quad \mathrm{f\ddot{u}r} \, \alpha = 2\, .</math>

Die GE ist eine Transformation des [[Atkinson-Maß]]es, wobei <math>\epsilon = 1 - \alpha</math> gilt. Diese Transformation ist <math>A = 1 - \exp (- GE)</math>, so dass das Atkinson-Maß eine Wahrscheinlichkeit anstatt einer Entropie ist.

Wenn <math>y_i</math> von <math>\alpha = 1</math> durch <math>\tfrac{1}{y_i}</math> (beispielsweise: Einkommen pro Person verändert sich zu Person je Einkommen) ersetzt wird, dann ist <math>\alpha = 1</math> mit <math>\alpha = 0</math> äquivalent.

== Siehe auch ==
* [[Rényi-Entropie]]
* [[Lorenz-Kurve]]
* [[Gini-Koeffizient]]
* [[Hoover-Ungleichverteilung]]
* [[Robin-Hood-Index]]
* [[Suits-Index]]

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Deskriptive Statistik]]
[[Kategorie:Ökonometrie]]
[[Kategorie:Informationstheorie]]

Verallgemeinerte Entropie - Versionsgeschichte

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