imported>Gunnar.Kaestle: BKS aufgelöst

2024-12-22T16:58:12Z

BKS aufgelöst

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Als '''Vektorprozess''' wird in der [[Zeitreihenanalyse]] die Zusammenfassung von ''m'' reellen [[Zufallsvariable]]n, die gleichzeitig in ''t'' beobachtbar sind, verstanden.

Ein ökonomisches Beispiel für einen Vektorprozess ist z. B. die [[Zinsstrukturkurve]]. Die verschiedenen Zinssätze für die unterschiedlichen [[Laufzeit (Wirtschaft)|Restlaufzeiten]] bilden dabei die ''m'' [[Variable (Logik)|Variablen]], deren Veränderungen im Zeitablauf beobachtet werden können.

Eine gemeinsame [[Stationärer stochastischer Prozess|Stationarität]] des Vektorprozesses impliziert die Stationarität eines jeden der beteiligten univariaten Prozesse. Im Umkehrschluss ist eine Zusammenfassung von ''m'' > 1 stationären univariaten Prozessen nicht zwingend ein gemeinsam stationärer Vektorprozess. Die Stationarität der Teilprozesse ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung. Letzteres ist gegeben, wenn die [[Koeffizientenmatrix|Koeffizientenmatrizen]] quadratisch summierbar sind.

Vektorprozesse lassen sich in der MA- (VMA) und AR-Darstellung ([[VAR-Modell|VAR]]) oder als Kombination beider Darstellungsformen ([[VARMA-Modell]]) notieren. Ein solcher Prozess heißt [[Linearität (Mathematik)|linearer]] oder rein nicht-[[Determinismus|deterministischer]] Vektorprozess. Das vektorielle [[Weißes Rauschen (Physik)|weiße Rauschen]] muss für verschiedene Zeitpunkte unkorreliert sein. Gleichzeitig ist jedoch eine [[Korrelation]] zugelassen. Dieses wird als ''kontemporäre Korrelation'' bezeichnet. Die [[Varianz (Stochastik)|Varianzen]] der im [[Vektor]] zusammengefassten Rauschvariablen können verschieden, müssen aber jeweils zeitkonstant sein.

Die [[Umkehrabbildung|Invertierbarkeit]] eines Vektorprozesses ist gegeben, wenn die AR-Koeffizientenmatrizen absolut summierbar sind. Ein solcher Prozess ist aber nicht zwingend stationär. Dies ist er dann, wenn alle [[Nullstelle]]n des AR-Matrizenpolynoms außerhalb des [[Einheitskreis]]es liegen. Ein stationärer Vektorprozess in der MA-Darstellung ist invertierbar, wenn alle Nullstellen der [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] des MA-Matrizenpolynoms außerhalb des Einheitskreises liegen.

Hinsichtlich der [[Eindeutigkeit]] der ARMA-Darstellung eines Vektorprozesses ist zu sagen, dass die bei den univariaten Prozessen gültige [[Dualität (Verbandstheorie)|Dualität]] nicht mehr gilt. Vielmehr gehören zu einem gegebenen Vektorprozess mit zugehöriger [[Kovarianzmatrix]]-Funktion gleichzeitig ein endlicher AR-, MA- oder ARMA-Vektorprozess.

[[Kategorie:Zeitreihenanalyse]]

Vektorprozess - Versionsgeschichte

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