imported>Acky69: zus. Links

2019-05-25T17:19:10Z

zus. Links

Neue Seite

Als '''Vektoroperator''' wird in der [[Quantenmechanik]] ein [[Linearer Operator|Operator]] bezeichnet, der unter Drehungen wie ein [[Vektor]] transformiert. Er ist ein Spezialfall eines [[Tensor]]<nowiki/>operators.

In der Drehimpulsalgebra der Quantenmechanik können [[Erwartungswert]]e von Vektoroperatoren (und allgemein von Tensoroperatoren) mit Hilfe des [[Wigner-Eckart-Theorem]]s auf wenige reduzierte [[Matrixelement (Physik)|Matrixelemente]] zurückgeführt werden.

Im Folgenden wird die abstrakte mathematische Definition näher erläutert. Ein Vektoroperator erzeugt [[Morphismus|Morphismen]] zwischen [[Zustandsvektor]]<nowiki/>räumen und hat ein spezielles Transformationsverhalten unter Drehungen. Der Zustands[[vektorraum]] sei der [[Hilbertraum]] <math>\mathcal H := \mathcal L^2(\mathbb R^3;\mathbb C)</math> und die drehende Gruppe die <math>\operatorname{SO}(3)</math>.

== Formale Definition ==
Die [[Drehgruppe]] operiere kanonisch (kovariant) auf <math>\mathbb R^3</math>, auf <math>\mathcal H</math> und auf deren [[Tensorprodukt]].
Ein ''Vektoroperator'' <math>A</math> ist dann ein Morphismus von [[Darstellung (Lie-Algebra)|Darstellungen]]

:<math>A \colon \mathcal H \to \mathbb R^3 \otimes \mathcal H</math>,

d. h. ein Vektorraumhomomorphismus, der mit Drehungen kommutiert.

== Eigenschaften ==
Ist <math>\{e_i\}</math> die [[kanonische Basis]] von <math>\mathbb R^3</math>, so kann man schreiben:

:<math>A\colon \psi \mapsto \sum_i e_i \otimes A_i\psi</math>.

Unterdrückt man sämtliche Struktur, so wird daraus:

:<math>A\psi = (A_1\psi,A_2\psi,A_3\psi) \in \mathcal H^3</math>.

Konjugiert man <math>A</math> mit einer Drehung (das ist die natürliche Operation von Drehungen auf solchen Morphismen),
so liefert das in dieser Notation die Identität:

:<math>R.A_i = \sum_k A_k R_{ki} = \sum_k R^{-1}_{ik}A_k</math>, welche mancherorts als Definition herangezogen wird.
Es ist nämlich
<math>R.A = D(R)\circ A \circ D(R^{-1})\colon \psi \mapsto D(R) \left( \sum_i e_i \otimes A_i \psi \right) \circ D(R^{-1})</math>
<math>= \sum_i Re_i \otimes A_i \psi = \sum_{ik} R_{ki}e_i \otimes A_k(\psi) = \sum_i e_i \otimes \left( \sum_k A_k R_{ki} \right)(\psi)</math>.

== Beispiele ==

'''[[Drehimpulsoperator]]''' <math>\hat{\mathbf{J}}=(\hat{J}_x,\hat{J}_y,\hat{J}_z)</math>

'''[[Drehimpulsoperator#Spinoperator|Spinoperator]]''' <math>\hat{\mathbf{S}}=(\hat{S}_x,\hat{S}_y,\hat{S}_z)</math>

'''[[Übergangsdipolmoment]]''' <math>\hat{\mathbf{M}}=(\hat{M}_x,\hat{M}_y,\hat{M}_z)</math>

== Verallgemeinerungen ==

Ein ''Tensoroperator der Stufe <math>k</math>'' ist ein Morphismus von Darstellungen
:<math>A \colon \mathcal H \to \mathbb R^{3k} \otimes \mathcal H</math>,
wobei hier die Drehgruppe auf <math>\mathbb R^{3k}</math> operiert wie auf <math>\mathbb R^{3^{\oplus k}}</math>.

Dies liefert in der impliziten Notation die Gleichung
:<math>R.T_I = D(R)T_{i_1,\dots,i_k}D(R^{-1}) = \sum T_{j_1,\dots,j_k} R_{j_1,i_1}\dots R_{j_k,i_k}</math>

[[Kategorie:Quantenmechanik]]

Vektoroperator - Versionsgeschichte

imported>Acky69: zus. Links