imported>Tensorproduct: /* Definition */ Notation

2023-04-05T11:17:46Z

Definition: Notation

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[[Datei:Magnetische-Feldstaerke.svg|mini|Darstellung eines Vektorfeldes anhand ausgewählter Punkte. Die Vektoren sind als Pfeile dargestellt, welche Richtung und Betrag (Pfeillänge) wiedergeben]]
[[Datei:Vektorfeld.png|mini|3-dimensionales Vektorfeld (-y,z,x)]]

In der [[Mehrdimensionale Analysis|mehrdimensionalen Analysis]] und der [[Differentialgeometrie]] ist ein '''Vektorfeld''' eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], die jedem Punkt eines Raumes einen [[Vektor]] zuordnet. Das duale Konzept zu einem Vektorfeld ist eine Funktion, die jedem Punkt eine [[Linearform]] zuordnet, eine solche Abbildung wird [[pfaffsche Form]] genannt.

Stetige Vektorfelder sind von großer Bedeutung in der [[Feldtheorie (Physik)|physikalischen Feldtheorie]], zum Beispiel um die Geschwindigkeit und Richtung eines Teilchens einer bewegten [[Flüssigkeit]] anzugeben, oder um die Stärke und Richtung einer [[Kraft]], wie der [[Magnetismus|magnetischen]] oder der [[Gewichtskraft|Schwerkraft]], zu beschreiben. Die Feldgrößen dieser Vektorfelder lassen sich durch [[Feldlinie]]n veranschaulichen.

== Vektorfelder im euklidischen Raum ==
=== Definition ===
Unter einem Vektorfeld <math>v</math> auf einer Menge <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> versteht man eine Abbildung, die jedem Punkt <math>x \in \Omega</math> einen Vektor <math>v(x) \in \R^n</math> zuordnet. Anschaulich wird also an jedem Punkt der Menge <math>\Omega</math> ein „Pfeil angebracht“. Meist wird stillschweigend vorausgesetzt, dass das Vektorfeld [[glatte Funktion|glatt]], also eine <math>C^\infty</Math>-Abbildung ist. Ist <math>v</math> eine <math>k</math>-mal [[Differentiationsklasse|differenzierbare]] Abbildung <math>v\colon \Omega \to \R^n</math>, so spricht man von einem {{nowrap|1=<math>C^k</math>-Vektorfeld}}.

=== Beispiele ===
* Gradientenfeld: Ist <math>f \colon \Omega \rightarrow \R</math> eine differenzierbare Funktion auf einer offenen Menge <math>\Omega \subset \R^n</math>, so wird das [[Gradient (Mathematik)|Gradientenfeld]] <math>\operatorname{grad} f \colon \Omega \rightarrow \R^n</math> von <math>f</math> definiert durch die Zuordnung
*:<math>x \mapsto \operatorname{grad} f(x) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x), \dotsc, \frac{\partial f}{\partial x_n}(x)\right)</math>.
: Oft schreibt man es mit dem [[Nabla-Operator|Nabla-Symbol]]: <math>\operatorname{grad} f = \nabla f</math>. Ist ein Vektorfeld <math>v</math> das Gradientenfeld einer Funktion <math>f</math>, das heißt <math>v = \nabla f</math>, so bezeichnet man <math>f</math> als ''Potential''. Man sagt auch <math>v </math> besitzt ein Potential.
: Beispiele von Gradientenfeldern sind das von einer Punktquelle nach allen Seiten gleichmäßig fließende Feld einer Strömung und das elektrische Feld um eine Punktladung.
* Zentralfelder: Sei <math>I</math> ein Intervall, welches die Null enthält, und <math>K(I) = \{x \in \R^n: \|x\| \in I\} \subset \R^n</math> eine Kugelschale. [[Zentralfeld]]er auf der Kugelschale sind definiert durch
:<math> v(x) = a(\|x\|) \cdot x</math> mit <math>a\colon I \rightarrow \R</math>.
* In <math>\R^3 \backslash \{0\}</math> ist das [[Gravitationsfeld]] <math>v(x) = -\frac{x}{\|x\|^3}</math> ein solches Zentralfeld.
* Weitere Beispiele sind im <math>\R^3</math> die mathematisch diffizileren sogenannten „[[Wirbelfeld]]er“. Sie lassen sich als Rotation eines ''Vektorpotentials'' <math>\mathbf A</math> beschreiben, nach der Formel <math>\mathbf v(\mathbf r)=\mathbf{rot \,\,}\mathbf A</math> (s. u.).
: Prägnantes Beispiel eines Wirbelfeldes ist das in Kreislinien um den Ausfluss einer „Badewanne“ herumwirbelnde Strömungsfeld, oder das Magnetfeld um einen stromdurchflossenen Draht.

=== Quellenfreie und wirbelfreie Vektorfelder; Zerlegungssatz ===
Ein mindestens zweimal stetig differenzierbares Vektorfeld <math>\mathbf v(\mathbf r)</math> im <math>\R^3</math> heißt ''[[quellenfrei]]'' (beziehungsweise ''[[wirbelfrei]]''), wenn seine Quellendichte ([[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]]) beziehungsweise Wirbeldichte ([[Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]]) dort überall Null ist. Unter der weiteren Voraussetzung, dass die Komponenten von <math>\mathbf v</math> im Unendlichen hinreichend rasch verschwinden, gilt der sogenannte ''Zerlegungssatz'': Jedes Vektorfeld <math>\mathbf v(\mathbf r)</math> ist eindeutig durch seine Quellen bzw. Wirbel bestimmt, und zwar gilt die folgende Zerlegung in einen wirbelfreien beziehungsweise quellenfreien Anteil:
:<math>\mathbf v(\mathbf r)\equiv \mathbf{-grad_{\mathbf r}\,\,} \int_{\mathbb R^3\,}\,d^3\mathbf r'\,\frac{\mathrm{{div'}\,\,}\mathbf v(\mathbf r')}{4\pi|\mathbf r -\mathbf r'|}+ \mathbf{rot_{\mathbf r}\,\,} \int_{\mathbb R^3\,}\,d^3\mathbf r'\,\,\frac{{\mathbf{rot'\,\,}}\mathbf v(\mathbf r')}{4\pi|\mathbf r -\mathbf r'|}</math>.

Dies entspricht der Zerlegung eines statischen elektromagnetischen Feldes in den elektrischen beziehungsweise magnetischen Anteil (siehe [[Elektrodynamik]])<ref>Siehe u. a. U. Krey, A. Owen, ''Basic Theoretical Physics – A Concise Overview'', Berlin, Springer 2007, ISBN 978-3-540-36804-5, part II</ref>. Es sind also genau die Gradientenfelder (d. h. die „elektrischen Feldkomponenten“) wirbelfrei bzw. genau die Wirbelfelder (d. h. die „magnetischen Feldkomponenten“) quellenfrei. Dabei sind <math>\mathbf{grad\,\,}\phi(\mathbf r):=\nabla\phi\,,</math>   <math>\mathrm{div\,\,}\mathbf v:=\nabla\cdot\mathbf v</math> und <math>\mathbf{rot\,\,}\mathbf v:=\nabla\times \mathbf v</math> die bekannten, mit dem Nabla-Operator (<math>\nabla</math>) der [[Vektoranalysis]] gebildeten Operationen.

== Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten ==
=== Definition ===

Sei <math>M</math> eine [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]]. Ein Vektorfeld ist ein (glatter) [[Schnitt (Faserbündel)|Schnitt]] im [[Tangentialbündel]] <math>TM</math>.

Ausführlicher heißt das, ein Vektorfeld ist eine Abbildung <math>v</math>, so dass <math> v\colon M \to TM </math> mit <math> \pi\circ v = \operatorname{id}_M</math> gilt. Es wird also jedem <math>x \in M </math> ein Vektor <math> v(x) \in T_xM</math> zugeordnet. Die Abbildung <math>\pi</math> ist die natürliche Projektion <math>\pi\colon TM \to M</math> mit <math>(p,v) \mapsto p </math>.

Die Menge aller glatten Vektorfelder wird häufig mit <math>\Gamma^{\infty}(TM)</math>, <math>\Gamma(TM)</math> oder <math>\mathfrak{X}(M)</math> notiert.

=== Anmerkungen ===
Diese Definition verallgemeinert die Vektorfelder im euklidischen Raum. Es gilt nämlich <math>\R^n \cong T_p\R^n</math> und <math>T \R^n \cong \R^n \times \R^n</math>.

Im Gegensatz zu Vektorfeldern wird durch ein [[Skalarfeld]] jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit ein [[Skalar (Mathematik)|Skalar]] zugeordnet.

Vektorfelder sind gerade die kontravarianten [[Tensorfeld]]er erster Stufe.

== Anwendungen ==


Vektor- und [[Kraftfeld (Physik)|Kraftfelder]] haben außer in [[Physik]] und [[Chemie]] auch große Bedeutung in zahlreichen Fachgebieten der [[Technik]]: [[Elektrotechnik]], [[Geodäsie]], [[Mechanik]], [[Atomphysik]], Angewandte [[Geophysik]].

== Siehe auch ==
* [[Fluss eines Vektorfeldes]]

== Literatur ==
* [[Konrad Königsberger]]: ''Analysis 2.'' 5. korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20389-3.
* {{BibISBN|3540967907}}
* John M. Lee: ''Introduction to smooth manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 218). Springer, New York u. a. 2003, ISBN 0-387-95495-3.

== Weblinks ==
{{commonscat|Vector fields}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Theorie dynamischer Systeme]]

Vektorfeld - Versionsgeschichte

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