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'''Vektoranalysis''' ist ein Teilgebiet der [[Mathematik]], das sich hauptsächlich mit [[Vektorfeld]]ern in zwei oder mehr [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] beschäftigt und dadurch die bereits in der Schulmathematik behandelten Gebiete der [[Differentialrechnung|Differential-]] und der [[Integralrechnung]] wesentlich verallgemeinert. Das Gebiet besteht aus einem Satz von [[Formel]]n und Problemlösungstechniken, die zum Rüstzeug von [[Ingenieurwesen|Ingenieuren]] und [[Physik]]ern gehören, aber gewöhnlich erst im zweiten oder dritten Semester an den entsprechenden Hochschulen erlernt werden. Die Vektoranalysis ist ein Teilgebiet der [[Tensoranalysis]].

Betrachtet werden Vektorfelder, die jedem Punkt des Raumes einen [[Vektor]] zuordnen, und [[Skalarfeld]]er, die jedem Punkt des Raumes einen [[Skalar (Mathematik)|Skalar]] zuordnen. Die [[Temperatur]] eines Swimmingpools ist ein Skalarfeld: Jedem Punkt wird der Skalarwert seiner Temperatur zugeordnet. Die Wasserbewegung entspricht dagegen einem Vektorfeld, da jedem Punkt ein [[Geschwindigkeit]]svektor zugeordnet wird, der Betrag und Richtung hat.

Die Ergebnisse der Vektoranalysis lassen sich mit Hilfe der [[Differentialgeometrie]] verallgemeinern und abstrahieren, einem mathematischen Teilgebiet, das die Vektoranalysis umfasst. Die physikalischen Hauptanwendungen liegen in der [[Elektrodynamik]]<ref>{{Literatur |Autor=Harald Klingbeil |Titel=Grundlagen der elektromagnetischen Feldtheorie: Maxwellgleichungen, Lösungsmethoden und Anwendungen |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2022 |ISBN=978-3-662-65125-4 |DOI=10.1007/978-3-662-65126-1}}</ref>, Luft- und [[Raumfahrt]],<ref>{{Literatur |Autor=Anton H. J. De Ruiter, Christopher Damaren, James R. Forbes |Hrsg=Wiley |Titel=Spacecraft dynamics and control : an introduction |Ort=Chichester, West Sussex, United Kingdom |Datum=2013 |ISBN=978-1-118-34236-7 |Sprache=en}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Wolfgang Steiner, Martin Schagerl |Titel=Raumflugmechanik |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2004 |ISBN=3-540-20761-9 |DOI=10.1007/3-540-35120-5}}</ref> etc.

== Die drei kovarianten Differentialoperatoren ==
Drei Rechenoperationen sind in der Vektoranalysis von besonderer Bedeutung, weil sie Felder produzieren, die sich bei räumlicher [[Drehung]] des ursprünglichen Feldes mitdrehen. Operativ formuliert: Bei [[Gradient (Mathematik)|Gradient]], [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] und [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] spielt es keine Rolle, ob sie vor oder nach einer Drehung angewendet werden. Diese Eigenschaft folgt aus den koordinatenunabhängigen Definitionen (siehe jeweilige Hauptartikel) und ist nicht selbstverständlich. Z. B. wird aus einer [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitung]] nach x unter 90-Grad-Drehung eine partielle Ableitung nach y.
Im Folgenden ist <math>\partial</math> der [[Operator (Mathematik)|Operator]] der partiellen Ableitung und <math>\vec\nabla</math> der [[Nabla-Operator]].

* [[Gradient (Mathematik)|Gradient eines Skalarfeldes]]: Gibt die Richtung und Stärke des steilsten Anstiegs eines Skalarfeldes an. Der Gradient eines Skalarfeldes ist ein Vektorfeld.

::<math>\operatorname{grad}\,\phi:=\vec \nabla\phi = \begin{pmatrix} \frac{\partial\phi} {\partial x} \\[0.2cm] \frac{\partial\phi}{\partial y} \\[0.2cm] \frac{\partial\phi}{\partial z} \end{pmatrix}</math>

* [[Divergenz eines Vektorfeldes]]: Gibt die Tendenz eines Vektorfeldes an, von Punkten wegzufließen (das gilt für positives [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]]; bei negativem Vorzeichen handelt es sich dementsprechend um die Tendenz zu den Punkten hinzufließen). Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld. Und zwar folgt aus dem [[Gaußscher Integralsatz|Gauß’schen Integralsatz]] (siehe unten), dass die Divergenz die lokale Quellendichte eines Vektorfeldes beschreibt.

::<math>\operatorname{div}~\vec F:=\vec \nabla \cdot \vec F =
\frac{\partial F_x}{\partial x}
+ \frac{\partial F_y}{\partial y}+ \frac{\partial F_z}{\partial z}
</math>

:Die beiden genannten Definitionen, <math>\operatorname{grad}</math> und <math>\operatorname{div}</math>, können leicht von <math>3</math> auf <math>n</math> Dimensionen verallgemeinert werden. Bei der im Folgenden behandelten Rotation ist das dagegen nicht möglich, weil die Zahl der linear unabhängigen Komponenten
::<math>\frac{\partial F_i}{\partial x_k} - \frac{\partial F_k}{\partial x_i},</math> die in der Definition vorkommen, zu groß würde. Aber für <math>n=3</math> kann man definieren:

* [[Rotation eines Vektorfeldes]]: Gibt die Tendenz eines Vektorfeldes an, um Punkte zu rotieren; die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Vektorfeld von [[Pseudovektor]]en. Und zwar folgt aus dem [[Satz von Stokes|Stokes’schen Integralsatz]] (siehe unten), dass die Rotation die lokale Wirbeldichte eines Vektorfeldes beschreibt.

::<math>\operatorname{rot}~\vec F := \vec \nabla\times\vec F =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\[0.2cm]
\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\[0.2cm]
\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}
\end{pmatrix}</math>

Sowohl bei Feldern als auch bei Differentialoperatoren handelt es sich um Abbildungen, allgemein Funktionen. Felder ordnen z. B. einem Punkt im Raum einen skalaren Wert ([[reelle Zahl]] in <math>\R</math>) zu ([[skalares Feld]]), oder einen Vektor im <math>\R^3</math> ([[Vektorfeld]]). [[Differentialoperator]]en bilden hingegen Funktionen in Funktionen ab<ref>{{Literatur |Autor=Hans Wilhelm Alt |Titel=Lineare Funktionalanalysis |Auflage=6. |Verlag=Springer |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2012 |ISBN=978-3-642-22260-3 |Seiten=148}}</ref>. Im vorliegenden Fall also skalare oder vektorielle Felder in ein Skalarfeld (Divergenz) oder in ein Vektorfeld (Gradient, Rotation).

== Integralsätze ==

=== Integralsatz von Gauß ===
{{Hauptartikel|Gaußscher Integralsatz}}

Im Folgenden sei das „Integrationsvolumen“ <math>V</math> <math>n</math>-dimensional.

Das [[Volumenintegral]] über den Gradienten einer skalaren Größe <math>\phi\,</math> kann dann in ein [[Oberflächenintegral]] (bzw. Hyperflächenintegral) über den Rand dieses Volumens umgewandelt werden:
:<math>\int\limits_V\operatorname{grad}\,\phi(\vec x)\mathrm dV = \oint\limits_{\partial V}\phi\,\mathrm d\vec A.</math>

Auf der rechten Seite wird durch das Symbol im Zentrum des Integrals daran erinnert, dass man es infolge der Randbildung mit einer ''geschlossenen Fläche'' (bzw. einer ''geschlossenen Hyperfläche'') zu tun hat.

Die Umwandlung in ein Oberflächenintegral ist ebenfalls für die Divergenz einer vektoriellen Größe möglich:
Das Integral der Divergenz über das gesamte Volumen ist gleich dem Integral des Flusses aus der Oberfläche,
:<math>\int\limits_V\operatorname{div}\,\vec F(\vec x)\mathrm dV =\oint\limits_{\partial V}\vec F\cdot\mathrm d\vec A.</math>

Dies ist der eigentliche Gauß’sche Integralsatz. Er gilt – wie gesagt – nicht nur für <math>n=3</math>.<ref>Im Dreidimensionalen schreibt man ''Volumenintegrale'' oft mit ''drei'' und Flächenintegrale oft mit ''zwei'' Integralzeichen. Dabei benutzt man bei geschlossenen Flächen ein spezielles Doppelintegral, das vom Symbol einer Kugelfläche umhüllt wird (LaTeX-Symbol \oiint). Leider wird dieses LaTeX-Symbol in der Wikipedia nicht korrekt dargestellt.</ref>

=== Satz von Stokes ===
{{Hauptartikel|Integralsatz von Stokes}}

Im Folgenden ist <math>n=3</math> und es wird die Schreibweise mit Mehrfachintegralen verwendet.

Das geschlossene [[Kurvenintegral]] einer vektoriellen Größe (rechte Seite) kann mittels der Rotation in ein Flächenintegral über eine von dem geschlossenen Integrationsweg <math>\Gamma =\partial A</math> berandete, nicht notwendig ebene Fläche umgewandelt werden (linke Seite). Dabei werden – wie auch beim Gauß’schen Satz – die gewöhnlichen [[Orientierbare Fläche|Orientierungseigenschaften]] vorausgesetzt. Es gilt:
:<math>\iint\limits_A\operatorname{rot}\,\vec F\cdot\mathrm d\vec A = \oint\limits_{\Gamma=\partial A} \vec F(\vec r) \cdot \mathrm d\vec r.</math>

Der Vektor <math>\mathrm d\vec A</math> ist gleich dem Betrag der zur betrachteten Fläche <math>A</math> bzw. zu <math>\partial V</math> gehörenden infinitesimalen Flächenelemente multipliziert mit dem zugehörigen [[Normalenvektor]]. Auf der rechten Seite wird durch das Kreissymbol im Integralzeichen daran erinnert, dass über eine geschlossene Kurve integriert wird.

== Fundamentalzerlegung ==
{{Hauptartikel|Helmholtzscher Zerlegungssatz}}

Der Fundamentalsatz der Vektoranalysis, auch ''Helmholtzscher Zerlegungssatz'' genannt, beschreibt den allgemeinen Fall. Er sagt aus, dass sich jedes Vektorfeld <math>\vec F</math> als eine Überlagerung eines Quellenanteils <math>\vec F_Q</math> und eines Wirbelanteils <math>\vec F_W</math> beschreiben lässt. Ersterer ist der negative Gradient einer Superposition von skalaren Coulomb-artigen Potentialen, bestimmt durch die Quellendichte als formale „[[Ladungsdichte]]“ <math>\rho':=\operatorname{div}'\vec F(\vec r^{\,'})</math>, wie bei statischen elektrischen Feldern; letzterer ist die Rotation eines [[Vektorpotential]]s, wie beim [[Biot-Savart-Gesetz|Biot-Savart’schen Gesetz]] der [[Magnetostatik]], bestimmt durch die Wirbeldichte als formale „Stromdichte“ <math>\vec j^{\,'}:=\operatorname{rot}'\vec F(\vec r^{\,'}):</math>
:<math>\vec F \equiv \vec F_Q + \vec F_W.</math>

Man kann die Gültigkeit einer solchen Zerlegung anschaulich am Verlauf eines Baches verfolgen: An Stellen mit großem Gefälle und bei geradlinigem Verlauf wird die Strömung durch den Gradientenanteil dominiert, während an flachen Stellen, besonders, wenn der Bach um eine „Ecke“ oder eine kleine Insel herumströmt, der Wirbelanteil vorherrscht.

Und zwar gilt, wenn die Komponenten des Vektors <math>\vec F</math> überall zweimal stetig-differenzierbar sind (andernfalls muss man an den Grenzflächen Volumenintegrale <math>\textstyle \iiint \mathrm dV \nabla \dots</math> durch Flächenintegrale <math>\textstyle \iint\mathrm d^{(2)}A\vec n \dots</math> ersetzen) und im Unendlichen hinreichend rasch verschwinden, die folgende Formel, die genau der erwähnten Kombination aus der [[Elektrodynamik]] entspricht und alle angesprochenen Operatoren enthält:
:<math>\vec F(\vec r)\equiv -\operatorname{grad}\left\{\iiint_{\R^3}\,\mathrm dV'\,\frac{\mathrm{div}'\vec F(\vec r^{\,'})}{4\pi|\vec r -\vec r^{\,'}|}\right\}+\operatorname{rot}\left\{\iiint_{\R^3}\,\mathrm dV'\,\frac{\operatorname{rot}'\vec F(\vec r^{\,'})}{4\pi|\vec r -\vec r^{\,'}|}\right\}.</math>

Ein allgemeines Vektorfeld ist bezüglich seiner physikalischen Bedeutung daher nur dann eindeutig spezifiziert, wenn sowohl Aussagen über die Quellen- als auch Wirbeldichten und ggf. die notwendigen Randwerte vorliegen.

== Identitäten ==

Diese Identitäten erweisen sich oft bei Umformungen als nützlich:
* <math>\nabla \,\frac{1}{r} =\operatorname{grad} \,\frac{1}{r} = -\frac{\vec r}{r^3}</math> für <math>r\ne 0.</math>
:Diese Beziehung ist nützlich bei der Herleitung des Potentials zum Feld einer [[Punktladung]] ([[Coulombsches Gesetz|Coulomb’sches Gesetz]]).
:Dabei ist <math>\vec r</math> der Vektor mit den kartesischen Komponenten <math>x, y</math> und <math>z</math>; also vereinfacht geschrieben: <math> \vec r=(x,y,z).</math> Ferner ist <math>r=|\vec r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.</math>
* <math>\vec \nabla \times \big( \vec \nabla \times \vec F \big) = \vec \nabla \big( \vec \nabla \cdot \vec F \big) - \nabla^2 \vec F </math> bzw.<br /> <math>\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\,\vec F) = \operatorname{grad}(\operatorname{div}\,\vec F)-\nabla^2\vec F</math>
:Diese Beziehung wird häufig zur Herleitung der [[Wellengleichung]] in der Elektrodynamik verwendet.
* <math>\nabla\times (\nabla \phi ) =\operatorname{rot}\,\operatorname{grad}\,\phi \equiv 0</math> für alle Skalarfelder <math>\phi\!\,</math>.
* <math>\nabla\cdot(\nabla\times\vec F) =\operatorname{div}\,\operatorname{rot}\,\vec F \equiv 0</math> für alle Vektorfelder <math>\vec F</math>.
* <math>\nabla\cdot (\nabla \phi_1 \times \nabla\phi_2) = \operatorname{div}\,(\operatorname{grad}\,\phi_1 \times \operatorname{grad}\,\phi_2) \equiv 0 </math> für alle Skalarfelder <math>\phi_1,~\!\,\phi_2 </math>.

In den beiden nächsten Abschnitten werden anstelle von <math>\vec F</math> die in anderem Zusammenhang (Elektrodynamik) üblichen Bezeichnungen <math>\vec E</math> bzw. <math>\vec B</math> benutzt:

=== Folgerung aus dem Verschwinden der Rotation ===
Falls <math>\vec \nabla \times \vec E =\operatorname{rot}\,\vec E \equiv 0</math> ist, folgt <math>\vec E \equiv -\vec \nabla \phi =-\operatorname{grad}\,\phi </math> mit einem Skalarpotential <math>\phi\,</math>. Dieses ist durch den ersten Teil der obigen Fundamentalzerlegung gegeben und identisch mit dem entsprechenden Dreifachintegral, ist also durch die Quellendichte bestimmt.

<math>\vec E</math> beziehungsweise <math>\phi\,</math> sind die in der [[Elektrostatik]] üblichen Bezeichnungen für das elektrische Feld und dessen Potential. Dort ist die angegebene Voraussetzung erfüllt.

=== Folgerung aus dem Verschwinden der Divergenz ===
Falls <math>\vec \nabla \cdot \vec B =\operatorname{div}\,\vec B \equiv 0</math> ist, folgt <math>\vec B\equiv\vec \nabla \times \vec A =\operatorname{rot}\,\vec A </math> mit einem sog. [[Vektorpotential]] <math>\vec A</math>. Dieses ist durch den ''zweiten'' Teil der obigen Fundamentalzerlegung gegeben und identisch mit dem entsprechenden Dreifachintegral, ist also durch die Wirbeldichte bestimmt.

<math>\vec B</math> bzw. <math> \vec A</math> sind die in der Magnetostatik üblichen Bezeichnungen für die [[Magnetische Flussdichte|magnetische Induktion]] bzw. deren Vektorpotential. Dort ist wiederum die Voraussetzung erfüllt.

=== Folgerung aus dem Verschwinden der Rotation und der Divergenz ===
Falls

:<math>\operatorname{rot}\,\vec F=
\left (\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right )\hat{e}_x
+
\left (\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right )\hat{e}_y
+
\left (\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right )\hat{e}_z
\equiv\vec0</math>

und

:<math>\operatorname{div}\,\vec F=\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y}+ \frac{\partial F_z}{\partial z}\equiv 0</math>

ist, dann ist das Vektorfeld <math>\vec F</math> [[Harmonische Funktion|harmonisch]]:

:<math>\Delta\vec F=\Delta F_x\hat{e}_x+\Delta F_y\hat{e}_y+\Delta F_z\hat{e}_z\equiv\vec0</math>

Darin ist <math>\Delta=\nabla^2</math> der [[Laplace-Operator]]. Die Folgerung ergibt sich aus der Kombination der nach x, y bzw. z abgeleiteten Rotation und Divergenz. Ist beispielsweise die [[Schwerkraft]] rotations- und divergenzfrei, dann erfüllen die Verschiebungen in einem linear-elastischen Körper die Bipotentialgleichung <math>\Delta\Delta\vec F\equiv\vec0</math>, siehe [[Navier-Cauchy-Gleichungen]].

== Erweiterung ==
* [[Ricci-Kalkül]]

== Literatur ==

=== Fachbücher (Einstieg) ===

* {{Literatur
|Autor=Harald Klingbeil
|Titel=Grundlagen der elektromagnetischen Feldtheorie: Maxwellgleichungen, Lösungsmethoden und Anwendungen
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin, Heidelberg
|Datum=2022
|ISBN=978-3-662-65125-4
|DOI=10.1007/978-3-662-65126-1}}
* {{Literatur
|Autor=[[Lothar Papula]]
|Titel=Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3: Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung
|Verlag=Springer
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2016
|ISBN=978-3-658-11923-2
|DOI=10.1007/978-3-658-11924-9}}
* {{Literatur |Autor=[[Adolf J. Schwab]] |Titel=Begriffswelt der Feldtheorie: Elektromagnetische Felder, Maxwell-Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2019 |ISBN=978-3-662-58391-3 |DOI=10.1007/978-3-662-58392-0}}
* [[Murray R. Spiegel]]: ''Vector Analysis'' (= ''[[Schaum’s Outlines|Schaum's Outlines]]''). McGraw-Hill, 1959, ISBN 0-07-060228-X.

=== Monografien (Weiterführend) ===

* {{Literatur
|Autor=Harald Klingbeil
|Titel=Elektromagnetische Feldtheorie für Fortgeschrittene: Tensoranalysis, spezielle Relativitätstheorie und kovariante Formulierung der Maxwellgleichungen
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin, Heidelberg
|Datum=2018
|ISBN=978-3-662-56597-1
|DOI=10.1007/978-3-662-56598-8}}
* {{Literatur
|Autor=[[Klaus Jänich]]
|Titel=Vektoranalysis
|Reihe=Springer-Lehrbuch
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin, Heidelberg
|Datum=2005
|ISBN=3-540-23741-0
|DOI=10.1007/b138936}}

Siehe auch die naheliegende Literatur in [[Tensoranalysis]] und [[Feldtheorie (Physik)|Feldtheorie]].

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Vektoranalysis}}
{{Wikisource|Schwere, Elektricität und Magnetismus:373|J. Willard Gibbs: ''Elements of Vector Analysis''}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4191992-0|LCCN=sh85142449|NDL=00560585}}

[[Kategorie:Vektoranalysis| ]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]

Vektoranalysis - Versionsgeschichte

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