imported>17387349L8764: HC: Ergänze Kategorie:Variationsrechnung

2023-02-02T13:56:40Z

HC: Ergänze Kategorie:Variationsrechnung

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Die '''Variationsmethode''' ist in der [[Quantenmechanik]] ein [[Näherungsverfahren]], um eine obere Schranke für [[Eigenwert]]e einer quantenmechanischen [[Observable]]n mit diskretem [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrum]] zu finden.<ref>{{Literatur |Autor=P. Gombás |Titel=Theorie und Lösungsmethoden des Mehrteilchenproblems der Wellenmechanik |Verlag=Birkhäuser Basel |Ort=Basel |Datum=1950 |ISBN=978-3-0348-6957-7 |DOI=10.1007/978-3-0348-6956-0 |Online=https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-0348-6956-0 |Abruf=2023-01-24}}</ref> Eine Verallgemeinerung der Methode führt auf das [[Min-Max-Prinzip (Quantenmechanik)|Min-Max-Prinzip]].

Eine verwandte Weiterentwicklung und Anwendung der klassischen Methode sind ''variierte [[Quantenalgorithmus|Quantenalgorithmen]]'' (VAQ), um parametrisierte [[Quantenschaltung|Quantenschaltkreise]] zu trainieren. Der Ansatz hat das Potential, verschiedene Einschränkungen von Quantencomputern, z. B. [[Qubit|Qubits]] oder [[Rauschen (Physik)|Rauschen]], zu verbessern.<ref>{{Literatur |Autor=M. Cerezo, Andrew Arrasmith, Ryan Babbush, Simon C. Benjamin, Suguru Endo, Keisuke Fujii, Jarrod R. McClean, Kosuke Mitarai, Xiao Yuan, Lukasz Cincio, Patrick J. Coles |Titel=Variational quantum algorithms |Sammelwerk=Nature Reviews Physics |Band=3 |Nummer=9 |Datum=2021-08-12 |Sprache=en |ISSN=2522-5820 |DOI=10.1038/s42254-021-00348-9 |Seiten=625–644 |Online=https://www.nature.com/articles/s42254-021-00348-9 |Abruf=2023-01-30}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Alberto Peruzzo, Jarrod McClean, Peter Shadbolt, Man-Hong Yung, Xiao-Qi Zhou, Peter J. Love, Alán Aspuru-Guzik, Jeremy L. O’Brien |Titel=A variational eigenvalue solver on a photonic quantum processor |Sammelwerk=Nature Communications |Band=5 |Nummer=1 |Datum=2014-07-23 |Sprache=en |ISSN=2041-1723 |DOI=10.1038/ncomms5213 |Seiten=4213 |Online=https://www.nature.com/articles/ncomms5213 |Abruf=2023-01-30}}</ref>

== Verfahren ==

=== Grundzustand ===

Das Verfahren basiert darauf, dass der Eigenwert des Grundzustands eine untere Schranke für den [[Erwartungswert]] der [[Messung]] der Observablen ist: Ist <math>g_i</math> die Entartung eines Eigenwertes <math>i</math>, so lässt sich ein beliebiger Zustand als
:<math>|\psi\rangle = \sum_i\sum_{j=1}^{g_i} c_{i,j} |\psi_{i,j}\rangle</math>
schreiben, wobei die <math>|\psi_{i,j}\rangle</math> ein [[vollständiges Orthonormalsystem]] bilden. Für den Erwartungswert des Zustands bei Messung einer Observablen <math>H</math> mit Eigenwerten <math>E_i</math> gilt dann
:<math>\langle\psi|H|\psi\rangle = \sum_i\sum_{j=1}^{g_i} E_i |c_{i,j}|^2 \geq E_0 \sum_i\sum_{j=1}^{g_i} |c_{i,j}|^2 = E_0\langle\psi|\psi\rangle</math>.

Es lässt sich demnach eine obere Schranke für <math>E_0</math> finden, wenn man für eine Schar von Zuständen <math>|\psi_\alpha\rangle</math> den Erwartungswert berechnet und das Infimum sucht:
:<math>E_0 \leq \inf_\alpha \frac{\langle\psi_\alpha|H|\psi_\alpha\rangle}{\langle\psi_\alpha|\psi_\alpha\rangle}</math>.

=== Angeregte Zustände ===
Ist <math>|\psi_0\rangle</math> die Eigenfunktion zu einem (nicht entarteten) Grundzustand mit Eigenwert <math>E_0</math>, so lässt sich für einen beliebigen Zustand <math>|\psi\rangle</math> schreiben
: <math>H|\psi\rangle = c_0E_0|\psi_0\rangle + \varepsilon |\varphi\rangle</math>,
wo <math>|\varphi\rangle \perp |\psi_0\rangle</math>. Zerlegt man <math>|\varphi\rangle</math> wie oben in Eigenzustände, erhält man unter der Nebenbedingung <math>\langle\varphi|\psi_0\rangle=0</math>
: <math>E_1 \leq \inf_{\alpha} \frac{\langle\varphi_\alpha|H|\varphi_\alpha\rangle}{\langle\varphi_\alpha|\varphi_\alpha\rangle}</math>,
da in der Summe der Wert <math>i=0</math> fehlt.

Die Suche nach weiteren Eigenzuständen erfolgt analog, wobei dann unter Orthogonalität zu mehreren Teilräumen, die die niedrigeren Eigenwerte aufspannen, zu minimieren ist.

== Literatur ==
{{Siehe auch|Variationsrechnung|Quantenmechanik|}}

=== Klassiker oder ältere Werke ===
* {{Literatur |Autor=[[Pál Gombás|P. Gombás]] |Titel=Theorie und Lösungsmethoden des Mehrteilchenproblems der Wellenmechanik |Verlag=Birkhäuser Basel |Ort=Basel |Datum=1950 |ISBN=978-3-0348-6957-7 |DOI=10.1007/978-3-0348-6956-0}}
* {{Literatur |Autor=[[Wolfgang Yourgrau]], [[Stanley Mandelstam]] |Titel=Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory |Verlag=Dover Publications |Ort=New York |Datum=1979 |ISBN=978-0-486-63773-0}}

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Theoretische Chemie]]
[[Kategorie:Computerchemie]]
[[Kategorie:Variationsrechnung]]

Variationsmethode (Quantenmechanik) - Versionsgeschichte

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