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2025-10-04T07:54:01Z

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Der '''Variationskoeffizient''' (auch: '''Abweichungskoeffizient''') ist eine statistische Kenngröße in der [[Deskriptive Statistik|deskriptiven Statistik]] und der [[Mathematische Statistik|mathematischen Statistik]]. Im Gegensatz zur [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] ist er ein ''relatives'' [[Dispersionsmaß (Stochastik)|Streuungsmaß]], das heißt, er hängt nicht von der [[Maßeinheit]] der [[Statistische Variable|statistischen Variable]] bzw. [[Zufallsvariable]]n ab. Er ist nur sinnvoll für Messreihen mit ausschließlich positiven (oder ausschließlich negativen) Werten oder Messreihenvergleichen.<ref>{{Literatur |Autor=Joachim Hartung |Titel=Statistik: Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik |Auflage=7. durchges. |Verlag=Oldenbourg |Datum=1989 |ISBN=3-486-21448-9 |Seiten=47}}</ref>

Die Motivation für diesen Kennwert ist, dass eine statistische Variable mit großem [[Mittelwert]] bzw. eine [[Zufallsvariable]] mit großem [[Erwartungswert]] im Allgemeinen eine größere Varianz aufweist als eine mit einem kleinen Mittel- bzw. Erwartungswert. Da die Varianz und die daraus abgeleitete [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] nicht normiert sind, kann ohne Kenntnis des Mittelwerts nicht beurteilt werden, ob eine Varianz groß oder klein ist. So schwanken beispielsweise die Preise für ein [[Pfund]] Salz, das im Durchschnitt etwa 50 Cent kostet, im Cent-Bereich, während Preise für ein Auto, das im Mittel beispielsweise 20.000 Euro kostet, im 1000-Euro-Bereich variieren.

Der Variationskoeffizient ist eine ''Normierung der Varianz'': Ist die Standardabweichung größer als der Mittelwert bzw. der Erwartungswert, so ist der Variationskoeffizient größer 1.

Der '''Quartilsdispersionskoeffizient''' ist eine robuste Version des Variationskoeffizienten.

Der Variationskoeffizient wird manchmal auch mit <math>\operatorname{Vco}</math> oder <math>\operatorname{CV}</math> abgekürzt.

== Variationskoeffizient für eine Zufallsvariable ==
=== Definition ===
Der Variationskoeffizient <math>\operatorname{VarK}</math> für eine [[Zufallsvariable]] <math>X</math> mit [[Erwartungswert]] <math>\operatorname{E}(X) \neq 0</math> ist definiert als die relative [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]], das heißt die Standardabweichung dividiert durch den Erwartungswert der Zufallsvariablen, in Formeln

:<math>
\operatorname{VarK}(X) =
\frac{\mathrm{Standardabweichung}(X)}{\mathrm{Erwartungswert}(X)} =
\frac{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}}{\operatorname{E}(X)}
</math>.

Der Variationskoeffizient wird häufig in [[Prozent]] angegeben.

=== Beispiel ===
Die reelle Zufallsvariable <math>X</math> sei [[Normalverteilung|standardnormalverteilt]], das heißt, Erwartungswert und Standardabweichung von <math>X</math> haben den Wert 0 bzw. 1. Der Variationskoeffizient kann für diese Zufallsvariable gar nicht definiert werden (Division durch Null). Die verschobene Zufallsvariable <math>X+1000</math> hat ebenso die Standardabweichung 1, aber den Erwartungswert 1000. Hier errechnet sich ein Variationskoeffizient von <math>1/1000 = 0,\!001</math>.

== Quadrierter Variationskoeffizient für eine Zufallsvariable ==
Die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] der Zufallsgröße <math>X/\operatorname{E}(X)</math> wird als '''quadrierter Variationskoeffizient''' <math>\operatorname{SCV}</math> bzw. <math>c^2_X</math> bezeichnet. Er hängt wie der Variationskoeffizient nicht von der Dimension ab, in der die Größe <math>X</math> gemessen wird.
:<math> \operatorname{SCV} = c^2_X = \operatorname{Var}\left(\frac{X}{\operatorname{E}(X)}\right)
= \frac{\operatorname{E}(X^2) - \left[\operatorname{E}(X)\right]^2}{\left[\operatorname{E}(X)\right]^2}
= \frac{\operatorname{E}(X^2)}{\left[\operatorname{E}(X)\right]^2} - 1</math>

== Empirische Variationskoeffizienten ==

Liegt an Stelle der Verteilung der Zufallsvariablen eine konkrete [[Messreihe]] von Werten <math>x_1,\dots,x_n</math> vor, so bildet man analog den empirischen Variationskoeffizienten als Quotienten aus [[Empirische Standardabweichung|empirischer Standardabweichung]] <math>s</math> und [[Arithmetisches Mittel|arithmetischem Mittel]] <math>\bar{x}</math>:

:<math>v=\frac{s}{\bar{x}},\; \bar{x} > 0</math>.

Gilt <math>x_i\geq 0</math>, so kann ein normierter Variationskoeffizient definiert werden als

:<math>v^*=\frac{v}{\sqrt{n}}</math>,

für den gilt <math>0\leq v^* \leq 1</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Wolfgang Kohn |Titel=Statistik: Datenanalyse und Wahrscheinlichkeitsrechnung |Verlag=Springer |Datum=2004 |ISBN=978-3-540-21677-3 |Seiten=81}}</ref>

Wird die empirische Standardabweichung stattdessen nicht aus der korrigierten Stichprobenvarianz berechnet (also <math>\tilde{s}</math> statt <math>s</math> verwendet), dann ist statt <math>\sqrt{n}</math> im Nenner von <math>v^*</math> der Wert <math>\sqrt{n-1}</math> zu verwenden.

=== Alternativen ===
==== Empirischer Variationskoeffizient zweiter Ordnung ====
Der [[Variationskoeffizient zweiter Ordnung]] ist definiert als<ref>{{Literatur |Autor=T. O. Kvålseth |Titel=Coefficient of variation: the second-order alternative |Sammelwerk=Journal of Applied Statistics |Band=44 |Nummer=3 |Datum=2016 |Seiten=402–415 |DOI=10.1080/02664763.2016.1174195}}</ref>

:<math> V_2 = \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^2}{\hat{\sigma}^2 + \hat{\mu}^2}} </math>.

Dieser Kennwert ist zwischen 0 (keine Varianz) und 1 (maximale relative Varianz, d. h. <math>\hat{\sigma} \gg \hat{\mu}</math>) beschränkt.

==== Empirischer Quartilsdispersionskoeffizient ====
Der Quartilsdispersionskoeffizient ist eine robuste Version des Variationskoeffizienten

:<math>v_r=\frac{x_{0{,}75}-x_{0{,}25}}{x_{0{,}5}}</math>,

also der [[Interquartilsabstand (Deskriptive Statistik)|Interquartilsabstand]] dividiert durch den [[Median]].

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Deskriptive Statistik]]

Variationskoeffizient - Versionsgeschichte

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