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2026-04-22T22:49:38Z

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Die '''Variation der Konstanten''' ist ein Verfahren aus der Theorie [[Lineare gewöhnliche Differentialgleichung|linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen]] zur Bestimmung einer speziellen [[Lösung (Mathematik)|Lösung]] eines inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems erster Ordnung bzw. einer inhomogenen linearen Differentialgleichung beliebiger Ordnung. Vorausgesetzt wird hierfür eine vollständige Lösung ([[Fundamentalsystem (Mathematik)|Fundamentalsystem]]) der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.

[[Leonhard Euler]] benutzte einen Vorläufer dieser Methode bereits 1748 im Zusammenhang mit astronomischen Problemen.<ref>[[Forest Ray Moulton]]: ''An Introduction to Celestial Mechanics'', 2nd ed. (first published by the Macmillan Company in 1914; reprinted in 1970 by Dover Publications, Inc., Mineola, New York), [https://books.google.com/books?id=URPSrBntwdAC&pg=PA431#v=onepage&q&f=false page 431]</ref><ref>Leonhard Euler: Recherches sur la question des inégalités du mouvement de Saturne et de Jupiter, sujet proposé pour le prix de l'année 1748 par l’Académie Royale des Sciences de Paris, France: G. Martin, J.B. Coignard, & H.L. Guerin, 1749, [https://books.google.com/books?id=GtA6Ea1NlqwC&pg=PA1#v=onepage&q&f=false online] Bei: Google.com </ref>
In seiner heutigen Form wurde das Verfahren von [[Joseph-Louis Lagrange]] entwickelt.<ref>Joseph-Louis Lagrange: (1766) [https://books.google.com/books?id=XwVNAAAAMAAJ&pg=RA1-PA179#v=onepage&q&f=false “Solution de différens problèmes du calcul integral,”] ''Mélanges de philosophie et de mathématique de la Société royale de Turin'', vol. 3, pages 179–380.</ref>

== Motivation ==
=== Lineare Differentialgleichung erster Ordnung ===
Seien <math>a \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>b \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> stetige Funktionen, dann lautet die lineare Differentialgleichung erster Ordnung<ref>[[Wolfgang Walter (Mathematiker)|Wolfgang Walter]]: ''Gewöhnliche Differentialgleichungen.'' 3. Auflage. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-16143-0, §2, Abschnitt II</ref>
:<math>y'(x) = a(x)y(x) + b(x)</math>.
Definiere die Funktion
:<math>A(x) := \int_{x_0}^xa(t) \, \mathrm{d}t</math>,
wobei <math>x_0</math> geeigneten [[Randbedingung]]en genügen muss, so ist <math>A</math> eine [[Stammfunktion]] von <math>a</math>.
Dann ist
:<math>\left\{y(x) = ce^{A(x)}\ |\ c \in \mathbb{R}\right\}</math>
die Menge aller Lösungen der homogenen Differentialgleichung <math>y'(x) = a(x)y(x)</math>.

Zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung wird nun die Funktion <math> c(x)</math> eingeführt und der ''Ansatz der Variation der Konstanten'' gewählt:
:<math>y(x) = c(x)e^{A(x)}</math>.
Dies ergibt eine eindeutige Zuordnung zwischen den Funktionen <math>y</math> und <math>c</math>, denn <math>\exp \circ A</math> ist eine stets positive, stetig differenzierbare Funktion. Die Ableitung dieser Ansatzfunktion ist
:<math>y'(x) = c(x)a(x)e^{A(x)} + c'(x)e^{A(x)} = a(x)y(x) + c'(x)e^{A(x)}</math>.
Also löst <math>y</math> die inhomogene Differentialgleichung
:<math>y'(x) = a(x)y(x) + b(x)</math>
genau dann, wenn
:<math>c'(x) = b(x)e^{-A(x)}</math>
gilt. Beispielsweise ist
:<math>c(x) := \int_{x_0}^x b(t)e^{-A(t)} \, \mathrm{d}t</math>
eine solche Funktion und somit
:<math>y_\text{sp}(x) := e^{A(x)}\cdot\int_{x_0}^x b(t)e^{-A(t)} \, \mathrm{d}t</math>
die spezielle Lösung mit <math>y_\text{sp}(x_0) = 0</math>. Also ist
:<math>\left\{y(x) = e^{A(x)}\cdot\left[\int_{x_0}^x b(t)e^{-A(t)} \, \mathrm{d}t + c \right]\ |\ c \in \mathbb{R}\right\}</math>
die Menge ''aller'' Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung <math>y'(x) = a(x)y(x) + b(x)</math>.

=== Beispiel ===
Liegt an einer Spule mit der [[Induktivität]] <math>L</math> und dem [[Elektrischer Widerstand#Ohmscher Widerstand|ohmschen Widerstand]] <math>R</math> eine Gleichspannung <math>U_0</math> an, so gilt für die Spannung an dem Widerstand
:<math>U(t)=U_0-L\dot I(t). \!\,</math>
Nach dem [[Ohmsches Gesetz|ohmschen Gesetz]] gilt zudem
:<math>I(t) = \frac{U(t)}{R} = \frac{U_0}{R} - \frac{L}{R} \dot I(t) </math>.
Es handelt sich also um eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten, die nun mithilfe des Verfahrens der Variation der Konstanten gelöst werden soll.

Für die zugehörige homogene Differentialgleichung <math>I_h</math>
:<math> \dot I_h(t)=-\frac{R}{L} I_h(t) </math>
lautet die allgemeine Lösung
:<math>I_h(t)=c e^{-\frac{R}{L}t}</math>
für ein beliebiges, aber konstantes <math>c </math>.

Als Ansatz für die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ersetze man die Konstante <math>c</math> durch einen variablen Ausdruck <math>c(t)</math>. Man setzt also
:<math>I(t) := c(t) e^{-\frac{R}{L}t}</math>
und versucht, eine differenzierbare Funktion <math>c(t)</math> so zu bestimmen, dass <math>I</math> die inhomogene Differentialgleichung erfüllt. Es folgt

:<math> \begin{align}
\frac{U_0}{R}- \frac{L}{R} \dot I(t)
& = \frac{U_0}{R}- \frac{L}{R} \dot c(t) e^{-\frac{R}{L}t} + \frac{L}{R}c(t) \frac{R}{L} e^{-\frac{R}{L}t}\\
& = \frac{U_0}{R}- \frac{L}{R} \dot c(t) e^{-\frac{R}{L}t} + c(t) e^{-\frac{R}{L}t}\\
& = \frac{U_0}{R}- \frac{L}{R} \dot c(t) e^{-\frac{R}{L}t} + I(t).
\end{align} </math>
Demnach ist die inhomogene Differentialgleichung genau dann gelöst, wenn gilt
:<math>\frac{U_0}{R}- \frac{L}{R} \dot c(t) e^{-\frac{R}{L}t} = 0</math>.
Diese Randwertbedingung ist gleichbedeutend mit <math> \textstyle \dot c(t) = \frac{U_0}{L} e ^{\frac{R}{L}t}</math> oder nach Integration mit <math>\textstyle c(t) = \frac{U_0}{R}e^{\frac{R}{L}t} + d</math>. Somit lautet die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung
:<math>I(t) = \frac{U_0}{R}+d e^{-\frac{R}{L}t}</math>.
Die Konstante <math>d</math> lässt sich aus der [[Anfangsbedingung]] bestimmen und ergibt für <math>I(0)=0</math> die Lösung
: <math>I(t) = \frac{U_0}{R}-\frac{U_0}{R}e^{-\frac{R}{L}t}</math>.

== Inhomogene lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung ==
Das obige Verfahren lässt sich auf folgende Weise verallgemeinern<ref>[[Wolfgang Walter (Mathematiker)|Wolfgang Walter]]: ''Gewöhnliche Differentialgleichungen.'' 3. Auflage. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-16143-0, §16</ref>:

=== Formulierung ===
Seien <math>A: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}</math> und <math>b: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n</math> stetige Funktionen und <math>\Phi(x) = (y_1(x)\ |\ \cdots\ |\ y_n(x))</math> eine [[Fundamentalsystem (Mathematik)|Fundamentalmatrix]] des homogenen Problems <math>y'(x) = A(x)y(x)</math> sowie <math>\Phi_k(x)</math> diejenige Matrix, die aus <math>\Phi(x)</math> entsteht, indem man die <math>k</math>-te Spalte durch <math>b(x)</math> ersetzt. Dann ist
:<math> y_{sp}(x) := \sum_{k=1}^nc_k(x)y_k(x)</math>
mit
:<math> c_k(x) := \int_{x_0}^x\frac{\det \Phi_k(s)}{\det \Phi(s)}{\rm d}s</math>
die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems <math>y'(x) = A(x)y(x) + b(x)</math> und <math>y(x_0) = 0</math>.

=== Beweis ===
Setze
:<math>y_{sp}(x) := \Phi(x)\int_{x_0}^x\Phi(s)^{-1}b(s){\rm d}s\ .</math>
Es ist <math>y_{sp}(x_0) = 0</math>, und wegen <math>\Phi'(x) = A(x)\Phi(x)</math> sieht man durch Differenzieren, dass <math>y_{sp}</math> die Differentialgleichung <math>y_{sp}'(x) = A(x)y_{sp}(x) + b(x)</math> erfüllt. Nun löst
:<math>a(s) := \Phi(s)^{-1}b(s) \in \mathbb{R}^n</math>
für festes <math>s</math> das lineare Gleichungssystem
:<math>\Phi(s)\cdot a(s) = b(s)\ .</math>
Nach der [[Cramersche Regel|cramerschen Regel]] ist somit
:<math>a_k(s) = \frac{\det \Phi_k(s)}{\det \Phi(s)}\ ,\ k = 1, \ldots, n\ .</math>
Also gilt
:<math>y_{sp}(x) = \int_{x_0}^x\Phi(x)a(s){\rm d}s = \sum_{k=1}^n\left[\int_{x_0}^x\frac{\det \Phi_k(s)}{\det \Phi(s)}{\rm d}s\right]y_k(x)\ .</math>

=== Spezialfall: Resonanzfall ===
Falls die Inhomogenität <math>b</math> selber Lösung des homogenen Problems ist, d. h. <math>b'(x) = A(x)b(x)</math>, so bezeichnet man dies als '''Resonanzfall'''. In diesem Fall ist
:<math>\ y_{sp}(x) := (x-x_0)b(x)</math>
die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems <math>y'(x) = A(x)y(x) + b(x)</math> und <math>y(x_0) = 0</math>.

== Inhomogene lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung ==
Das Lösen einer Differentialgleichung höherer Ordnung ist äquivalent zum Lösen eines geeigneten Differentialgleichungssystems erster Ordnung. Auf diese Weise kann man obiges Verfahren nutzen, um eine spezielle Lösung für eine Differentialgleichung höherer Ordnung zu konstruieren.<ref>''Differentialgleichungen n-ter Ordnung.'' In: [[Otto Forster]]: ''Analysis II.'' Vieweg Verlag, 1977, ISBN 3-499-27031-5, Kapitel II, §12.</ref>

=== Formulierung ===
Seien <math>a_0, \ldots, a_{n-1}, b: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> stetige Funktionen und <math>\Phi(x)</math> eine [[Fundamentalsystem (Mathematik)|Fundamentalmatrix]] des homogenen Problems <math>\textstyle y^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n-1}a_k(x)y^{(k)}(x)</math>, deren erste Zeile <math>(y_1(x)\ |\ \cdots\ |\ y_n(x))</math> lautet, sowie <math>\Phi_k(x)</math> diejenige Matrix, die aus <math>\Phi(x)</math> entsteht, indem man die <math>k</math>-te Spalte durch <math>\textstyle \begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\b(x)\\\end{pmatrix}</math> ersetzt. Dann ist
:<math> y_{sp}(x) := \sum_{k=1}^nc_k(x)y_k(x)</math>
mit
:<math> c_k(x) := \int_{x_0}^x\frac{\det \Phi_k(s)}{\det \Phi(s)}{\rm d}s</math>
die Lösung des inhomogenen Anfangswertproblems <math>\textstyle y^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n-1}a_k(x)y^{(k)}(x) + b(x)</math> und <math>y(x_0) = 0</math>.

=== Beweis ===
Man betrachte zunächst das hierzu korrespondierende Differentialgleichungssystem erster Ordnung, bestehend aus <math>n</math> Gleichungen
:<math>\ Y'(x) = A(x)Y(x) + B(x)</math> mit <math>
A(x) := \begin{pmatrix}
0&1&&0\\
&\ddots&\ddots&\\
&&\ddots&1\\
a_0(x)&a_1(x)&\cdots&a_{n-1}(x)\\
\end{pmatrix}\ ,\ B(x) := \begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\b(x)\\\end{pmatrix}\ .</math>
Es gilt: <math>y(x)</math> löst die skalare Gleichung <math>n</math>-ter Ordnung genau dann, wenn <math>\textstyle Y(x) := \begin{pmatrix}
y(x)\\y'(x)\\
\vdots\\
y^{(n-1)}(x)\\
\end{pmatrix}</math>
Lösung obigen Systems erster Ordnung ist. Per definitionem ist <math>\Phi</math>
eine Fundamentalmatrix für dieses System erster Ordnung. Darauf wende man schließlich das oben bewiesene Verfahren der Variation der Konstanten an.

=== Alternative: Grundlösungsverfahren ===
Im Fall ''konstanter'' Koeffizienten ist es gelegentlich von Vorteil, das '''Grundlösungsverfahren''' zur Konstruktion einer speziellen Lösung zu verwenden: Ist <math>y_h</math> diejenige homogene Lösung von <math>\textstyle y^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n-1}a_ky^{(k)}(x)</math>, welche
:<math>y_h^{(k)}(x_0) = 0\ ,\ k = 0, \ldots, n-2\ ,\ y_h^{(n-1)}(x_0) = 1</math>
erfüllt, dann ist
:<math>y_{sp}(x) := \int_{x_0}^xy_h(x_0+x-t)b(t){\rm d}t</math>
diejenige spezielle Lösung von <math>\textstyle y^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n-1}a_ky^{(k)}(x) + b(x)</math> mit <math>y_{sp}(x_0) = 0</math>.

=== Beweis ===
Durch Differenzieren überprüft man
:<math>y_{sp}^{(k)}(x) = \int_{x_0}^xy_h^{(k)}(x_0+x-t)b(t){\rm d}t\ ,\ k = 0, \ldots, n-1</math>
und
:<math>y_{sp}^{(n)}(x) = b(x) + \int_{x_0}^xy_h^{(n)}(x_0+x-t)b(t){\rm d}t\ .</math>
Es ergibt sich
:<math>y_{sp}^{(n)}(x) - \sum_{k=0}^{n-1}a_ky_{sp}^{(k)}(x) =
b(x) + \int_{x_0}^x\left[y_h^{(n)}-\sum_{k=0}^{n-1}a_ky_h^{(k)}\right](x_0+x-t)b(t){\rm d}t
= b(x)\ .</math>

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen]]

Variation der Konstanten - Versionsgeschichte

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