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2025-07-17T08:12:13Z

Anwendung in der Stochastik

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{{Dieser Artikel|behandelt die Variation einer Funktion. Für die '''Variation''' in der Maßtheorie siehe [[Variation (Maßtheorie)]], [[Totalvariationsnorm]] und [[Vektorielles Maß#Totalvariation|Vektorielles Maß]]. Für Variationen in der Kombinatorik siehe [[Variation (Kombinatorik)]].}}

In der [[Mathematik]], vor allem der [[Variationsrechnung]] und der Theorie der [[Stochastischer Prozess|stochastischen Prozesse]], ist die '''Variation''' (auch '''totale Variation''' genannt) einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] ein Maß für das lokale Schwingungsverhalten der Funktion. Bei den stochastischen Prozessen ist die Variation von besonderer Bedeutung, da sie die Klasse der zeitstetigen Prozesse in zwei fundamental verschiedene Unterklassen unterteilt: jene mit endlicher und solche mit unendlicher Variation.

== Definition ==

Sei <math>f\colon [a,b] \to \R </math> eine Funktion auf dem reellen [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[a,b]</math>. Die Variation <math> |f|_{[a,b]} </math> von <math>f</math> ist definiert durch

:<math> |f|_{[a,b]} := \sup\left\{ \left.\sum_{k=0}^{n-1} \left|f\left(t_{k+1}^{(n)}\right)-f\left(t_{k}^{(n)}\right)\right|\ \right| n\in\mathbb{N}, a \le t_0^{(n)} < t_1^{(n)} \dotsb < t_n^{(n)} \le b\right\}</math>,

also durch die kleinste obere Schranke ([[Supremum]]), die alle Summen majorisiert, die sich durch eine beliebig feine Unterteilung
<math>a \le t_0^{(n)} < t_1^{(n)} \dotsb < t_n^{(n)} \le b </math> des Intervalls <math>[a,b]</math> ergeben. Falls sich keine reelle Zahl finden lässt, die alle Summen majorisiert, so wird das Supremum auf [[Unendlichkeit|plus unendlich]] gesetzt.

Für stückweise [[Reelle monotone Funktion|monotone]], stetige Funktionen gilt der folgende Satz:

Ist <math> f\colon [a,b] \to \R </math> in den Intervallen <math>[t_0,t_1], [t_1,t_2], \ldots, [t_{n-1},t_n]</math> mit <math>t_0=a, t_n=b</math> jeweils monoton steigend oder fallend, so gilt für die Variation von <math>f</math> die Gleichung

:<math>|f|_{[a,b]} = \sum_{k=0}^{n-1} |f(t_{k+1})-f(t_{k})| </math>.

Obige Definition der Variation lässt sich auf Funktionen übertragen, die auf unbeschränkten Intervallen definiert sind, und auf solche, die Werte in den [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] oder in [[Normierter Raum|normierten Vektorräumen]] annehmen.

== Beispiel einer stetigen Funktion mit unendlicher Variation ==

Wir wollen zeigen, dass für die auf dem Einheitsintervall <math>[0,1]</math> stetige Funktion

:<math>f(t) = \begin{cases} 0&\mbox{falls }t=0,\\ t\cos\frac\pi{2t}&\mbox{falls }t\in(0,1],\end{cases}</math>

<math>|f|_{[0,1]}=\infty</math> gilt. Für jedes <math>n\in\mathbb{N}</math> seien

:<math>t_k^{(n)} = \begin{cases}0&\mbox{falls }k=0,\\\frac1{n+1-k}&\mbox{falls }k\in\{1,\dots,n\}.\end{cases}</math>

Dann ist

:<math>\sum_{k=0}^{2n-1}\left|f(t_{k+1}^{(2n)})-f(t_k^{(2n)})\right| = \dotsc = \sum_{l=1}^n\frac1l</math>,

was wegen der Divergenz der [[Harmonische Reihe|harmonischen Reihe]] für <math>n\to\infty</math> gegen unendlich strebt.

== Anwendung in der Variationsrechnung ==

In der [[Variationsrechnung]] begegnet man häufig [[Optimierung]]sproblemen der folgenden Art:

:<math>\min_{f \in \mathcal{C}} |f|_{[a,b]}</math>,

wobei <math> \mathcal{C} </math> eine vorgegebene Menge von Funktionen ist, etwa alle zweimal [[Differentialrechnung|stetig differenzierbaren]] Funktionen mit zusätzlichen Eigenschaften wie

:<math> f(a)=0,\ f(b)=1,\ f\left(\frac{2a+b}{3}\right)=-f\left(\frac{a+2b}{3}\right). </math>

Ähnliche Probleme führen beispielsweise zur Definition der [[Spline]]s.

Ein weiterer Grund für die Verbreitung der Variation in Optimierungsproblemen ist die folgende Feststellung: Beschreibt die Funktion <math>f</math> den Verlauf eines Objekts in einem eindimensionalen Raum im Laufe der Zeit, dann gibt <math>|f|_{[a,b]}</math> gerade die im Zeitraum <math>[a,b]</math> zurückgelegte Strecke an.

== Anwendung in der Stochastik ==

In der Theorie der [[Stochastischer Prozess|stochastischen Prozesse]] spielt der Begriff der Variation eine besondere Rolle: Eine wichtige Charakterisierung von Prozessen (neben der Einteilung in Klassen wie [[Markow-Prozess|Markow-]], [[Lévy-Prozess|Lévy-]] oder [[Gauß-Prozess]]e) besteht in ihrer Eigenschaft, über beschränkten Intervallen [[fast sicher]] endliche oder unendliche Variation aufzuweisen:

* Beispiel für einen Prozess fast sicher ''endlicher'' Variation:<br />Für einen [[Poisson-Prozess]] <math>(N_t)_{t \ge 0}</math> mit Intensität <math>\lambda</math> gilt wegen der Monotonie <math>|N|_{[0,t]} \sim \mathrm{Poi}(\lambda t)</math>.
* Beispiel für einen Prozess fast sicher ''unendlicher'' Variation:<br />Der [[Wiener-Prozess]] hingegen besitzt fast sicher unendliche Variation auf jedem Intervall <math>[0,t]</math>, <math>t > 0</math>.

Für die Anwendung des Wiener-Prozesses in der Physik zur Erklärung der [[Brownsche Bewegung|Brownschen Molekularbewegung]] hat diese Eigenschaft fatale Folgen: Ein Partikel, dessen Bewegung einem Wiener-Prozess folgt, würde in jedem Zeitintervall eine unendliche Strecke zurücklegen – im krassen Widerspruch zu den Gesetzen der Physik. Ein solches Teilchen hätte keine definierte Momentan[[geschwindigkeit]] (insbesondere nicht einmal eine [[Bewegungsrichtung]]) und erst recht keine definierte [[Beschleunigung]], sodass es sinnlos ist, über auf das Teilchen wirkende [[Kraft|Kräfte]] zu sprechen (vgl. [[zweites newtonsches Gesetz]]).

=== Quadratische Variation ===
{{Siehe auch|Quadratischer Variationsprozess}}

Eine weitere interessante Eigenschaft des Wiener-Prozesses hängt ebenfalls mit dessen Variation zusammen: Ersetzt man in der obigen Definition

: <math>\left|f\left(t_{i+1}^{(n)}\right)-f\left(t_{i}^{(n)}\right)\right|</math> durch
: <math>\left(f\left(t_{i+1}^{(n)}\right)-f\left(t_{i}^{(n)}\right)\right)^2</math>,

so gelangt man zum Begriff der ''quadratischen Variation'' <math>[X,X]_t</math> eines stochastischen Prozesses <math>X</math> auf dem Intervall <math>[0,t]</math> (für <math>t \ge 0</math>):

: <math>[X,X]_t := \sup\left\{ \left.\sum_{k=0}^{n-1} \left(X\left(t_{k+1}^{(n)}\right)-X\left(t_{k}^{(n)}\right)\right)^2\ \right| n\in\mathbb{N}, 0\le t_0^{(n)} < t_1^{(n)} \dotsb < t_n^{(n)}\le t\right\}\;.</math>

Ein wichtiges Resultat, das sich beispielsweise in der [[Itō-Formel]] niederschlägt, ist das folgende: Ist <math>W</math> ein (Standard-)Wiener-Prozess, so gilt für dessen quadratische Variation fast sicher

: <math>[W,W]_t = t</math>.

Im Allgemeinen unterscheidet man zwei Formen der quadratischen Variation/Kovariation.
: 1. Sei <math>(X_t,\mathcal{F}_t)_{t\geq 0}</math> ein <math>L^2</math>-[[Martingal]]. Dann heißt der eindeutig bestimmte wachsende Prozess <math>(A_t)_{t\geq0}</math> aus der [[Doob-Meyer-Zerlegung]] von <math>X^2</math>, <math>X^2_t=X_0^2+M_t+A_t</math> mit <math>(M_t)_{t\geq0}</math> einem Martingal und <math>(A_t)_{t\geq0}</math> einem vorhersehbaren wachsenden Prozess, die vorhersehbare (predictable) quadratische Variation oder (Angle) Bracket von <math>(X_t)_{t\geq0}</math>; Schreibweise <math>\langle X, X \rangle_t</math> oder kurz <math>\langle X\rangle_t</math>.

: Die vorhersehbare quadratische Kovariation für zwei <math>L^2</math>-Martingale <math>(X_t,\mathcal{F}_t)_{t\geq0}</math> und <math>(Y_t,\mathcal{F}_t)_{t\geq0}</math> wird definiert als:

: <math>\langle X,Y\rangle_t = \frac{1}{4}\left(\langle X+Y,X+Y\rangle_t -\langle X-Y,X-Y\rangle_t\right)</math>.

: 2. Die quadratische Kovariation zweier [[Semimartingal]]e <math>(X_t)_{t\geq0}</math> und <math>(Y_t)_{t\geq0}</math> bzw. die quadratische Variation von <math>(X_t)_{t\geq0}</math>, wenn <math>Y=X</math>, ist der folgende Prozess:

: <math>[X,Y]_t = X_tY_t -X_0 Y_0 - \int_0^t (X_{s-}){\rm d}Y_s - \int_0^t (Y_{s-}){\rm d}X_s</math>.

Beziehung zwischen den beiden Definitionen:<br />
Seien <math>(X_t)_{t\geq0}</math> und <math>(Y_t)_{t\geq0}</math> zwei Semimartingale. Dann gilt für alle <math>t\geq0</math>

: <math>[X,Y]_t = \langle X^c,Y^c\rangle_t + \sum_{0<s\leq t}\Delta X_s\Delta Y_s</math>,

wobei mit <math>X^c</math> und <math>Y^c</math> die stetigen Martingalteile bezeichnet werden.

== Siehe auch ==

* [[Erste Variation]]
* [[Beschränkte Variation]]

== Literatur ==

* {{Literatur |Autor=Philip Protter |Titel=Stochastic Integration and Differential Equations |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2003 |ISBN=978-3-540-00313-7 |Auflage=2}}
* {{Literatur |Autor=Jean Jacod and Albert N. Shiryaev |Titel=Limit Theorems for Stochastic Processes | Verlag=Springer |Datum=1987 |ISBN=3-540-17882-1}}

[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Variationsrechnung]]

Variation (Mathematik) - Versionsgeschichte

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