~2025-26747-95: /* Quellen der untersuchten Werte */ es geht um die Werte EINER Zufallsvariablen

2025-12-03T18:41:39Z

Quellen der untersuchten Werte: es geht um die Werte EINER Zufallsvariablen

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Die '''Varianz''' (von {{laS}} ''variantia'' „Verschiedenheit“ bzw. ''variare'' „[ver]ändern, verschieden sein“) ist ein Begriff der [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]]. Sie ist ein Maß für die Streuung [[reelle Zahlen|reeller]] Werte um einen Mittel-, bzw. [[Erwartungswert]]. (Die Streuung um einen Erwartungswert stellt dabei die allgemeinere Betrachtungsweise dar. Die Streuung erfasster Werte um ihr [[arithmetisches Mittel]] ist demgegenüber ein Spezialfall und wird hier als [[empirische Varianz]] bezeichnet.) Die Varianz wird berechnet, indem das [[Durchschnittliches Abweichungsquadrat|mittlere Abweichungsquadrat]] aller Werte gebildet wird. Die [[Quadratwurzel]] aus der Varianz ergibt die '''Standardabweichung''', ebenfalls ein [[Streuungsmaß (Statistik)|Streuungsmaß]].

Die Standardabweichung ist oft anschaulicher als die Varianz, da sie dieselbe Größenordnung hat wie die beobachteten Werte. Die Varianz ist dafür in weitergehenden Berechnungen oft praktischer: So können beispielsweise Varianzbeiträge von mehreren unabhängigen Zufallseinflüssen einfach addiert werden, und umgekehrt lässt sich durch eine [[Varianzanalyse]] eine Gesamtvarianz oft auch in ihre Beiträge (Ursachen) zerlegen.

== Eigenschaften ==
Die Quadrierung der Abweichungen vom Mittelwert bewirkt bei einer endlichen Anzahl reeller Stichprobenwerte:

* Positive und negative Abweichungen vom Mittelwert heben sich nicht gegenseitig auf.
* Die Varianz einer Stichprobe ist immer positiv (oder Null, falls alle Stichprobenwerte identisch sind).
* Eine größere Varianz entspricht einer größeren Unterschiedlichkeit der Werte.
* Wenige aber starke [[Ausreißer]] haben einen großen Einfluss auf das Ergebnis.

== Quellen der untersuchten Werte ==
In der beschreibenden Statistik wird von ''[[empirische Varianz]]'' (d. h. „aus konkreten Daten berechnete“ Varianz) geredet. Die konkreten Daten ergeben sich häufig als [[Stichprobe]] aus einer [[Grundgesamtheit|Gesamtheit aller Daten]] (Population, Grundgesamtheit). Das führt zur alternativen Bezeichnung als ''Stichprobenvarianz''.

Die Varianz wird in der [[Stochastik]] mathematisch allgemeiner behandelt (siehe ''[[Varianz (Stochastik)]]''); die empirische Varianz ist also nur ein Spezialfall: Sie basiert in der [[Mathematische Statistik|mathematischen Statistik]] auf [[Zufallsvariable]]n, also auf [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]], die dem Ergebnis eines [[Zufallsexperiment]]s eine Größe zuordnen. Die Zufallsvariablen sind nicht begrenzt auf reelle Werte, und die Anzahl der Werte zur Berechnung der Varianz kann auch unendlich sein. In der mathematischen Statistik ist die Varianz die [[Erwartungswert|erwartete]] quadratische Abweichung von Zufallsvariablen von ihrem [[Erwartungswert]].<ref>Bronstein 2020, Kapitel 16.3.1.2: Stichprobenfunktionen</ref><ref>Fahrmeir 2016, Kapitel 5: Diskrete Zufallsvariablen und Kapitel 6: Stetige Zufallsvariablen</ref><ref>Hartung 2005, Kapitel II: Wahrscheinlichkeitsrechnung</ref> Sie wird daher zur Abgrenzung auch als ''theoretische'' Varianz bezeichnet.

Durch die Verallgemeinerung können besondere Fälle auftreten:

* Es gibt Zufallsvariablen, die auf Wahrscheinlichkeitsverteilungen basieren, für die die Varianz nicht definiert ist (z. B. [[Cauchy-Verteilung]]).
* Eine Varianz von Null zeigt nicht unbedingt an, dass die Zufallsvariable stets denselben Wert liefert.

Die Varianz wird in der Stochastik aus der Verteilung der Zufallsvariablen oder mit Hilfe von Schätzfunktionen bestimmt (siehe ''[[Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)]]'').

== Empirische Varianz ==
{{Hauptartikel|Empirische Varianz}}Ausgangspunkt ist eine [[Stichprobe]] mit reellen Werten, die aus einer [[Grundgesamtheit]] ausgewählt (empirisch erhoben) wurden. Wir sprechen daher im Folgenden auch von der „Stichprobenvarianz“. Im Grenzfall umfasst die Stichprobe die gesamte Grundgesamtheit.

Die empirische Varianz ist ein Spezialfall der Varianz in der mathematischen Statistik.

=== Stichprobe als Teilmenge einer Grundgesamtheit ===
Zur Ermittlung der Stichprobenvarianz werden zunächst die Abweichungen der beobachteten reellen Werte <math>x_1, \ldots, x_n</math> der Stichprobe von ihrem [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittel]] <math>(x_1 - \overline{x}),\ldots, (x_n - \overline{x})</math> gebildet. Summierung ergibt die sogenannte [[Abweichungsquadratsumme]] <math>\sum\nolimits_{i=1}^n (x_i - \overline x)^2</math>.

Wenn die Abweichungsquadratsumme durch <math>n-1</math> dividiert wird, erhält man das [[Durchschnittliches Abweichungsquadrat|mittlere Abweichungsquadrat]] bzw. die ''[[Empirische Varianz#Berechnung der empirischen Varianz|korrigierte Stichprobenvarianz]]'' oder ''korrigierte empirische Varianz'':
{{NumBlk|:|<math>s^2 = \frac1{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2</math>|1}}

Falls keine Verwechslungsgefahr mit Formel (2) besteht, wird oft auch nur die kürzere Bezeichnung ''Stichprobenvarianz'' oder ''empirische Varianz'' verwendet<ref>Beyer 1988</ref><ref name=":22">Kabluchko 2017, Kapitel 1.4: Empirische Varianz</ref>. Der Vorsatz „korrigierte …“ in der ausführlichen Bezeichnung bezieht sich auf den Faktor <math>1/(n-1)</math>, der auch als ''[[Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)#Bessel-Korrektur|Bessel-Korrektur]]'' bezeichnet wird.<ref name=":22" />

Die Idee dieser Formel (1) ist es, eine Aussage über die erwartete Varianz der Gesamtheit aller Daten zu machen: Die Stichprobe wird verwendet, um die Varianz der Grundgesamtheit zu schätzen. Formel (1) stellt einen erwartungstreuen Schätzer dar. Das bedeutet in diesem Fall, dass der [[Schätzfehler]] immer kleiner wird und gegen Null strebt, wenn das Ergebnis über eine steigende Anzahl von Stichproben gemittelt wird. Diese Eigenschaft von Formel (1) lässt sich in der mathematischen Statistik beweisen.

Wenn die Abweichungsquadratsumme nur durch <math>n</math> dividiert wird, erhält man die ''unkorrigierte Stichprobenvarianz''
{{NumBlk|:|<math>\tilde{s}^2 = \frac1n \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2</math>|2}}
Die Idee dieser Formel (2) ist es, den Datensatz möglichst genau durch eine [[Normalverteilung]] zu beschreiben: Die Parameter der Normalverteilung <math>\mu</math> und <math>\sigma</math> werden so bestimmt, dass der quadratische Fehler der gegebenen Daten relativ zur Verteilungsfunktion der Normalverteilung minimal ist.<ref>{{Internetquelle |autor=Kunyu He |url=https://towardsdatascience.com/statistics-in-ml-estimating-population-variance-1f484184f247 |titel=Statistics in ML: Why Sample Variance Divided by n Is Still a Good Estimator |datum=2020-05-18 |sprache=en |abruf=2022-05-09}}</ref> Das ist der Fall für <math>\mu=\overline{x}</math> und <math>\sigma=\tilde{s}</math>. Formel (2) liefert in diesem Sinne bessere Ergebnisse als Formel (1). Allerdings ist Formel (2) kein erwartungstreuer Schätzer, denn wenn das Ergebnis über viele Stichproben gemittelt wird, dann strebt das Ergebnis nicht gegen den wahren Wert für die Varianz der Grundgesamtheit. Formel (2) liefert im Mittel zu kleine Ergebnisse und wird daher seltener angewendet. Formel (2) wird in der mathematischen Statistik begründet, z. B. durch Anwendung der [[Maximum-Likelihood-Methode]], oder der [[Momentenmethode]].

Für den Sonderfall, dass der Mittelwert der [[Grundgesamtheit]] <math>\mu</math> bekannt ist, wird die Varianz mit folgender Formel berechnet:
{{NumBlk|:|<math>{s^*}^2 = \frac1n \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2</math>|3}}
Formel (3) und (1) unterscheiden sich darin, dass bei Formel (3) die Berechnung des arithmetischen Mittels entfällt, weil der Mittelwert der Grundgesamtheit bekannt ist. Auch diese Formel ist erwartungstreu im Sinne der mathematischen Statistik.

Die Verwendung und Abgrenzung der Bezeichnungen „Stichprobenvarianz“ und „empirische Varianz“ ist in der Literatur nicht einheitlich: Einige Autoren<ref name=":13">Fahrmeir 2016, S. 65</ref> bezeichnen Formel (1) als Stichprobenvarianz und Formel (2) als empirische Varianz.

=== Stichprobe beinhaltet alle Werte der Grundgesamtheit ===
Für den Sonderfall, dass die Stichprobe alle <math>N</math> Werte der Grundgesamtheit beinhaltet (<math>N=n</math>), nennt man sie auch [[Vollerhebung]]. Der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit <math>\mu</math> fällt mit dem arithmetischen Mittel <math>\overline{x}</math> zusammen (<math>\mu=\overline{x}</math>) und berechnet sich aus allen Elementen der Grundgesamtheit als
{{NumBlk|:|<math>\mu = \frac1N \sum_{i=1}^N x_i = \frac1n \sum_{i=1}^n x_i = \overline{x}</math>|4}}
Als Konsequenz fallen auch <math>{\tilde{s}}^2</math> und <math>{s^*}^2</math> zusammen. Die ''Varianz der Grundgesamtheit'' (auch ''Populationsvarianz'' genannt) ist dann gleich der Stichprobenvarianz und wird berechnet durch
{{NumBlk|:|<math>\sigma^2 = \frac1N \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2</math>|5}}

== Varianz in der mathematischen Statistik ==
{{Hauptartikel|Varianz (Stochastik)}}
Die Varianz ist mathematisch allgemein folgendermaßen definiert:

Sei <math>(\Omega,\Sigma,P)</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math>X\colon \Omega \to A</math> eine [[Zufallsvariable]] auf eine Menge <math>A</math>, mit der [[Ergebnisraum|Ergebnismenge]] <math>\Omega</math>, dem [[Ereignissystem]] <math>\Sigma</math> und dem [[Wahrscheinlichkeitsmaß]] <math>P</math>. Mit <math>\mu:=\mathbb{E}[X]</math> bezeichnen wir den [[Erwartungswert]] der Zufallsvariable, sofern dieser existiert. Die Varianz ist dann definiert als erwartete [[mittlere quadratische Abweichung]] der Zufallsvariable von ihrem Erwartungswert:
{{NumBlk|:|<math>\operatorname{Var}(X) := \mathbb{E}\left((X-\mu)^2\right)=\int_\Omega (X-\mu)^2 \,\mathrm{d}P</math>|6|LnSty=}}

=== Berechnung basierend auf der Wahrscheinlichkeitsverteilung ===
Nicht jede [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] besitzt einen Erwartungswert und eine Varianz (z. B. [[Cauchy-Verteilung]]). Und damit ist nicht für jede Zufallsvariable die Varianz definiert.

Es wird unterschieden zwischen stetigen und diskreten Zufallsvariablen:

==== Stetige Zufallsvariablen ====
Falls die [[Stetige Funktion|stetige]] Zufallsvariable <math>X</math> auf einer Menge <math>A</math> eine [[Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] <math>f_X</math> besitzt, dann lässt sich der Erwartungswert und die Varianz wie folgt berechnen:<ref name=":02">Bronstein 2020: ''Kapitel 16.2.2.3 Erwartungswert und Streuung,'' S. 827, Formel 16.52.</ref>
{{NumBlk|:|<math>\mu = \int_{A} x f_X(x) \, \mathrm{d}x</math>|7|LnSty=}}{{NumBlk|:|<math>\operatorname{Var}(X) = \int_{A} (x-\mu)^2 f_X(x) \, \mathrm{d}x\quad</math>|8|LnSty=}}

==== Diskrete Zufallsvariablen ====
Sei <math>X</math> eine diskrete Zufallsvariable auf einer Menge <math>A</math> mit [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]] <math>p_X</math>. Dann lässt sich der Erwartungswert und die Varianz wie folgt berechnen:
{{NumBlk|:|<math>\mu = \sum\limits_{x_k\in A} x_k p_X(x_k)</math>|9|LnSty=}}{{NumBlk|:|<math>\operatorname{Var}(X) = \sum\limits_{x_k\in A} (x_k - \mu)^2 p_X(x_k)</math>|10|LnSty=}}

=== Berechnung basierend auf Stichprobenvariablen ===
{{Hauptartikel|Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)}}
Für diesen Fall werden in Formel (1)–(3) die Stichprobenwerte <math>x_1,\ldots, x_n</math> durch die [[Stichprobenvariable]]n <math>X_1,\ldots, X_n</math> ersetzt. Die Stichprobenvariablen sind keine reellen Werte, sondern sie sind [[Zufallsvariable]]n: Jede Zufallsvariable <math>X</math> beschreibt die [[Wahrscheinlichkeit]], mit der mögliche Beobachtungswerte <math>x</math> auftreten.

Dies führt zur mathematisch allgemeineren Darstellung der Varianz als Funktion (genauer [[Stichprobenfunktion]]) von verschiedenen Zufallsvariablen. Auch hier unterscheidet man die korrigierte Stichprobenvarianz
{{NumBlk|:|<math>S^2 = \frac1{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i-\overline X )^2 </math>|11|LnSty=}}
und die unkorrigierten Stichprobenvarianzen
{{NumBlk|:|<math>\tilde{S}^2 = \frac1n \sum_{i=1}^n (X_i-\overline X )^2 </math>|12|LnSty=}}{{NumBlk|:|<math>{S^*}^2 = \frac1n \sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2 </math>|13|LnSty=}}
Die Formeln (1)–(3) sind mathematisch gesehen ein Spezialfall der Formeln (11)–(13). Z. B. ist die empirische Varianz in der beschreibenden Statistik <math> s^2</math> der zur abstrakten Schätz''funktion'' <math> S^2</math> zugehörige Schätz''wert''.

In den Verfahren der mathematischen Statistik ([[Statistischer Test|Statistische Tests]], [[Konfidenzintervall]]e etc.) fließt oft der Mittelwert <math>\mu</math> oder die Varianz der Grundgesamtheit <math>\sigma^2</math> ein. In der Praxis sind Mittelwert und Varianz der Grundgesamtheit jedoch unbekannt, so dass sie geschätzt werden müssen. Die Formeln (11)–(13) dienen in der mathematischen Statistik also als [[Schätzfunktion]], um die unbekannte Varianz <math>\sigma^2 = \operatorname{Var}(X)</math> einer Zufallsvariable <math>X</math> mit unbekannter Verteilung zu schätzen.

== Literatur ==
* Beyer 1988 – {{Literatur |Autor=Otfried Beyer, Horst Hackel, Volkmar Pieper, Jürgen Tiedge |Titel=Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik |Hrsg= |Auflage=5 |Verlag=B. G. Teubner |Ort=Leipzig |Datum=1988 |ISBN=3-322-00469-4}}
* Bronstein 2020 – {{Literatur |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Autor=I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, G. Musiol, H. Mühlig |Hrsg= |Auflage=11 |Verlag=Verlag Europa-Lehrmittel Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1}}
* Duden 2020 – {{Literatur |Titel=Duden: Rechnen und Mathematik |Autor=Harald Scheid |Hrsg= |Auflage=6 |Verlag=Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus AG |Ort=Mannheim |Datum=2020 |ISBN=978-3411053469}}
* Fahrmeir 2016 – {{Literatur |Autor=[[Ludwig Fahrmeir]], Rita Künstler, Iris Pigeot, Gerhard Tutz |Titel=Statistik. Der Weg zur Datenanalyse. |Hrsg= |Auflage=8 |Verlag=Springer Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2016 |ISBN=978-3-662-50371-3}}
* Hartung 2005 – {{Literatur |Titel=Statistik. Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik |Autor=Joachim Hartung, Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener |Hrsg= |Auflage=14 |Verlag=R. Oldenbourg Verlag |Ort=München / Wien |Datum=2005 |ISBN=3-486-57890-1}}
* [https://www.uni-muenster.de/Stochastik/Arbeitsgruppen/Kabluchko/ Kabluchko] 2017 – {{Literatur |Titel=Mathematische Statistik - Skript zur Vorlesung |Autor=Zakhar Kabluchko |Ort=Münster |Datum=2017 |ISBN=|Online=https://www.uni-muenster.de/Stochastik/kabluchko/Skripte/Skript_Math_Statistik_Version_22_02_2017.pdf|Abruf=2022-02-01}}

== Einzelnachweise ==
<references responsive />

[[Kategorie:Statistischer Grundbegriff]]

Varianz - Versionsgeschichte

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