imported>Boehm: typog

2025-07-28T05:53:20Z

typog

Neue Seite

Unter einer '''Vandermonde-Matrix''' (nach [[Alexandre-Théophile Vandermonde|A.-T. Vandermonde]]) versteht man in der [[Mathematik]] eine [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], die eine im Folgenden beschriebene spezielle Form hat.

Für ein <math>n</math>-[[Tupel]] <math> (x_1, x_2, \ldots , x_n) </math> reeller Zahlen oder allgemeiner von Elementen in einem [[Körper (Algebra)|Körper]] ist die Vandermonde-Matrix definiert durch:

:<math>
V (x_1, x_2, \ldots , x_n) =
\begin{pmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\
1 & x_3 & x_3^2 & \cdots & x_3^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}
\end{pmatrix}
</math>

Die [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] wird auch ''Vandermonde-Determinante'' genannt, sie hat den Wert
: <math> \det V(x_1,x_2, \ldots, x_n) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) </math>.<ref>{{BibISBN|9783834817242|Seite=113–116}}</ref>

Insbesondere ist die Vandermonde-Matrix genau dann [[Reguläre Matrix|regulär]], wenn die <math> x_i </math> [[paarweise verschieden]] sind.

== Anwendung: Polynominterpolation ==

Die Vandermonde-Matrix spielt bei der [[Interpolation (Mathematik)|Interpolation]] von [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] eine wichtige Rolle: Wenn an den Stützstellen <math> (x_1, x_2, \ldots , x_n) </math> die Funktionswerte <math>(f_1, f_2, \ldots, f_n) </math> durch ein [[Polynom]] <math>p</math> vom Grad <math> n - 1 </math> (oder kleiner) interpoliert werden sollen, dann führt der Ansatz

:<math>p(x) = a_0 + a_1x^1 + a_2x^2 + \cdots + a_{n-1} x^{n-1}</math>

auf das [[Lineares Gleichungssystem|lineare Gleichungssystem]]

: <math>
\begin{pmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\
1 & x_3 & x_3^2 & \cdots & x_3^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} a_0 \\ \vdots \\ a_k \\ \vdots \\ a_{n-1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} f_1 \\ \vdots \\ f_i \\ \vdots \\ f_n
\end{pmatrix}
</math>

mit einer Vandermonde-Matrix als Koeffizientenmatrix.
Aus der oben genannten Eigenschaft der Vandermonde-Determinante folgt daher insbesondere, dass das Interpolationsproblem genau dann eindeutig lösbar ist, wenn alle Stützstellen paarweise verschieden sind.

In der Standard[[Basis (Vektorraum)|basis]] der Polynome ist die Matrix allerdings sehr schlecht [[Kondition (Mathematik)|konditioniert]] und die Auflösung mit Standardmethoden mit einer Laufzeit in <math>O(n^3)</math> recht teuer, weswegen man andere Darstellungen für die Polynome wählt. Näheres bei [[Polynominterpolation]] und unten.

== Weitere Eigenschaften ==

Für paarweise verschiedene Stützstellen diagonalisiert die Vandermonde-Matrix <math>V</math> aus dem obigen Gleichungssystem die [[Begleitmatrix]] <math>C</math> des Polynoms
:<math>p(x) = \prod_{i=1}^n(x-x_i) = b_0+b_1x+\ldots+b_{n-1}x^{n-1}+x^n</math>,
es gilt:
:<math> V C V^{-1} = \operatorname{diag} (x_1, x_2, \dots, x_n)</math>.

Für große Anzahlen <math>n</math> kann man das Gleichungssystem oben auch über den folgenden Zusammenhang lösen, durch den die [[Inverse Matrix|Inverse]] der Vandermonde-Matrix eng mit ihrer [[Transponierte Matrix|Transponierten]] verbunden ist.
Mit den eingeführten Polynomkoeffizienten bildet man die [[Hankel-Matrix]]
:<math>H:=\begin{pmatrix}
b_1 & b_2 & \cdots & b_{n-1} & 1 \\
b_2 & b_3 & \cdots & 1 & 0 \\
\vdots & & .\cdot \\
b_{n-1} & 1 & & 0 \\
1 & 0 & & & 0
\end{pmatrix}</math>
und die Diagonalmatrix <math>D:= \operatorname{diag}(p'(x_i))</math>.
Wenn alle Stützstellen paarweise verschieden sind, ist <math>D</math> regulär.
Damit gilt
:<math> VHV^T=D,\quad V^{-1}=HV^TD^{-1}.</math>

== Literatur ==
* Uwe Luther, Karla Rost: [https://etna.math.kent.edu/vol.18.2004/pp91-100.dir/pp91-100.pdf ''Matrix exponentials and inversion of confluent Vandermonde matrices.''] In: ''Electronic Transactions on Numerical Analysis.'' Bd. 18, 2004, {{ISSN|1068-9613}}, S. 91–100.
* [[Martin Hermann (Mathematiker)|Martin Hermann]]: ''Numerische Mathematik, Band 2: Analytische Probleme''. 4., überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston 2020. ISBN 978-3-11-065765-4.

== Einzelnachweise ==
<references/>

== Weblinks ==
{{MathWorld
| id =VandermondeMatrix
| title = Vandermonde Matrix
| author = Weisstein, Eric W.
}}
[[Kategorie:Matrix]]

Vandermonde-Matrix - Versionsgeschichte

imported>Boehm: typog