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2025-10-05T11:16:08Z

Beispiele

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[[Datei:Linear functions 01.svg|miniatur|Ursprungsgeraden in der euklidischen Ebene]]
Eine '''Ursprungsgerade''' ist in der [[Mathematik]] eine [[Gerade (Geometrie)|Gerade]], die durch den [[Ursprung]] eines [[Koordinatensystem|Koordinatensystems]] verläuft. Daher werden Ursprungsgeraden durch besonders einfache [[Geradengleichung]]en beschrieben. Die [[Ortsvektor]]en der Punkte einer Ursprungsgerade bilden einen eindimensionalen [[Untervektorraum]] des [[Euklidischer Raum|euklidischen Raums]].

== Ursprungsgeraden in der Ebene ==

=== Koordinatengleichungen ===

Legt man für die [[Euklidischer Raum|euklidischen Ebene]] ein [[kartesisches Koordinatensystem]] zugrunde, so besteht eine Ursprungsgerade aus denjenigen [[Punkt (Geometrie)|Punkten]], deren Koordinaten <math>x,y</math> die Gleichung

:<math>ax + by = 0</math>

erfüllen; dabei sind <math>a</math> und <math>b</math> Parameter, die nicht beide gleich null sein dürfen. Für <math>b \neq 0</math> lässt sich diese [[allgemeine Koordinatenform]] nach <math>y</math> auflösen, wodurch man die einfachere Normalform

:<math>y = m x</math>

mit der [[Steigung]] <math>m = -a/b</math> erhält.

==== Beispiele ====
Wichtige Beispiele für Ursprungsgeraden sind die beiden [[Koordinatenachse]]n (<math>x</math>-Achse und <math>y</math>-Achse) mit den Geradengleichungen

:<math>y = 0</math>   und   <math>x = 0</math>.

Weitere wichtige Beispiele für Ursprungsgeraden sind die [[Winkelhalbierende]]n des I. und III. sowie des II. und IV. [[Quadrant (Mathematik)|Quadranten]] mit den Geradengleichungen

:<math>x - y = 0</math>   und   <math>x + y = 0</math>.

=== Vektorgleichungen ===

Ursprungsgeraden können auch durch [[Vektor]]gleichungen beschrieben werden. In [[Parameterform]] besteht eine Ursprungsgerade dann aus denjenigen Punkten der Ebene, deren Ortsvektoren <math>\vec x</math> die Gleichung

:<math>\vec x = s \vec u</math>

für <math>s \in \R</math> erfüllen. Die Ortsvektoren der Punkte einer Ursprungsgerade sind also skalare [[Vielfaches|Vielfache]] des [[Richtungsvektor]]s <math>\vec u</math>. Alternativ kann eine Ursprungsgerade auch in [[Normalenform]] über die Normalengleichung

:<math>\vec n \cdot \vec x = 0</math>

angegeben werden. Hierbei stellt <math>\vec n</math> einen [[Normalenvektor]] der Gerade und <math>\vec n \cdot \vec x</math> das [[Skalarprodukt]] der beiden Vektoren <math>\vec n</math> und <math>\vec x</math> dar. Eine Ursprungsgerade besteht dann aus denjenigen Punkten der Ebene, deren Ortsvektoren [[Orthogonalität|senkrecht]] auf dem gegebenen Normalenvektor stehen.

==== Beispiele ====
Als Richtungsvektoren für die <math>x</math>-Achse und <math>y</math>-Achse bieten sich die [[Einheitsvektor|kanonischen Einheitsvektoren]] <math>\vec e_1 = (1,0)^T</math>und <math>\vec e_2 = (0,1)^T</math>an. Damit erhält man die entsprechenden Geradengleichungen in Parameterform als

:<math>\vec x = s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math>   und   <math>\vec x = s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>.
Die Winkelhalbierende des I. und III. sowie des II. und IV. Quadranten lassen sich lassen sich beschreiben mithilfe der Parametergleichungen

:<math>\vec x = s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}</math>   und   <math>\vec x = s \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}</math>.

== Ursprungsgeraden im Raum ==
[[Datei:Line_equation_qtl11.svg|miniatur|Eine Ursprungsgerade im dreidimensionalen Raum]]

=== Definition ===

Durch Vektorgleichungen können auch Ursprungsgeraden in höherdimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Räumen]] beschrieben werden. In Parameterform besteht eine Ursprungsgerade mit Richtungsvektor <math>\vec u \in \R^n</math> dann aus denjenigen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren <math>\vec x \in \R^n</math> die Gleichung

:<math>\vec x = s \vec u</math>

für <math>s \in \R</math> erfüllen. Eine Ursprungsgerade besteht damit wie im zweidimensionalen Fall aus allen Punkten im Raum, deren Ortsvektoren ein skalares Vielfaches des Richtungsvektors der Gerade sind. Durch eine Normalengleichung wird allerdings in drei- und höherdimensionalen Räumen keine Gerade mehr, sondern eine [[Hyperebene]] beschrieben.

=== Beispiele ===

Im dreidimensionalen Raum können die drei Koordinatenachsen mithilfe der Standard-Einheitsvektoren <math>\vec e_1 = (1, 0, 0)</math>, <math>\vec e_2 = (0, 1, 0)</math> und <math>\vec e_3 = (0, 0, 1)</math> beschrieben werden:

:<math>\vec x = s \vec e_1, \vec x = s \vec e_2</math>   und   <math>\vec x = s \vec e_3</math>.

=== Abstand eines Punkts ===

Der [[Abstand]] eines Punkts mit Ortsvektor <math>\vec v</math> von einer Ursprungsgerade mit Richtungsvektor <math>\vec u</math> beträgt <math>| \vec v - \vec p |</math>, wobei

:<math>\vec p = \frac{\vec v \cdot \vec u}{\vec u \cdot \vec u} \, \vec u</math>

der Ortsvektor des [[Lotfußpunkt]]s, das heißt die [[Orthogonalprojektion]] des Vektors <math>\vec v</math> auf die Gerade, ist.

=== Vektorraumstruktur ===

Die Vektoren in einem euklidischen Raum bilden einen [[Vektorraum]], den sogenannten [[Koordinatenraum]]. Die Menge der Ortsvektoren der Punkte einer Ursprungsgerade bildet dabei einen [[Untervektorraum]] des euklidischen Raums

:<math>U = \{ \vec x \in \R^n \mid \vec x = s \vec u ~ \text{für} ~ s \in \R \}</math>.

Dieser Untervektorraum ist gerade die [[lineare Hülle]] des Richtungsvektors <math>\vec u</math> der Gerade. Die Ursprungsgeraden sind dabei die einzigen [[Dimension (Mathematik)|eindimensionalen]] Untervektorräume des euklidischen Raums.

=== Ursprungsgeraden als Schnitt von Ursprungsebenen ===
[[Datei:Linear subspaces with shading.svg|miniatur|Eine Ursprungsgerade als Schnitt zweier Ursprungsebenen]]

Die zweidimensionalen Untervektorräume des dreidimensionalen euklidischen Raums sind gerade die [[Ursprungsebene]]n. Der [[Schnittmenge|Schnitt]] zweier verschiedener Ursprungsebenen ergibt stets eine Ursprungsgerade, wobei der Richtungsvektor dieser [[Schnittgerade]] durch das [[Kreuzprodukt]]

:<math>\vec u = \vec n_1 \times \vec n_2</math>

der Normalenvektoren <math>\vec n_1</math> und <math>\vec n_2</math> der beiden Ursprungsebenen gegeben ist. Allgemein sind die <math>(n-1)</math>-dimensionalen Untervektorräume im <math>n</math>-dimensionalen euklidischen Raum Ursprungs-Hyperebenen und der Schnitt von <math>n-1</math> solchen Hyperebenen mit [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängigen]] Normalenvektoren <math>\vec n_1, \ldots , \vec n_{n-1}</math> ergibt stets eine Ursprungsgerade, deren Richtungsvektor durch das [[Kreuzprodukt#Kreuzprodukt im n-dimensionalen Raum|verallgemeinerte Kreuzprodukt]]

:<math>\vec u = \vec n_1 \times \cdots \times \vec n_{n-1}</math>

gegeben ist.

== Siehe auch ==

* [[Proportionalität]]
* [[Projektiver Raum]]

== Literatur ==

* {{Literatur|Autor=Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson|Titel=Angewandte Mathematik: Body and Soul 1|Verlag=Springer|Jahr=2006|ISBN=3-540-35006-3}}
* {{Literatur|Autor=Mike Scherfner, Torsten Volland|Titel=Mathematik für das erste Semester|Verlag=Springer|Jahr=2012|ISBN=3-827-42505-0}}

[[Kategorie:Skalarproduktraum]]
[[Kategorie:Analytische Geometrie]]

Ursprungsgerade - Versionsgeschichte

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