imported>Mathze: /* Definition */

2025-04-29T11:36:20Z

Definition

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[[Datei:Linear subspaces with shading.svg|mini|Drei Ursprungsebenen (grün, gelb und grau) und eine Ursprungsgerade (blau)]]

Eine '''Ursprungsebene''' ist in der [[Mathematik]] eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], die den [[Koordinatenursprung]] enthält. Wichtige Ursprungsebenen sind die drei [[Koordinatenebene]]n in einem [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]]. Ursprungsebenen weisen besonders kompakte Darstellungen als [[Ebenengleichung]] auf und zeichnen sich durch vergleichsweise einfache Formeln zur [[Schnittmenge|Schnitt-]] und [[Abstand]]sberechnung aus. Die Menge der [[Vektor]]en, die in einer Ursprungsebene liegen, bildet einen zweidimensionalen [[Untervektorraum]] des dreidimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raums]].
== Definition ==

In der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] wird eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] als [[Teilmenge]] der [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] des [[3D|dreidimensionalen Raums]] aufgefasst, wobei jeder Punkt durch seine Koordinaten <math>(x,y,z)</math> dargestellt wird. Eine Ursprungsebene ist nun dadurch ausgezeichnet, dass sie durch den [[Koordinatenursprung]] <math>(0,0,0)</math> des gewählten [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystems]] verläuft. In [[Allgemeine Koordinatenform#Allgemeine Koordinatenform einer Ebenengleichung|allgemeiner Koordinatenform]] wird eine Ursprungsebene dann durch die [[Ebenengleichung]]

:<math>a x + b y + c z = 0</math>

beschrieben, wobei <math>a,b</math> und <math>c</math> reelle Parameter sind, die nicht alle gleich null sein dürfen.

== Vektordarstellung ==

Ursprungsebenen können auch durch Vektorgleichungen dargestellt werden, wobei jeder Punkt der Ebene durch seinen [[Ortsvektor]] <math>\vec x \in \R^3</math> dargestellt wird. In [[Parameterform]] wird eine Ursprungsebene dann durch die Gleichung

:<math>\vec x = s \vec u + t \vec v</math>   mit   <math>s,t \in \R</math>

beschrieben, wobei <math>\vec u</math> und <math>\vec v</math> zwei [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängige]] Vektoren der Ebene sind. Eine Ursprungsebene besteht damit aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren als [[Linearkombination]] zweier gegebener Vektoren geschrieben werden können. In [[Normalenform]] wird eine Ursprungsebene durch die Normalengleichung

:<math>\vec n \cdot \vec x = 0</math>

charakterisiert, wobei <math>\vec n</math> ein [[Normalenvektor]] der Ebene ist und <math>\vec n \cdot \vec x</math> das [[Skalarprodukt]] der beiden Vektoren <math>\vec n</math> und <math>\vec x</math> darstellt. Eine Ursprungsebene besteht damit aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren [[Orthogonalität|senkrecht]] auf einem gegebenen Vektor stehen.<ref>{{Literatur|Autor=Eriksson, Estep, Johnson|Titel=Angewandte Mathematik: Body and Soul 1|Verlag=Springer|Jahr=2006|Seiten=351}}</ref> Ist eine Ursprungsebene in Parameterform gegeben, so kann ein Normalenvektor der Ebene durch das [[Kreuzprodukt]] <math>\vec n = \vec u \times \vec v</math> berechnet werden.

== Beispiele ==
[[Datei:Koordinatenebenen.png|mini|Die drei Koordinatenebenen]]

Wichtige Beispiele für Ursprungsebenen sind die drei [[Koordinatenebene]]n

:<math>E_{12} \colon ~ z = 0</math>   bzw.   <math>\vec x = s \vec e_1 + t \vec e_2</math>    bzw.    <math>\vec e_3 \cdot \vec x = 0</math>
:<math>E_{13} \colon ~ y = 0</math>   bzw.   <math>\vec x = s \vec e_1 + t \vec e_3</math>    bzw.    <math>\vec e_2 \cdot \vec x = 0</math>
:<math>E_{23} \colon ~ x = 0</math>   bzw.   <math>\vec x = s \vec e_2 + t \vec e_3</math>    bzw.    <math>\vec e_1 \cdot \vec x = 0</math>

Hierbei sind <math>\vec e_1 = (1, 0, 0)</math>, <math>\vec e_2 = (0, 1, 0)</math> und <math>\vec e_3 = (0, 0, 1)</math> die drei [[Einheitsvektor]]en.

== Eigenschaften ==

=== Schnitt ===

Der [[Schnittmenge|Schnitt]] zweier verschiedener Ursprungsebenen ergibt immer eine [[Ursprungsgerade]], das heißt eine Gerade mit der [[Geradengleichung]]

:<math>\vec x = a \vec u</math>   mit   <math>a \in \R</math>,

wobei <math>\vec u</math> ein Richtungsvektor der [[Gerade]] ist. Besitzen die beiden Ursprungsebenen die Normalenvektoren <math>\vec n_1</math> und <math>\vec n_2</math>, dann ergibt sich ein Richtungsvektor der Schnittgerade als das Kreuzprodukt

:<math>\vec u = \vec n_1 \times \vec n_2</math>

der beiden Normalenvektoren. Der Schnitt dreier Ursprungsebenen ergibt genau dann den [[Koordinatenursprung]], wenn ihre Normalenvektoren [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängig]] sind. Dabei sind drei Vektoren im Raum genau dann linear unabhängig, wenn sie nicht in der gleichen Ursprungsebene liegen.<ref>{{Literatur|Autor=Scherfner, Volland|Titel=Mathematik für das erste Semester|Verlag=Springer|Jahr=2012|Seiten=247}}</ref>

=== Abstand eines Punkts ===

Der [[Abstand]] eines Punkts mit Ortsvektor <math>\vec v</math> von einer Ursprungsebene <math>U</math> mit Normalenvektor <math>\vec n</math> beträgt

:<math>d(\vec v, U) = \frac{| \vec v \cdot \vec n |}{\| \vec n \|}</math>,

wobei <math>\| \vec n \|</math> die Länge ([[euklidische Norm]]) von <math>\vec n</math> ist. Dieser Abstand entspricht gerade der Länge der [[Lot (Mathematik)|Lotstrecke]] zwischen dem Punkt und der Ebene. Der Ortsvektor des Lotfußpunkts <math>\vec p</math> ist dann die [[Orthogonalprojektion]] von <math>\vec v</math> auf die Ursprungsebene und somit durch

:<math>\vec p = \vec v - \frac{\vec v \cdot \vec n}{\vec n \cdot \vec n} \, \vec n</math>

gegeben.

=== Spiegelung eines Punkts ===

Man erhält die [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] eines Punkts mit Ortsvektor <math>\vec v</math> an einer Ursprungsebene, indem man den Lotvektor <math>\vec p - \vec v</math> von dem Punkt auf die Ebene verdoppelt. Der bezüglich einer Ursprungsebene gespiegelte Vektor <math>\vec w</math> eines Vektors <math>\vec v</math> ist damit durch

:<math>\vec w = \vec v + 2 (\vec p - \vec v) = \vec v - 2 \frac{\vec v \cdot \vec n}{\vec n \cdot \vec n} \, \vec n</math>

gegeben, wobei <math>\vec n</math> wieder ein Normalenvektor der Ebene ist.

=== Vektorraumstruktur ===

Die Menge der Vektoren des dreidimensionalen Raums bildet einen [[Vektorraum]], den [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]. Die Menge der Vektoren, die in einer Ursprungsebene liegen, bildet dabei einen [[Untervektorraum]] des euklidischen Raums

:<math>U = \{ \vec x \in \R^3 \mid \vec x = s \vec u + t \vec v ~ \text{für} ~ s,t \in \R \} = \{ \vec x \in \R^3 \mid \vec n \cdot \vec x = 0 \}</math>.

Dieser Untervektorraum ist gerade die [[lineare Hülle]] der beiden die Ursprungsebene aufspannenden Vektoren <math>\vec u</math> und <math>\vec v</math>, beziehungsweise der [[Orthogonales Komplement|Orthogonalraum]] der linearen Hülle eines Normalenvektors <math>\vec n</math> der Ebene. Die Ursprungsebenen sind dabei die einzigen [[Dimension (Mathematik)|zweidimensionalen]] Untervektorräume des euklidischen Raums.<ref>{{Literatur|Autor=Eriksson, Estep, Johnson|Titel=Angewandte Mathematik: Body and Soul 1|Verlag=Springer|Jahr=2006|Seiten=357}}</ref>

Zu jeder Ebene <math>E</math>, die nicht den Ursprung enthält, existiert genau eine [[Parallelität (Geometrie)|parallele]] Ursprungsebene <math>U</math>. Jede Ebene <math>E</math> kann damit als [[affiner Unterraum]] des euklidischen Raums der Form

:<math>E = \vec z + U = \{ \vec z + \vec x \mid \vec x \in U \}</math>

dargestellt werden, wobei <math>\vec z</math> der Ortsvektor eines Punkts von <math>E</math> ist.

== Verallgemeinerungen ==

Allgemeiner können Ebenen auch in höherdimensionalen Räumen betrachtet werden. Eine Ursprungsebene ist dann ein zweidimensionaler Untervektorraum des <math>\R^n</math>. In Parameterform ist eine solche Ursprungsebene wie in drei Dimensionen durch

:<math>\vec x = s \vec u + t \vec v</math>   mit   <math>s,t \in \R</math>

gegeben, wobei <math>\vec u, \vec v \in \R^n</math> zwei linear unabhängige Vektoren sind. Die entsprechende Normalenform

:<math>\vec n \cdot \vec x = 0</math>

mit <math>\vec n \in \R^n</math> definiert allerdings für <math>n > 3</math> keine Ebene mehr, sondern eine [[Hyperebene]] der Dimension <math>n-1</math>, die den Ursprung enthält.

== Siehe auch ==
* [[Affine Ebene]]
* [[Projektive Ebene]]

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson|Titel=Angewandte Mathematik: Body and Soul 1|Verlag=Springer|Jahr=2006|ISBN=3-540-35006-3}}
* {{Literatur|Autor=Mike Scherfner, Torsten Volland|Titel=Mathematik für das erste Semester|Verlag=Springer|Jahr=2012|ISBN=3-8274-2505-0}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Skalarproduktraum]]
[[Kategorie:Analytische Geometrie]]

Ursprungsebene - Versionsgeschichte

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