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2018-01-21T22:14:21Z

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Im mathematischen Teilgebiet der [[Algebra]] ist ein '''unzerlegbarer Modul''' ein [[Modul (Mathematik)|Modul]], der sich nicht in eine [[direkte Summe]] zerlegen lässt. Man kann zeigen, dass jeder Modul, der bestimmte Voraussetzungen erfüllt, eine direkte Summe von unzerlegbaren Moduln ist (siehe: [[Satz von Krull-Remak-Schmidt]]). Jedoch gibt es auch Ringe und Moduln, für die das nicht der Fall ist.

== Definition ==
Ein <math>R</math>-Modul <math>M \ne 0</math> über einem [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>R</math> heißt unzerlegbar, wenn sich <math>M</math> nicht als [[direkte Summe]] zweier von Null verschiedener <math>R</math>-Moduln <math>M_1</math> und <math>M_2</math> schreiben lässt.<ref>{{Literatur | Autor = Jens Averdunk | Titel = Moduln mit Ergänzungseigenschaft / Jens Averdunk | Jahr = 1997 | Verlag = Utz, Wiss. | Ort = München | ISBN = 3-89675-184-0 | Seiten = 15 }}</ref>

Diese Definition überträgt sich sinngemäß auf beliebige [[abelsche Kategorie]]n.

== Beispiele ==

* Ein <math>K</math>-Vektorraum über einem Körper <math>K</math> ist genau dann unzerlegbar, wenn er eindimensional ist.
* Jeder [[Einfacher Modul|einfache <math>R</math>-Modul]] ist unzerlegbar, aber nicht umgekehrt.
* Ein Modul endlicher [[Länge (Algebra)|Länge]] ist genau dann unzerlegbar, wenn sein [[Endomorphismus|Endomorphismenring]] [[Lokaler Ring|lokal]] ist.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Modul (Mathematik)]]

Unzerlegbarer Modul - Versionsgeschichte

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