imported>FerdiBf: Nicht jede mathematische Struktur wird als Raum bezeichnet.

2023-04-16T13:37:30Z

Nicht jede mathematische Struktur wird als Raum bezeichnet.

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Manche [[Mathematische Struktur|mathematische Strukturen]], das heißt Mengen <math>X</math> mit gewissen Zusatzstrukturen, werden als [[Raum (Mathematik)|Räume]] bezeichnet, zum Beispiel [[Vektorraum|Vektorräume]] oder [[Topologischer Raum|topologische Räume]].
Eine Unterstruktur, das heißt eine Teilmenge <math>U \subseteq X</math>, die bezüglich der Struktur im weitesten Sinne abgeschlossen ist, bezeichnet man daher als '''Unterraum''' oder '''Teilraum'''.
Die genaue Definition hängt von der Struktur ab.

== Beispiele ==

=== Untervektorraum ===
{{Hauptartikel|Untervektorraum}}

Sei <math>V</math> ein [[Vektorraum]] über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math>. Eine Teilmenge <math>U</math> von <math>V</math> heißt Untervektorraum von <math>V</math>, wenn sie mit den von <math>V</math> induzierten Verknüpfungen selbst ein Vektorraum ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn
*<math> U \neq \emptyset</math>
* für alle <math>u,v \in U</math> auch <math>u+v \in U</math> (Abgeschlossenheit bezüglich der Addition) und
* für alle <math>\alpha \in K</math> und alle <math>u \in U</math> auch <math>\alpha \cdot u \in U</math> (Abgeschlossenheit bezüglich der [[Skalarmultiplikation]])

gilt.

=== Topologischer Raum ===
<math>(X, \mathcal{O})</math> sei ein [[topologischer Raum]] auf der Menge <math>X</math> mit der Familie der offenen Mengen <math>\mathcal{O}</math>. Jede Teilmenge <math>U \subseteq X</math> wird zu einem Unterraum, wenn darauf die Durchschnitte von <math>U</math> mit den in <math>X</math> offenen Mengen als offene Mengen des Unterraums definiert werden. <math>\left(U, \left\{O \cap U \,|\, O \in \mathcal{O} \right\}\right)</math> wird damit zu einem topologischen Raum, der die [[Teilraumtopologie|Unterraumtopologie]] trägt.

Dieser Unterraum erbt im Allgemeinen nicht alle Eigenschaften des größeren Raumes <math>(X, \mathcal{O})</math>, zum Beispiel kann die Trennungseigenschaft [[T4-Raum|T<sub>4</sub>]] verloren gehen.

=== Metrischer Raum ===
<math>\left(X,d\right)</math> sei ein [[metrischer Raum]]. Jede Teilmenge <math>U \subseteq X</math> wird zu einem Unterraum <math>(U,d|_{U\times U})</math> durch Einschränken der Metrik von <math> X \times X </math> auf <math>U \times U</math>.

Falls <math>\left(X,d\right)</math> ein vollständiger metrischer Raum ist, so ist <math>(U,d|_{U \times U})</math> genau dann ein vollständiger metrischer Raum, wenn <math>U \subseteq X</math> abgeschlossen ist.

== Kategorielle Definition ==
Im Kontext einer [[Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] von Räumen definiert man einen Unterraum eines Raumes dadurch, dass ein bestimmter [[Monomorphismus]] in den Raum, in dem er enthalten sein soll, existiert. Je nach Situation fordert man etwa, dass der Monomorphismus [[extremer Monomorphismus|extrem]] sein muss. Dies macht in [[ausgeglichene Kategorie|nicht-ausgeglichenen Kategorien]] einen Unterschied, etwa in der Kategorie der topologischen Räume: Jede stetige Injektion ist dort ein Monomorphismus, dieser ist jedoch nicht unbedingt eine [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]] im Sinne der Topologie, da das Bild eines Monomorphismus auch gröber sein kann als der potentielle Unterraum. Ein extremer Monomorphismus ist dagegen gerade eine topologische Einbettung.

== Literatur ==
* Boto von Querenburg: ''Mengentheoretische Topologie.'' Springer-Verlag, ISBN 3-540-67790-9
* Gerd Fischer: ''Lineare Algebra'', Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0

[[Kategorie:Topologischer Raum]]
[[Kategorie:Metrischer Raum]]

Unterraum - Versionsgeschichte

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