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2025-10-06T12:43:07Z

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Der Begriff '''Untermodul''' verallgemeinert den Begriff des [[Untervektorraum]]es eines [[Vektorraum]]s auf einen [[Modul (Mathematik)|Modul über einem Ring]].

== Definition ==
Sei <math>M</math> ein [[Modul (Mathematik)|Rechtsmodul]] über dem [[Unitärer Ring#Ring mit Eins|unitären Ring]] <math>R</math>.
Eine Untergruppe <math>U</math> von <math>M</math> heißt ''<math>R</math>-Untermodul'', wenn <math>U</math> abgeschlossen ist bezüglich der Multiplikation mit Elementen aus <math>R</math>.
Das bedeutet: Für alle <math>u \in U</math> und alle <math>r \in R</math> ist <math>u \cdot r \in U</math>. Entsprechend wird der Begriff für Linksmoduln erklärt.

=== Beispiele und weitere Definitionen ===
* Jeder Modul <math>M</math> besitzt den trivialen Untermodul <math>\{0\}</math> und den Untermodul <math>M</math>.
* Ist <math>M</math> ein Rechtsmodul und <math>m \in M</math>, so ist <math>m \cdot R := \{m\cdot r \mid r\in R\}</math> ein Untermodul von <math>M</math>. Es ist der von <math>m</math> erzeugte zyklische Untermodul.
* Ist <math>I</math> ein [[Ideal (Ringtheorie)|Rechtsideal]] des Ringes <math>R</math>, so ist <math>I</math> ein <math>R</math>-Untermodul von <math>R</math> als Rechtsmodul.
* Sind <math>U, V</math> Untermoduln von <math>M</math>, so ist <math>U + V := \{u+v \mid u\in U, v\in V\}</math> ein Untermodul von <math>M</math>. Es ist der kleinste Untermodul von <math>M</math>, der <math>U</math> und <math>V</math> enthält.
* Ist <math>(U_i \mid i\in I)</math> eine Familie von Untermoduln, so ist <math>\bigcap U_i</math> ein Untermodul. Es ist der größte Untermodul, der in allen <math>U_i</math> enthalten ist.
* Die Vereinigung von Untermoduln ist im Allgemeinen kein Untermodul. So sind <math>2\Z, 3\Z</math> Untermoduln von <math>\Z</math>, aber <math>5 = 2 + 3 \notin 2\Z \cup 3\Z</math>.

== Summe von Untermoduln ==
* Ist <math> M_R </math> ein Rechtsmodul über dem Ring <math>R</math> und <math> (U_i)_{i \in I} </math> eine Familie von Untermoduln, so ist
::<math>\sum_{i\in I} U_{i} =\left\{\sum_{i\in I_e} u_{i}\mid I_{e} \text{ endlich},\ I_{e} \subset I\right\} </math>
:ein Untermodul. Es ist die Summe der Untermoduln <math> (U_{i})_{i \in I} </math>.
* Sei <math> X \subset M_R</math> eine Teilmenge von <math>M_R</math>. Dann ist
::<math> \bigcap \{V \mid V\text{ Untermodul von } M, X\subset V\}= \sum_{x\in X} xR </math>
: der kleinste Untermodul von <math> M_R </math>, welcher die Menge <math> X</math> enthält. Ist
::<math> U = \sum_{x\in X} xR, </math>
:so erzeugt <math>X </math> den Untermodul <math>U</math>. Man sagt auch <math>X </math> ist ein [[Erzeugendensystem]] von <math> U </math>.
* Wird der Untermodul <math> U\subset M_R</math> von einer [[Endliche Menge|endlichen Menge]] <math>X</math> erzeugt, so heißt <math>U</math> endlich erzeugt. Ist die Menge <math> X=\{x_{1},\dots,x_{n}\} </math>, so ist <math>\textstyle U= \sum_{i=1}^n x_{i}R </math>.
* Ein Modul <math> M_R</math> heißt [[Einfacher Modul|einfach]], wenn der einzige echte Untermodul <math> \{0\} </math> ist. Ein Untermodul <math> U</math> von <math>M_R</math> heißt maximal, wenn für alle Untermoduln <math>V</math> mit <math> U \subset V \subset M_R</math> gilt: <math> U=V</math> oder <math> V=M_R</math>. Ein Modul <math>0\neq M_R</math> ist genau dann einfach, wenn jeder zyklische Untermodul <math>0\neq U</math> schon gleich <math>M_R</math> ist. Ist <math> U \subsetneq M_R </math> ein echter Untermodul eines endlich erzeugten Moduls <math> M_R </math>, so ist <math> U </math> in einem maximalen Untermodul enthalten.<ref> Kasch: ''Moduln und Ringe'', 2.3.11 </ref>

== Innere direkte Summe von Untermoduln ==
Die innere direkte Summe von Moduln wird wie die [[Direkte Summe|innere direkten Summe]] von Vektorräumen definiert. Im Unterschied zu einem Vektorraum hat nicht jeder Modul eine Basis, sodass ein Modul normalerweise nicht die innere direkte Summe von zyklischen Untermoduln ist.

=== Definition ===
Sei <math>(U_i\mid i \in I) </math> eine Familie von Untermoduln des Rechtsmoduls <math> M </math> und <math>\textstyle V=\sum_{i \in I} U_{i}</math>. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

* Für alle <math> i \in I </math> ist: <math> \textstyle U_i\cap \sum_{j\neq i}U_j =\{0\} </math>.
* Für alle endlichen Teilmengen <math> I_{e} \subset I </math> gilt: Ist <math>\textstyle \sum_{i\in I_e} u_{i}=\sum_{i\in I_e} u'_{i} </math>, wobei <math> u_i\in U_i </math> für alle <math> i \in I_e </math>, so gilt <math>\textstyle u_{i}=u'_{i} </math> für alle <math> i \in I_{e}</math>. Jedes <math> v \in V </math> lässt sich daher auf genau eine Weise als Summe von Elementen aus den <math> \textstyle U_{i} </math> darstellen.

Trifft eine dieser Aussagen zu, so heißt <math> V </math> die innere direkte Summe der <math> U_{i} </math>. Diese direkte Summe wird mit
:<math>\textstyle \bigoplus_{i\in I} U_{i} </math>
bezeichnet. Der Untermodul <math> 0\neq U_{R} </math> von <math>M </math> heißt direkter Summand von <math> M </math>, wenn es einen Untermodul <math> V</math> von <math>M </math> gibt mit <math> U \oplus V = M </math>. Der Modul <math> M</math> heißt ''direkt unzerlegbar'' oder einfach ''unzerlegbar'', wenn er keinen direkten Summanden ungleich <math> \{0\} </math> hat.

=== Beispiele ===
# Ist <math>V</math> ein [[Vektorraum]] über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] oder [[Schiefkörper]] und <math> \{ x_{i} \mid i \in I \} </math> eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>V</math> und ist <math>V_i</math> für jedes <math>i \in I</math> der von <math>x_i</math> erzeugte Untervektorraum, so ist <math>\textstyle V=\bigoplus_{i\in I} V_{i} </math>.
# Jeder einfache Modul ist direkt unzerlegbar.
# Ist <math> R </math> ein [[Integritätsring]] und <math> K_{R} </math> sein [[Quotientenkörper]], so ist <math> K_{R} </math> als Modul über <math> R </math> unzerlegbar.
# <math> 2\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z} </math> ist kein direkter Summand, da es keinen injektiven Morphismus <math> \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} </math> gibt

== Besondere Untermoduln ==
=== Maximale Untermoduln ===
Ein Untermodul <math> U \subset M </math> heißt maximal, wenn <math> U</math> in keinem echten Untermodul von M echt enthalten ist.

<math> U \subset M </math> ist genau dann ein maximaler Untermodul, wenn der Faktormodul <math> M/U </math> [[Einfacher Modul|einfach]] ist. Jeder echte Untermodul eines endlich erzeugten Moduls ist in einem maximalen Untermodul.<ref>Kasch: ''Moduln und Ringe.'' S. 34.</ref> Das heißt, insbesondere hat jeder Ring maximale Ideale. Es gibt aber auch Moduln, die keine maximalen Untermoduln enthalten. So hat <math> \Q </math> keine maximalen Untermoduln.

=== Große Untermoduln ===
==== Definition ====
Für einen Untermodul <math> U</math> von <math>M </math> sind äquivalent:
* Für alle Untermoduln <math> V \subset M </math> mit <math> U\cap V = \{0\} </math> ist <math> V = \{0\} </math>.
* Zu jedem <math> 0 \neq x\in M </math> gibt es ein <math> r\in R </math> mit <math> 0\neq x\cdot r \in U </math>.

Erfüllt ein Untermodul <math> U \subset M </math> eine der äquivalenten Eigenschaften, dann heißt <math> U </math> ''groß '' in <math> M</math>. Manchmal wird dies mit <math> U \trianglelefteq M </math> abgekürzt.<ref>Frank W. Anderson, Kent R. Fuller: ''Rings and Categories of Modules'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 13). 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 1992, ISBN 3-540-97845-3, S. 72.</ref>

==== Beispiele ====
* In <math> \Q </math> als <math> \Z </math>-Modul ist jeder Untermodul <math> \neq \{0\} </math> groß.
* Das letzte Beispiel kann verallgemeinert werden. Ist <math> F </math> eine [[torsionsfrei]]e abelsche Gruppe, so ist eine Untergruppe <math> U \subset F </math> genau dann groß, wenn die [[Faktorgruppe]] <math> F/U </math> ein Torsionsmodul ist.
* Ist <math> p </math> eine Primzahl und <math> n </math> eine [[natürliche Zahl]] größer 1, so ist in <math> \Z/(p^n\Z) </math> jeder Untermodul groß.
* In einem [[Halbeinfach|halbeinfachen]] Modul <math> M </math> ist nur der Modul selber groß in sich.

==== Eigenschaften ====
* Ist <math> U </math> groß in <math> M </math> und <math>V</math> ein Untermodul von <math>M</math> mit <math> U \subset V \subset M </math>, so ist <math> V </math> groß in <math> M </math>.
* Ist <math> U </math> groß in <math> V </math> und <math> V </math> groß in <math> W </math>, so ist <math> U </math> groß in <math> W </math>.
* Ist <math> (V_i)_{ i \in I} </math> eine nach oben filtrierende Familie von Untermoduln von <math> M </math> und ist <math> U </math> groß in jedem <math> V_i </math>, so ist <math> U </math> groß in <math> \textstyle\bigcup_i V_i </math>.
* Sind <math> (U_i)_{i \in I}, (A_i)_{i \in I} </math> zwei Familien von Untermoduln von <math> M </math> und ist die Summe der <math> A_i </math> direkt, so gilt: Sind alle <math> U_i </math> groß in <math> A_i </math>, so ist <math> \textstyle\bigoplus_i U_i </math> groß in <math> \textstyle\bigoplus_i A_i </math>.
* Ein Untermodul <math> U \subset M</math> heißt '' abgeschlossen '', wenn er in keinem echten Obermodul groß ist. Zu jedem Untermodul <math> U \subset M </math> gibt es einen abgeschlossenen Untermodul <math> \overline{U} </math>, so dass <math> U </math> groß in <math> \overline{U} </math> ist.
* Sind <math> A, U </math> zwei Untermoduln von <math> M </math> mit <math> A\cap U = \{0\}</math>, so gibt es einen Obermodul <math> H </math> von <math> U </math>, welcher maximal bezüglich der Eigenschaft <math> A \cap H = \{ 0 \} </math> ist. Es ist <math> A \oplus H </math> groß in <math> M </math>. Es ist <math> H </math> ein ''Durchschnittskomplement'' von <math> A </math>. Ein Durchschnittskomplement ist keineswegs eindeutig bestimmt.
* Ist <math> A</math> ein Untermodul von <math>M </math>, so gibt es zu <math> A </math> ein Durchschnittskomplement <math> A' </math> von <math> A </math>. Zu <math> A' </math> gibt es ein Durchschnittskomplement <math> A'' </math> von <math> A' </math>, so dass <math> A</math> ein Untermodul von <math>A'' </math> ist. Es ist <math> A </math> groß in <math> A'' </math> und <math> A'' </math> abgeschlossen in <math> M </math>.

=== Der Sockel eines Moduls ===
Ist <math> M </math> ein Modul, so ist der Durchschnitt aller großen Untermoduln gleich der Summe aller einfachen Untermoduln. Dieser Untermodul heißt ''Sockel'' von <math> M </math>. Er ist der größte halbeinfache Untermodul von <math> M </math>. Er wird mit <math> \operatorname{So}(M) </math> bezeichnet. Ist
:<math> f\colon M\rightarrow N </math>
ein [[Homomorphismus zwischen Moduln]] <math> M, N </math>, so ist <math> f(\operatorname{So}(M))</math> ein Untermodul von <math>\operatorname{So}(N)</math>. Insbesondere heißt dies, dass der Sockel ein <math> S </math>-Untermodul von <math> M </math> ist, wenn <math> S </math> der Endmorphismenring von <math> M </math> ist. Der Sockel des Ringes <math> R </math> als <math> R</math>-Rechtsmodul ist ein zweiseitiges Ideal. Außerdem ist
:<math> \operatorname{So}(\operatorname{So}(M)) = \operatorname{So}(M) </math>
Der Sockel ist ein Präradikal. Er ist mit direkten Summen vertauschbar. Das heißt: Ist <math> (A_i)_{i \in I} </math> eine Familie von Untermoduln, deren Summe direkt ist, so ist
:<math> \textstyle\operatorname{So}\left(\bigoplus_i A_i\right) =\bigoplus_i(\operatorname{So}(A_i)) </math>.

=== Kleine Untermoduln ===
Ein Untermodul <math> A \subset M </math> heißt ''klein'' in <math> M </math>, wenn für alle Untermoduln <math> U</math> von <math>M </math> gilt:
Ist <math> A + U = M </math>, so ist <math> U=M </math>.

==== Beispiele ====
* <math> \{0\} </math> ist in jedem Obermodul klein.
* In einer freien abelschen Gruppe ist nur der Modul <math> \{ 0 \} </math> klein.
* In <math> \Q_\Z </math> ist jede endlich erzeugte Untergruppe klein als <math> \Z </math>-Untermodul.

==== Eigenschaften ====
* Die endliche Summe kleiner Untermoduln ist klein.
* Ist <math> f\colon M \rightarrow N </math> ein Homomorphismus und ist <math> A </math> klein in <math> M </math>, so ist <math> f(A) </math> klein in <math> N </math>.
* Ein zyklischer Untermodul <math> aR \subset M </math> ist genau dann nicht klein in <math> M </math>, wenn es einen maximalen Untermodul <math> U \subset M </math> gibt, mit <math> a\notin U </math>.

=== Das Radikal eines Moduls ===
Die Summe aller kleinen Untermoduln von <math> M </math> ist gleich dem Durchschnitt aller maximalen Untermoduln von <math> M </math>. Dieser Untermodul heißt Radikal von <math> M </math>. Er wird mit <math> \operatorname{Rad}(M) </math> bezeichnet.

==== Eigenschaften des Radikals ====
* Ist <math> f\colon M \rightarrow N </math> ein Homomorphismus, so ist <math> f(\operatorname{Rad}(M))</math> ein Untermodul von <math>\operatorname{Rad}(N) </math> (Siehe auch [[Jacobson-Radikal]]). Das Radikal ist ein [[Unterfunktor]] der Identität. Insbesondere ist <math> \operatorname{Rad}(R_R) </math> ein zweiseitiges Ideal.
* <math> \operatorname{Rad}(M/\operatorname{Rad}(M)) = \{0\} </math>. Der kleinste Untermodul <math> C </math> von <math> M </math> mit <math> \operatorname{Rad}(M/C) = \{0\} </math> ist <math> \operatorname{Rad}(M) </math>.
* Das Radikal ist mit direkten Summen vertauschbar. Das heißt: Ist <math> (M_i\mid i \in I) </math> eine Familie von Moduln, so gilt: <math> \textstyle\operatorname{Rad}(\bigoplus_i M_i)=\bigoplus_i \operatorname{Rad}(M_i) </math>.
* <math> M \cdot \operatorname{Rad}(R_R)</math> ist ein Untermodul von <math>\operatorname{Rad}(M) </math>.
* Ist <math> M </math> endlich erzeugt, so ist <math> \operatorname{Rad}(M) </math> klein in <math> M </math>.
* Ist <math> M </math> endlich erzeugt und das Ideal <math> \mathfrak{a}</math> ein Untermodul von <math>\operatorname{Rad}(R_R)</math>, dann ist <math> M\cdot \mathfrak{a} </math> klein in <math> M </math>. Dies ist das [[Lemma von Nakayama]].

== Einzelnachweise ==
<references/>

== Literatur ==
* Friedrich Kasch: ''Moduln und Ringe.'' Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7.
* Robert Wisbauer: ''Grundlagen der Modul- und Ringtheorie.'' Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1.

[[Kategorie:Modul (Mathematik)]]
[[Kategorie:Algebra]]

Untermodul - Versionsgeschichte

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