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2026-04-30T11:42:51Z

Funktionsweise: Klärung von Notation

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Unter der '''Unterabtastung''' ({{EnS|''undersampling''}}) wird in der [[Signalverarbeitung]] die [[Abtastung (Signalverarbeitung)|Abtastung]] eines [[Signal]]verlaufes mit weniger als der doppelten [[Bandbreite]] verstanden. Unter bestimmten Voraussetzungen werden dabei nicht die Bedingungen des [[Nyquist-Shannon-Abtasttheorem]]s verletzt. Die Unterabtastung kann in diesem Fall dazu dienen, ein hochfrequentes Signal wie bei der Funktion eines [[Mischer (Elektronik)|Mischers]] in einen [[Zwischenfrequenz]]bereich mit geringerer Frequenz zu versetzen. Sind die Voraussetzungen des Abtasttheorems nicht erfüllt, so tritt zufolge der Unterabtastung [[Alias-Effekt|Aliasing]] und damit einhergehend Informationsverlust auf. Die Unterabtastung stellt das Gegenstück zur [[Überabtastung]] (''oversampling'') dar.

== Funktionsweise ==
[[Datei:Bandpass sampling depiction.svg|mini|Die oberen 2 Diagramme zeigen [[Fourier-Transformation|Fourier-Transformationen]] von 2 verschiedenen Funktionen, die die gleichen Ergebnisse liefern, wenn sie mit einer bestimmten Rate abgetastet werden. Die Basisbandfunktion wird schneller abgetastet als ihre [[Nyquist-Frequenz]], und die Bandpassfunktion wird unterabgetastet, wodurch sie effektiv in das Basisband umgewandelt wird. Die unteren Grafiken zeigen, wie identische Ergebnisse durch die [[Alias-Effekt|Aliase]] des Abtastprozesses erzeugt werden.]]
Die [[Fourier-Transformation|Fourier-Transformationen]] [[Reellwertige Funktion|reellwertiger Funktionen]] sind [[Symmetrie (Physik)|symmetrisch]] um die 0-Hz-Achse. Nach der Abtastung steht nur noch eine periodische Summation der Fourier-Transformation ([[zeitdiskrete Fourier-Transformation]]) zur Verfügung. Die einzelnen frequenzverschobenen Kopien der ursprünglichen Transformation werden [[Alias-Effekt|Aliase]] genannt. Das Frequenzoffset zwischen benachbarten Aliasen ist die [[Abtastrate]], die mit <math>f_s </math> bezeichnet wird. Wenn sich die Aliase gegenseitig spektral ausschließen, können die ursprüngliche Transformation und die ursprüngliche kontinuierliche Funktion oder eine frequenzverschobene Version davon aus den [[Abtastwert|Abtastwerten]] wiederhergestellt werden. Der erste und dritte Graph (siehe Abbildung rechts) stellen ein Basisbandspektrum dar, bevor und nachdem es mit einer Rate abgetastet wurde, die die Aliase vollständig trennt.

Der zweite Graph zeigt das Frequenzprofil einer Bandpassfunktion, die das Band <math>(A, A+B) </math> (blau schattiert) und sein Spiegelbild (beige schattiert) belegt. Die Bedingung für eine verlustfreie [[Abtastrate]] ist, dass sich die [[Alias-Effekt|Aliase]] beider Bänder nicht überlappen, wenn sie um alle ganzzahligen [[Vielfaches|Vielfachen]] von <math>f_s </math> verschoben werden. Der vierte Graph zeigt das spektrale Ergebnis der Abtastung mit der gleichen Rate wie die Basisbandfunktion. Die Rate wurde ausgewählt, indem die niedrigste Rate gefunden wurde, die ein ganzzahliger Teiler von A ist und auch das Basisband-Nyquist-Kriterium erfüllt: <math>f_s > 2 \cdot B </math>. Folglich wurde die Bandpassfunktion effektiv in das [[Basisband]] umgewandelt. Alle anderen Raten, die eine Überlappung vermeiden, werden durch diese allgemeineren Kriterien gegeben, wobei <math>A </math> und <math>A + B </math> durch <math>f_L </math> bzw. <math>f_H </math> ersetzt werden:

: <math>\frac{2 \cdot f_H}{n} \le f_s \le \frac{2 \cdot f_L}{n - 1}</math> für alle ganzen Zahlen mit <math> 1 \le n \le \left\lfloor \frac{f_H}{f_H-f_L} \right\rfloor</math>

Das höchste <math>n </math>, für das die Bedingung erfüllt ist, führt zu den niedrigsten möglichen [[Abtastrate|Abtastraten]]. Wichtige Signale dieser Art sind das Zwischenfrequenzsignal, das Hochfrequenzsignal und die einzelnen Kanäle einer Filterbank. Wenn <math>n > 1 </math> ist, führen die Bedingungen zu dem, was manchmal als Unterabtastung, Bandpassabtastung oder Verwendung einer Abtastrate von weniger als der [[Nyquist-Frequenz]] <math>2 \cdot f_H </math> bezeichnet wird.

Die normale Basisbandbedingung für die reversible [[Abtastung (Signalverarbeitung)|Abtastung]], dass <math> X(f) = 0</math> außerhalb des [[Intervall (Mathematik)|Intervalls]] <math> \left(-\tfrac{f_s}{2}, \tfrac{f_s}{2}\right)</math> ist, und die rekonstruktive Interpolationsfunktion oder [[Tiefpass]]-[[Impulsantwort]] ist <math>\operatorname{sinc}\left(\frac{t}{T}\right) </math> mit <math>T=\frac1f_\mathrm{s}</math> und <math>\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}</math> der [[Sinc-Funktion|normierten sinc-Funktion]].

Um eine Unterabtastung auszugleichen, lautet die Bandpassbedingung, dass <math> X(f) = 0</math> außerhalb der Vereinigung offener positiver und negativer Frequenzbänder,

: <math>\left(-\frac{n}{2} \cdot f_\mathrm{s}, -\frac{n-1}{2} \cdot f_\mathrm{s}\right) \cup \left(\frac{n-1}{2} \cdot f_\mathrm{s}, \frac{n}{2} \cdot f_\mathrm{s}\right)</math>

die die normale Basisbandbedingung im Fall <math>n = 1 </math> einschließt (außer dass, wo die Intervalle bei der Frequenz 0 zusammenkommen, sie geschlossen werden können). Die entsprechende Interpolationsfunktion ist der [[Bandpass]], der sich aus dieser Differenz der [[Tiefpass]]-[[Impulsantwort|Impulsantworten]] ergibt: Bei abgetasteten Zwischenfrequenzsignalen oder Hochfrequenzsignalen hingegen ist die Rekonstruktion meist nicht das Ziel. Vielmehr kann die Abtastfolge als gewöhnliche Abtastungen des Signals behandelt werden, das in die Nähe des [[Basisband|Basisbands]] frequenzverschoben ist, und auf dieser Grundlage kann die digitale [[Demodulation]] fortschreiten, wobei die Spektrumsspiegelung erkannt wird, wenn <math>n </math> gerade ist.<ref>Walt Kester: [https://books.google.de/books?id=G8XyNItpy8AC&pg=PA20&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false Mixed-signal and DSP design techniques]</ref><ref>Hiroshi Harada, Ramjee Prasad: [https://books.google.de/books?id=amhNM01OKCUC&pg=PA395&dq=nyquist+sampling+rf+if&redir_esc=y#v=onepage&q=nyquist%20sampling%20rf%20if&f=false Simulation and Software Radio for Mobile Communications]</ref>

Ein Signal in [[Bandpass]]lage weist allgemein eine [[Bandbreite]] <math>B</math> von Signalanteilen auf, die [[Symmetrie (Physik)|symmetrisch]] um die [[Mittenfrequenz]] <math>f_0</math> angeordnet sind. Um die Bedingungen des [[Nyquist-Shannon-Abtasttheorem|Nyquist-Shannon-Abtasttheorems]] nicht zu verletzen, darf das Signal außerhalb der Bandbreite keine Frequenzanteile aufweisen. Dies kann unter anderem durch [[Bandpassfilter]] vor der Unterabtastung gewährleistet werden.

Mit der [[Abtastrate|Abtastfrequenz]] <math>f_A</math> verschieben alle Abtastfrequenzen

:<math>f_A = \frac{f_0 - f'_0}{r}, \qquad r \in \Z </math>

die [[Mittenfrequenz]] <math>f_0</math> des Bandpasssignals auf die wählbare [[Bildfrequenz]] <math>f'_0</math> im [[Basisband]]. Der Wert <math>r</math> stellt den Faktor der Unterabtastung dar, mit größer werdendem <math>r</math> werden die [[Abtastrate|Abtastfrequenzen]] und somit nutzbaren Basisbandbreiten immer kleiner.

Die [[Bildfrequenz]] <math>f'_0</math> im [[Basisband]] wird üblicherweise bei symmetrischem Bandspektrum auf den Wert <math>f'_0 = 0</math> festgelegt. Bei unsymmetrischen Bandspektren wird <math>f'_0 = \frac{f_A}{4}</math> gewählt.

=== Unterabtastung bei symmetrischem Bandspektrum ===
Bei symmetrischen Bandspektrum, wie zum Beispiel der [[Amplitudenmodulation]], steht die Information im Signal doppelt und symmetrisch um <math>f_0</math> zur Verfügung.
Typisch wird in diesem Fall <math>f'_0 = 0</math> gewählt, womit die Frequenzen im abgetasteten Signal durch

:<math>f_A = \frac{f_0}{r}, \qquad r \in \Z \setminus \{ 0 \}</math>

gegeben sind. Die redundante Bandhälfte wird dabei auf negative Frequenzen abgebildet, wodurch die Demodulation besonders einfach wird. Die minimale Abtastfrequenz muss größer als die Bandbreite <math>B</math> sein, womit sich mit dieser Nebenbedingung dann der Faktor <math>r</math> bestimmten lässt zu:

:<math>r = \frac{f_0}{B}</math>

Damit entspricht die Unterabtastung bei dem symmetrischen Bandspektrum der [[Demodulation]] einer Amplitudenmodulation.

=== Unterabtastung bei asymmetrischem Bandspektrum ===
{{Hauptartikel|Bandpassunterabtastung}}
Im Allgemeinen wird das Signal jedoch nur in eine niedrigere [[Zwischenfrequenz]]lage zur weiteren Verarbeitung verschoben (Funktion eines [[Mischer (Elektronik)|Mischers]]). Zur Erfüllung der Bedingungen des Nyquist-Shannon-Abtasttheorems wird <math>f'_0 = f_A/4</math> gewählt, die Frequenzen im abgetasteten Signal sind dann:

:<math>f_A = \frac{4 f_0}{4r + 1}, \qquad r \in \Z</math>

Die minimale Abtastfrequenz muss größer als die doppelte Bandbreite <math>B</math> sein, womit sich mit dieser Nebenbedingung dann der Faktor <math>r</math> bestimmten lässt zu:

:<math>r = \frac{f_0}{2 B} - \frac{1}{4}</math>

== Nicht bandlimitierte Signale ==
[[Bild:Sampling.png|thumb|right|Auswirkung der Samplingfrequenz im Verhältnis zur Signalfrequenz]]
Bei Unterabtastung nicht entsprechend bandlimitierter Signale sind die im [[Nyquist-Shannon-Abtasttheorem]] genannten Voraussetzungen zur verlustfreien Informationsgewinnung nicht erfüllt. [[Alias-Effekt|Aliasing]] führt zum Auftreten von Spiegelfrequenzanteilen, die Teile des Nutzsignals überlagern.

Die graue Schwingung sei das analoge Signal, das diskretisiert (z. B. digitalisiert) werden soll. Die blauen Zahlen rechts geben den Werte''bereich'' an. Ein Sample, das in diesen Bereich fällt, erhält diese digitale Zahl zugeordnet (Quantisierung). Die senkrechten Linien (S1 bis S25) geben die Zeit''punkte'' an, zu denen abgetastet wird. Die roten × verdeutlichen, in welchen Wertebereich das jeweilige Sample fällt. Die rechteckige blaue Signalform repräsentiert das aus den digitalen Daten gewonnene Signal. (Ehe es einem [[Rekonstruktionsfilter]] zugeführt wird.)

In der Abbildung ist zu erkennen, dass ab Sample 20 (S20) die digitalisierten Werte die abgetastete Frequenz nicht mehr repräsentieren. Das Signal wird daher mit einer deutlich geringeren Frequenz und damit fehlerhaft rekonstruiert.

== Literatur ==
*{{Literatur
|Autor = Fernando Puente León, Uwe Kiencke, Holger Jäkel
|Titel = Signale und Systeme
|Verlag = Oldenbourg | Auflage = 5. | Jahr = 2011 | ISBN = 978-3-486-59748-6 }}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Digitale Signalverarbeitung]]

Unterabtastung - Versionsgeschichte

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