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2026-01-03T00:40:50Z

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{{Dieser Artikel|behandelt das mathematische Teilgebiet. Für ihren ebenfalls so genannten zentralen Untersuchungsgegenstand siehe [[algebraische Struktur]].}}

Die '''universelle Algebra''' (auch '''allgemeine Algebra''') ist ein [[Teilgebiet der Mathematik]], genauer der [[Algebra]], das sich mit allgemeinen [[Algebraische Struktur|algebraischen Strukturen]] und ihren [[Homomorphismus|Homomorphismen]] sowie gewissen Verallgemeinerungen befasst.

Während in der [[Abstrakte Algebra|abstrakten Algebra]] und ihren jeweiligen Teilgebieten wie [[Gruppentheorie]], [[Ringtheorie]] und [[Körpertheorie]] algebraische Strukturen mit bestimmten festen [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfungen]] mit festgelegten Eigenschaften untersucht werden, befasst sich die universelle Algebra mit Strukturen im Allgemeinen, also mit [[Mathematische Struktur|Strukturen]] mit beliebigen Verknüpfungen und beliebigen festlegbaren Eigenschaften. Die Gruppentheorie etwa spricht allgemein über [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]], für die universelle Algebra sind Gruppen dagegen nur ein Beispiel für einen Typ algebraischer Strukturen. Die universelle Algebra ist verwandt mit der [[Modelltheorie]], einem Teilgebiet der [[Mathematische Logik|mathematischen Logik]], das sich mit der Beziehung zwischen Strukturen und [[Logische Formel|logischen Formeln]], die diese beschreiben, befasst. Von zentralem Interesse ist dabei die Modelltheorie der [[Gleichungslogik]].<ref>{{Literatur |Autor=Heinrich Werner |Titel=Rezension des Buches ''Equational logic'' von Walter Taylor |Sammelwerk=The Journal of Symbolic Logic |Band=47 |Nummer=2 |Datum=1982 |Seiten=450 |DOI=10.2307/2273161 |JSTOR=2273161}}</ref> Auch die [[Verbandstheorie]] findet Anwendung in der universellen Algebra. Die [[Kategorientheorie]] stellt einen noch allgemeineren Ansatz dar, von dem aus sich die universelle Algebra betrachten lässt. Dabei wird die Beschreibung von Strukturen allein auf das Verhalten ihrer strukturerhaltenden Abbildungen unter [[Verkettung (Mathematik)|Verkettung]], im Falle der universellen Algebra der Homomorphismen, reduziert.

== Grundbegriffe ==
{{Hauptartikel|Algebraische Struktur}}
Fundamentaler Grundbegriff der universellen Algebra ist der der algebraischen Struktur. Eine algebraische Struktur ist eine Menge <math>A</math>, genannt [[Trägermenge]], versehen mit einer [[Familie (Mathematik)|Familie]] von Verknüpfungen <math>f_i\colon A^{n_i}\to A</math> möglicherweise verschiedener Stelligkeiten <math>n_i</math>, wobei <math>n_i</math> jeweils eine beliebige [[natürliche Zahl]] ist. Konstanten können dabei formal durch 0-stellige Verknüpfungen dargestellt werden. Eine Gruppe etwa ist eine algebraische Struktur mit einer zweistelligen Verknüpfung, der jeweiligen Gruppenmultiplikation. Ein [[Ring (Algebra)|Ring]] dagegen besitzt zwei zweistellige Verknüpfungen, die jeweilige Addition und die jeweilige Multiplikation.

Bei der Definition einer Gruppe oder eines Ringes und vieler weiterer Strukturen wird zusätzlich gefordert, dass die Verknüpfungen bestimmte Eigenschaften erfüllen, wie zum Beispiel das [[Assoziativgesetz]]. Ein natürlicher Untersuchungsgegenstand sind daher [[Klasse (Mengenlehre)|Klassen]] von algebraischen Strukturen, die bestimmte Eigenschaften erfüllen, die durch logische Formeln gegeben sind. In vielen Fällen kommt man dabei mit der einfachen Gleichungslogik aus. In dieser lassen sich – unter Hinzunahme von ein- bzw. nullstelligen Verknüpfungen für die Inversenbildung und das neutrale Element – etwa die Gruppenaxiome formulieren. Diese Logik hat etwa die angenehme Eigenschaft, dass jede Substruktur einer algebraischen Struktur, d. h. eine Teilmenge, soweit darauf die Verknüpfungen immer noch wohldefiniert sind, dieselben gleichungslogischen Formeln erfüllt. Jene Klassen bilden einen Spezialfall der in der klassischen Modelltheorie untersuchten [[Elementare Klasse|elementaren Klassen]] von Strukturen, die durch Formeln der [[Prädikatenlogik erster Stufe]] axiomatisiert sind.

Ein [[Homomorphismus]] zwischen zwei algebraischen Strukturen <math>A</math> und <math>B</math> mit Verknüpfungen <math>f_i</math> bzw. <math>g_i</math> mit jeweils gleicher Stelligkeit <math>n_i</math> ist eine Abbildung <math>p\colon A\to B</math> mit der Eigenschaft, dass für jedes <math>i</math> und für alle <math>a_1,\ldots, a_{n_i}</math> die Gleichung
:<math>p(f_i(a_1,\ldots,a_{n_i}))=g_i(p(a_1),\ldots,p(a_{n_i}))</math>
gilt. Jeder bijektive Homomorphismus auf einer algebraischen Struktur ist ein [[Isomorphismus]]. Mit den Homomorphismen als [[Morphismus|Morphismen]] bilden die algebraischen Strukturen eine [[Kategorie (Mathematik)|Kategorie]], so dass sich die üblichen allgemeinen kategorientheoretischen Begriffe anwenden lassen.

== Verallgemeinerungen ==
Neben einfachen algebraischen Strukturen werden auch verschiedenartige Verallgemeinerungen betrachtet, auf die sich mitunter bestimmte Sätze übertragen lassen, etwa:
* [[Partielle algebraische Struktur]]en, die Verknüpfungen müssen nicht für alle Kombinationen von Parametern definiert sein.
* [[Heterogene Algebra|Heterogene Algebren]] und partielle heterogene Algebren, statt einer Trägermenge gibt es mehrere Trägermengen, auf denen Verknüpfungen definiert sind.
* [[Relationale Struktur]]en, statt Funktionen werden beliebige [[Relation (Mathematik)|Relationen]] zugelassen, solche sind typischer Untersuchungsgegenstand der Modelltheorie.
* [[Infinitäre Struktur]]en, die Verknüpfungen können unendliche Stelligkeit haben.
* [[Topologische algebraische Struktur]]en, die Strukturen werden zusätzlich mit einer [[Topologische Struktur|topologischen Struktur]] versehen, bezüglich der die Operationen stetig sind.

== Geschichte ==
Der britische Mathematiker [[Alfred North Whitehead]] veröffentlichte 1898 seine ''[[Treatise on Universal Algebra]]''. In diesem Werk sprach er auf allgemeine Weise von Verknüpfungen (''operations'') und Gleichungen, unter universeller Algebra, unter ''Universal Algebra'' verstand er jedoch nur das Studium von Strukturen mit zwei inneren Verknüpfungen (das heißt zwei [[Magma (Mathematik)|Magmastrukturen]], Addition und Multiplikation genannt), mit verschiedenen möglichen zusätzlichen Eigenschaften, und evtl. einer Art verallgemeinerten [[Graduierung (Algebra)|Graduierung]].<ref>{{Literatur |Autor=[[Alfred North Whitehead]] |Titel=[[Treatise on Universal Algebra|A Treatise on Universal Algebra]] |TitelErg=with Applications |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Datum=1898 |Online=[http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.chmm/1263316509 projecteuclid.org]}}</ref> Allgemeine Ergebnisse der universellen Algebra erzielte er dagegen nicht.<ref name="GrätzerVII">George Grätzer: ''Universal Algebra.'' S. vii.</ref> Solche lieferte erstmals 1935 [[Garrett Birkhoff]].<ref>Lev Aleksandrovich Skornyakov: ''Universal algebra.''</ref><ref name="GrätzerVII" /> [[Anatoli Iwanowitsch Malzew]] wandte ab 1941 erstmals die frühen modelltheoretischen Ergebnisse, die er in allgemeine, moderne Form gebracht hatte,<ref>Die allgemeine, überabzählbare Signaturen erlaubenden Varianten des [[Satz von Löwenheim-Skolem|Satzes von Löwenheim-Skolem]], des Kompaktheitssatzes und des [[Vollständigkeitssatz]]es gehen auf ihn zurück, siehe {{SEP|https://plato.stanford.edu/entries/goedel/|2=Kurt Gödel|3=Juliette Kennedy}}.</ref> auf die universelle Algebra an.<ref>George Grätzer: ''Universal Algebra.'' S. viii.</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Garrett Birkhoff]]
|Titel=Lattice Theory
|Auflage=3.
|Verlag=American Mathematical Society
|Ort=Providence, Rhode Island
|Datum=1979}}
* {{Literatur
|Autor=Stanley Burris, H. P. Sankappanavar
|Hrsg=Natural Sciences and Engineering Research Council Canada
|Titel=A Course in Universal Algebra
|Reihe=Graduate texts in mathematics
|NummerReihe=78
|Ort=Ottawa, Ontario, Canada
|Datum=2000
|Online=[https://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/UALG/univ-algebra.pdf math.uwaterloo.ca]
|Format=PDF
|KBytes=15500}}
* {{Literatur
|Autor=George Grätzer
|Titel=Universal Algebra
|Verlag=Van Nostrand
|Ort=Princeton (NJ)
|Datum=1968
|ISBN=978-0-387-77486-2
|DOI=10.1007/978-0-387-77487-9}}
* {{Literatur
|Autor=Thomas Ihringer
|Titel=Allgemeine Algebra
|TitelErg=Mit einem Anhang über Universelle Coalgebra von H. P. Gumm
|Reihe=Berliner Studienreihe zur Mathematik
|BandReihe=10
|Verlag=Heldermann
|Ort=Lemgo
|Datum=2003
|ISBN=3-88538-110-9}}
* {{Literatur
|Autor=[[Anatoli Iwanowitsch Malzew|Anatolij Ivanovič Mal’cev]]
|Titel=The Metamathematics of Algebraic Systems
|TitelErg=Collected Papers: 1936–1967
|Reihe=Studies in logic and the foundations of mathematics
|BandReihe=66
|Verlag=North-Holland
|Ort=Amsterdam
|Datum=1971
|Kommentar=aus dem Russischen übersetzt von Benjamin Franklin Wells}}
* {{Literatur
|Autor=Heinrich Werner
|Titel=Einführung in die allgemeine Algebra
|Reihe=BI-Hochschultaschenbücher
|BandReihe=120
|Verlag=Bibliographisches Institut
|Ort=Mannheim u. a.
|Datum=1978
|ISBN=3-411-00120-8}}

== Weblinks ==
* {{EoM|Autor=[[Lew Anatoljewitsch Skornjakow|Lev Anatolevich Skornyakov]]|Titel=Universal algebra|Url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Universal_algebra}}
* {{MathWorld|author=Alex Sakharov, Matt Insall|title=Universal Algebra|id=UniversalAlgebra}}
* {{nLab|universal+algebra|2=universal algebra}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4061777-4}}

[[Kategorie:Universelle Algebra| ]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]

Universelle Algebra - Versionsgeschichte

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