imported>Aka: /* Weblinks */ https

2021-06-20T16:42:21Z

Weblinks: https

Neue Seite

Ein '''unitärer Operator''' ist in der [[Mathematik]] ein [[Bijektive Funktion|bijektiver]] [[linearer Operator]] zwischen zwei [[Hilbertraum|Hilberträumen]], der das [[Skalarprodukt]] erhält. Unitäre Operatoren sind damit spezielle [[Orthogonale Abbildung|orthogonale]] oder [[Unitäre Abbildung|unitäre Abbildungen]] und stets [[Norm (Mathematik)|normerhaltend]], [[Isometrie|abstandserhaltend]], [[Beschränkter Operator|beschränkt]] und, falls beide Hilberträume gleich sind, [[Normaler Operator|normal]]. Der [[Inverse Funktion|inverse Operator]] eines unitären Operators ist gleich seinem [[Adjungierter Operator|adjungierten Operator]]. Die [[Eigenwert]]e eines unitären Operators in einem Hilbertraum haben alle den [[Betragsfunktion|Betrag]] eins. Unitäre Operatoren zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen gleicher Dimension können nach Wahl je einer [[Orthonormalbasis]] durch [[Unitäre Matrix|unitäre Matrizen]] dargestellt werden. Wichtige Beispiele für unitäre Operatoren zwischen unendlichdimensionalen [[Funktionenraum|Funktionenräumen]] sind die [[Fouriertransformation]] und die [[Zeitentwicklungsoperator]]en der [[Quantenmechanik]].

== Definition ==

Ein unitärer Operator ist ein [[Bijektive Funktion|bijektiver]] [[linearer Operator]] <math>T \colon V \to W</math> zwischen zwei [[Hilbertraum|Hilberträumen]] <math>(V, \langle \cdot, \cdot \rangle_V)</math> und <math>(W, \langle \cdot, \cdot \rangle_W)</math>, sodass

:<math>\langle Tu, Tv \rangle_W = \langle u, v \rangle_V</math>

für alle Vektoren <math>u, v \in V</math> gilt. Ein unitärer Operator ist demnach ein [[Isomorphismus]] zwischen zwei Hilberträumen, der das [[Skalarprodukt]] erhält. Ein unitärer Operator zwischen zwei reellen Hilberträumen wird gelegentlich auch als ''orthogonaler Operator'' bezeichnet.

== Eigenschaften ==

Im Folgenden werden die Zusätze <math>V, W</math> bei den Skalarprodukten weggelassen, da durch das Argument klar wird, um welchen Raum es sich jeweils handelt.

=== Grundeigenschaften ===

Jeder unitäre Operator stellt eine [[unitäre Abbildung]] (im reellen Fall [[orthogonale Abbildung]]) dar. Die [[Lineare Abbildung|Linearität]] folgt daher bereits aus der Erhaltung des Skalarprodukts und muss demnach nicht separat gefordert werden. Ein unitärer Operator erhält weiterhin die [[Skalarproduktnorm]] eines Vektors, das heißt, es gilt

:<math>\| T v \| = \sqrt{\langle Tv, Tv \rangle} = \sqrt{\langle v, v \rangle} = \| v \|</math>,

und damit auch den [[Abstand]] zweier Vektoren. Die Abbildung <math>T</math> stellt somit eine [[Isometrie]] dar und die beiden Räume <math>V</math> und <math>W</math> sind daher [[Isometrische Isomorphie|isometrisch isomorph]]. Die [[Eigenwert]]e eines unitären Operators <math>T \colon V \to V</math> haben alle den [[Betragsfunktion|Betrag]] eins. Allgemeiner liegt das [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrum]] eines unitären Operators im Rand des [[Einheitskreis]]es.

=== Operatornorm ===

Für die [[Operatornorm]] eines unitären Operators <math>T</math> gilt aufgrund der Normerhaltung

:<math>\| T \| = \sup_{\| v \| = 1} \| T v \| = \sup_{\| v \| = 1} \| v \| = 1</math>.

Ein unitärer Operator ist demnach immer [[Beschränkter Operator|beschränkt]] und damit [[Stetige Funktion|stetig]].

=== Inverse ===

Der [[Inverse Abbildung|inverse Operator]] <math>T^{-1}</math> eines unitären Operators <math>T</math> ist gleich seinem [[Adjungierter Operator|adjungierten Operator]] <math>T^{\ast}</math>, also

:<math>T^{-1} = T^{\ast}</math>,

denn es gilt

:<math>\langle u, T^{\ast} v \rangle = \langle T u, v \rangle = \langle T u, T T^{-1} v \rangle = \langle u, T^{-1} v \rangle</math>.

Stimmen umgekehrt Inverse und Adjungierte eines linearen Operators überein, dann ist dieser unitär, denn es gilt

:<math>\langle T u, T v \rangle = \langle u, T^{\ast} T v \rangle = \langle u, T^{-1} T v \rangle = \langle u, v \rangle</math>.

=== Normalität ===

Aufgrund der Übereinstimmung von Inverser und Adjungierter ist ein unitärer Operator im Fall <math>V = W</math> stets [[Normaler Operator|normal]], das heißt

:<math>T^{\ast} T = T T^{\ast} = I</math>.

Für unitäre Operatoren auf komplexen Hilberträumen und [[Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierte]] unitäre Operatoren auf reellen Hilberträumen gilt damit der [[Spektralsatz]].

=== Basistransformation ===

Ist <math>T</math> ein unitärer Operator und ist <math>( v_i )_{i \in I}</math> eine [[Hilbertbasis]] (ein vollständiges Orthonormalsystem) von <math>V</math>, dann ist <math>( T v_i )_{i \in I}</math> eine Hilbertbasis von <math>W</math>, denn es gilt

:<math>\langle T v_i, T v_j \rangle = \langle v_i, v_j \rangle = \delta_{ij}</math>.

Sind umgekehrt <math>( v_i )_{i \in I}</math> und <math>( T v_i )_{i \in I}</math> Hilbertbasen von <math>V</math> und <math>W</math> und ist <math>T</math> linear, so folgt daraus die Unitarität von <math>T</math>, denn man erhält

:<math>\begin{align} \langle T u, T v \rangle & = \big\langle T \big( {\textstyle \sum_i} \lambda_i v_i \big), T \big( {\textstyle \sum_j} \mu_j v_j \big) \big\rangle = \big\langle {\textstyle \sum_i} \lambda_i T v_i, {\textstyle \sum_j} \mu_j T v_j \big\rangle = {\textstyle \sum_i} {\textstyle \sum_j} \lambda_i \bar\mu_j \big\langle T v_i, T v_j \big\rangle = \\ & = {\textstyle \sum_i} {\textstyle \sum_j} \lambda_i \bar\mu_j \delta_{ij} = {\textstyle \sum_i} {\textstyle \sum_j} \lambda_i \bar\mu_j \langle v_i, v_j \rangle = \big\langle {\textstyle \sum_i} \lambda_i v_i, {\textstyle \sum_j} \mu_j v_j \big\rangle = \langle u, v \rangle. \end{align}</math>

== Siehe auch ==
* [[Hilbert-Schmidt-Operator]]
* [[Hilbertraum-Darstellung]]

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Hans Wilhelm Alt|Titel=Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung|Auflage=5.|Jahr=2008|Verlag=Springer|ISBN=3-540-34186-2}}
* {{Literatur|Autor=Dirk Werner|Titel=Funktionalanalysis|Verlag=Springer|Auflage=5.|Jahr=2005|ISBN=3-540-21381-3}}

== Weblinks ==
* {{EoM|Autor=V.I. Sobolev|Titel=Unitary operator|Url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Unitary_operator}}
* {{MathWorld|title=Unitary|id=Unitary}}
* {{PlanetMath|author=asteroid|title=Unitary|id=unitary}}

{{SORTIERUNG:Unitarer Operator}}
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Lineare Abbildung]]

Unitärer Operator - Versionsgeschichte

imported>Aka: /* Weblinks */ https