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2025-09-23T11:52:44Z

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Eine '''unitäre Matrix''' ist in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] eine [[Komplexe Zahl|komplexe]] quadratische [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], deren Zeilen- und Spaltenvektoren [[Orthonormalität|orthonormal]] bezüglich des [[Standardskalarprodukt]]s sind. Damit ist die [[Inverse Matrix|Inverse]] einer unitären Matrix gleichzeitig ihre [[Adjungierte Matrix|Adjungierte]].

Durch [[Matrix-Vektor-Produkt|Multiplikation]] mit einer unitären Matrix bleibt sowohl die [[euklidische Norm]] als auch das Standardskalarprodukt zweier Vektoren erhalten. Jede [[unitäre Abbildung]] zwischen zwei endlichdimensionalen [[Skalarproduktraum|Skalarprodukträumen]] kann nach Wahl je einer [[Orthonormalbasis]] durch eine unitäre Matrix dargestellt werden. Die Menge der unitären Matrizen fester Größe bildet mit der [[Matrizenmultiplikation]] als Verknüpfung die [[unitäre Gruppe]].

Unitäre Matrizen werden unter anderem bei der [[Singulärwertzerlegung]], der [[Diskrete Fourier-Transformation|diskreten Fourier-Transformation]] und in der [[Quantenmechanik]] eingesetzt. Eine reelle unitäre Matrix wird [[orthogonale Matrix]] genannt.

== Definition ==

Eine komplexe [[quadratische Matrix]] <math>U \in \Complex^{n \times n}</math> heißt unitär, wenn das [[Matrizenmultiplikation|Produkt]] mit ihrer [[Adjungierte Matrix|adjungierten Matrix]] <math>U^\mathsf{H}</math> (das heißt komplex konjugiert und transponiert <math>U^\mathsf{H}=U^{* \, T}</math>) die [[Einheitsmatrix]] <math>I</math> ergibt, also

: <math>U^\mathsf{H}U = I</math>

und damit
:<math>U^\mathsf{H} =U^{-1}</math>

gilt. Werden die [[Spaltenvektor]]en der Matrix <math>U</math> mit <math>u_1, \ldots , u_n</math> bezeichnet, dann ist diese Bedingung gleichbedeutend damit, dass stets das [[Standardskalarprodukt#Komplexes Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] zweier Spaltenvektoren

: <math>u_i^\mathsf{H} \cdot u_j = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{falls}~i=j \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}</math>

ergibt, wobei <math>\delta_{ij}</math> das [[Kronecker-Delta]] ist. Die Spaltenvektoren einer unitären Matrix bilden damit eine [[Orthonormalbasis]] des [[Koordinatenraum]]s <math>\Complex^n</math>. Dies trifft auch für die Zeilenvektoren einer unitären Matrix zu, denn mit <math>U</math> ist auch die [[transponierte Matrix]] <math>U^\mathsf{T}</math> unitär.

== Beispiele ==

Die Matrix

: <math>U = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}</math>

ist unitär, denn es gilt

: <math>U^\mathsf{H} \, U = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -i^2 & 0 \\ 0 & -i^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I</math>.

Auch die Matrix

: <math>U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+i & 1-i \\ 1-i & 1+i \end{pmatrix}</math>

ist unitär, denn es gilt

: <math>U^\mathsf{H} \, U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1-i & 1+i \\ 1+i & 1-i \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+i & 1-i \\ 1-i & 1+i \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2(1-i)(1+i) & (1-i)^2+(1+i)^2 \\ (1+i)^2+(1-i)^2 & 2(1+i)(1-i) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I</math>.

Allgemein ist jede [[orthogonale Matrix]] unitär, denn für Matrizen mit reellen Einträgen entspricht die Adjungierte der Transponierten.

== Eigenschaften ==
=== Inverse ===

Eine unitäre Matrix <math>U \in \Complex^{n \times n}</math> ist aufgrund der [[Lineare Unabhängigkeit|linearen Unabhängigkeit]] ihrer Zeilen- und Spaltenvektoren stets [[Reguläre Matrix|regulär]]. Die [[Inverse Matrix|Inverse]] einer unitären Matrix ist dabei gleich ihrer Adjungierten, das heißt, es gilt

: <math>U^\mathsf{H} = U^{-1}</math>.

Die Inverse einer Matrix <math>U</math> ist nämlich gerade diejenige Matrix <math>U^{-1}</math>, für die

: <math>U \, U^{-1} = U^{-1} \, U = I</math>

gilt. Es gilt auch die Umkehrung und jede Matrix <math>U</math>, deren Adjungierte gleich ihrer Inversen ist, ist unitär, denn es gilt dann

: <math>U^\mathsf{H} \, U = U^{-1} \, U = I</math>.

Zudem ist auch die Adjungierte einer unitären Matrix unitär, denn

: <math>UU^\mathsf{H} = I</math>.

=== Invarianz von Norm und Skalarprodukt ===

Wird ein Vektor <math>x \in \Complex^n</math> mit einer unitären Matrix <math>U \in \Complex^{n \times n}</math> multipliziert, ändert sich die [[euklidische Norm]] des Vektors nicht, das heißt

: <math> \| U \, x \|_2 = \| x \|_2</math>.

Weiter ist das Standardskalarprodukt zweier Vektoren <math>x,y \in \Complex^n</math> invariant bezüglich der Multiplikation mit einer unitären Matrix <math>U</math>, also

: <math>\left\langle U \, x, U \, y \right\rangle = \left\langle x,y \right\rangle</math>.

Beide Eigenschaften folgen direkt aus der [[Standardskalarprodukt#Verschiebungseigenschaft|Verschiebungseigenschaft]] des Standardskalarprodukts. Daher stellt die Abbildung

: <math>f \colon \Complex^n \to \Complex^n, \quad x \mapsto U \, x</math>

eine [[Kongruenzabbildung]] im [[Unitärer Raum|unitären Raum]] <math>\Complex^n</math> dar. Umgekehrt ist die [[Abbildungsmatrix]] bezüglich der [[Standardbasis]] jeder linearen Abbildung im <math>\Complex^n</math>, die das Standardskalarprodukt erhält, unitär. Aufgrund der [[Polarisationsformel]] gilt dies auch für die Abbildungsmatrix jeder linearen Abbildung, die die euklidische Norm erhält.

=== Determinante ===

Für den [[Betragsfunktion#Komplexe Betragsfunktion|komplexen Betrag]] der [[Determinante]] einer unitären Matrix <math>U \in \Complex^{n \times n}</math> gilt

: <math>| \det U | = 1</math>,

was mit Hilfe des [[Determinantenproduktsatz]]es über

: <math>\det U \cdot \overline{\det U} = \det U \cdot \det \bar{U} = \det U \cdot \det U^\mathsf{H} = \det (U U^\mathsf{H}) = \det I = 1</math>

folgt.

=== Eigenwerte ===

Die [[Eigenwert]]e einer unitären Matrix <math>U \in \Complex^{n \times n}</math> haben ebenfalls alle den Betrag eins, sind also von der Form

: <math>\lambda = e^{it}</math>

mit <math>t \in \R</math>. Ist nämlich <math>x</math> ein zu <math>\lambda</math> gehöriger Eigenvektor, dann gilt aufgrund der Invarianz bezüglich der euklidischen Norm und der absoluten Homogenität einer [[Norm (Mathematik)|Norm]]

: <math>\| x \|_2 = \| U \, x \|_2 = \| \lambda \, x \|_2 = | \lambda | \, \| x \|_2</math>

und daher <math>| \lambda | = 1</math>.

=== Diagonalisierbarkeit ===

Eine unitäre Matrix <math>U \in \Complex^{n \times n}</math> ist [[Normale Matrix|normal]], das heißt, es gilt

: <math>U \, U^\mathsf{H} = U^\mathsf{H} \, U</math>,

und daher [[Diagonalisierbarkeit|diagonalisierbar]]. Nach dem [[Spektralsatz]] gibt es eine weitere unitäre Matrix <math>V \in \Complex^{n \times n}</math>, sodass

: <math>V^{-1} \, U \, V = D</math>

gilt, wobei <math>D \in \Complex^{n \times n}</math> eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von <math>U</math> ist. Die Spaltenvektoren von <math>V</math> sind dann paarweise orthonormale Eigenvektoren von <math>U</math>. Damit sind auch die [[Eigenraum|Eigenräume]] einer unitären Matrix paarweise orthogonal.

=== Normen ===

Die [[Spektralnorm]] einer unitären Matrix <math>U \in \Complex^{n \times n}</math> ist

: <math>\| U \|_2 = \max_{\| x \|_2 = 1} \| U \, x \|_2 = \max_{\| x \|_2 = 1} \| x \|_2 = 1</math>.

Für die [[Frobeniusnorm]] gilt mit dem [[Frobenius-Skalarprodukt]] entsprechend

: <math>\| U \|_F = \sqrt{ \langle U, U \rangle_F } = \sqrt{ \langle I, I \rangle_F } = \sqrt{n}</math>.

Das Produkt mit einer unitären Matrix erhält sowohl die Spektralnorm als auch die Frobeniusnorm einer gegebenen Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math>, denn es gilt

: <math>\| U \, A \|_2 = \max_{\| x \|_2 = 1} \| U \, A \, x \|_2 = \max_{\| x \|_2 = 1} \| A \, x \|_2 = \| A \|_2</math>

und

: <math>\| U \, A \|_F = \sqrt{ \langle U \, A, U \, A \rangle_F } = \sqrt{ \langle A, A \rangle_F } = \| A \|_F</math>.

Damit bleibt auch die [[Kondition (Mathematik)|Kondition]] einer Matrix bezüglich dieser [[Matrixnorm|Normen]] nach Multiplikation mit einer unitären Matrix erhalten.

=== Erhaltung der Idempotenz ===

Ist <math>U \in \Complex^{n \times n}</math> eine unitäre und <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> eine [[Idempotenz|idempotente Matrix]], gilt also <math>A \, A = A</math>, dann ist die Matrix

: <math>B = U \, A \, U^\mathsf{H}</math>

ebenfalls idempotent, denn

: <math>B \, B = U \, A \, U^\mathsf{H} U \, A \, U^\mathsf{H} = U \, A \, A \, U^\mathsf{H} = U \, A \, U^\mathsf{H} = B</math>.

== Unitäre Matrizen als Gruppe ==
{{Hauptartikel|Unitäre Gruppe}}

Die Menge der regulären Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenmultiplikation als [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], die [[allgemeine lineare Gruppe]] <math>\mathrm{GL}(n,\Complex)</math>. Als [[neutrales Element]] dient dabei die Einheitsmatrix <math>I</math>. Die unitären Matrizen bilden eine [[Untergruppe]] der allgemeinen linearen Gruppe, die [[unitäre Gruppe]] <math>\mathrm U(n)</math>. Das Produkt zweier unitärer Matrizen <math>U, V \in \Complex^{n \times n}</math> ist nämlich wieder unitär, denn es gilt

: <math>(U \, V)^\mathsf{H} \, (U \, V) = V^\mathsf{H} \, U^\mathsf{H} \, U \, V = V^\mathsf{H} \, V = I</math>.

Weiter ist die Inverse einer unitären Matrix <math>U \in \Complex^{n \times n}</math> ebenfalls unitär, denn es gilt

: <math>U^{-H} \, U^{-1} = U^{-H} \, U^\mathsf{H} = (U \, U^{-1})^\mathsf{H} = I^\mathsf{H} = I</math>.

Die unitären Matrizen mit Determinante eins bilden wiederum eine Untergruppe der unitären Gruppe, die [[spezielle unitäre Gruppe]] <math>\mathrm{SU}(n)</math>. Die unitären Matrizen mit Determinante minus eins bilden keine Untergruppe der unitären Gruppe, denn ihnen fehlt das neutrale Element, sondern lediglich eine [[Nebenklasse (Mathematik)|Nebenklasse]].

== Verwendung ==

=== Matrixzerlegungen ===
Mit Hilfe einer [[Singulärwertzerlegung]] lässt sich jede Matrix <math>A \in \Complex^{m \times n}</math> als Produkt

: <math>A = U \, \Sigma \, V^\mathsf{H}</math>

einer unitären Matrix <math>U \in \Complex^{m \times m}</math>, einer [[Diagonalmatrix]] <math>\Sigma \in \Complex^{m \times n}</math> und der Adjungierten einer weiteren unitären Matrix <math>V \in \Complex^{n \times n}</math> darstellen. Die Diagonaleinträge der Matrix <math>\Sigma</math> sind dann die Singulärwerte von <math>A</math>.

Eine quadratische Matrix <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> kann mittels der [[Polarzerlegung]] auch als Produkt

: <math>A = U \, P</math>

einer unitären Matrix <math>U \in \Complex^{n \times n}</math> und einer [[positiv semidefinit]]en [[Hermitesche Matrix|hermiteschen Matrix]] <math>P \in \Complex^{n \times n}</math> faktorisiert werden.

=== Unitäre Abbildungen ===

Ist <math>(V, \langle \cdot, \cdot \rangle)</math> ein <math>n</math>-dimensionaler komplexer [[Skalarproduktraum]], dann lässt sich jede [[lineare Abbildung]] <math>f \colon V \to V</math> nach Wahl einer Orthonormalbasis <math>\{ e_1, \dotsc, e_n \}</math> für <math>V</math> durch die [[Abbildungsmatrix]]

: <math>A_f = ( a_{ij} ) \in \R^{n \times n}</math>

darstellen, wobei <math>f(e_j) = a_{1j}e_1 + \dotsb + a_{nj}e_n</math> für <math>j=1, \dotsc, n</math> ist. Die Abbildungsmatrix <math>A_f</math> ist nun genau dann unitär, wenn <math>f</math> eine [[unitäre Abbildung]] ist. Dies folgt aus

: <math>\langle f(v), f(w) \rangle = (A_fx)^\mathsf{H}(A_fy) = x^\mathsf{H}A_f^\mathsf{H}A_fy = x^\mathsf{H} y = \langle v, w \rangle</math>,

wobei <math>v=x_1 e_1+ \dotsb + x_n e_n</math> und <math>w=y_1 e_1 + \dotsb + y_n e_n</math> sind.

=== Physikalische Anwendungen ===
Unitäre Matrizen werden auch häufig in der [[Quantenmechanik]] im Rahmen der [[Matrizenmechanik]] verwendet. Beispiele sind:

* die [[Dirac-Matrizen]]
* die [[Pauli-Matrizen]]
* die [[S-Matrix]]
* die [[CKM-Matrix]]
* die [[PMNS-Matrix]]

Eine weitere wichtige Anwendung unitärer Matrizen besteht in der [[Diskrete Fourier-Transformation|diskreten Fourier-Transformation]] komplexer Signale.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]
|Titel=Lineare Algebra. (Eine Einführung für Studienanfänger)
|Auflage=14. durchgesehene
|Verlag=Vieweg
|Datum=2003
|ISBN=3-528-03217-0}}
* {{Literatur
|Autor=Jörg Liesen, [[Volker Mehrmann]]
|Titel=Lineare Algebra
|Verlag=Springer
|Datum=2011
|ISBN=978-3-8348-8290-5}}
* {{Literatur
|Hrsg=[[Eberhard Zeidler (Mathematiker)|Eberhard Zeidler]], [[Wolfgang Hackbusch]]
|Titel=Taschenbuch der Mathematik
|Band=1
|Verlag=Springer
|Datum=2012
|ISBN=978-3-8351-0123-4}}

== Weblinks ==
* {{EoM|Autor=Oxana A. Ivanova|Titel=Unitary matrix|Url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Unitary_matrix}}
* {{MathWorld |id=UnitaryMatrix |author=Todd Rowland |title=Unitary Matrix}}

{{SORTIERUNG:Unitare Matrix}}
[[Kategorie:Matrix]]

Unitäre Matrix - Versionsgeschichte

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