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2020-02-09T10:16:01Z

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Eine '''unipotente Matrix''' ist in der [[Mathematik]] eine [[quadratische Matrix]], deren [[Matrizenaddition|Differenz]] zur [[Einheitsmatrix]] [[nilpotente Matrix|nilpotent]] ist. Die unipotenten Matrizen stellen damit gerade die [[Unipotentes Element|unipotenten Elemente]] im [[Matrizenring|Ring der quadratischen Matrizen]] dar.

== Definition ==

Eine [[quadratische Matrix]] <math>A \in R^{n \times n}</math> mit Einträgen aus einem [[Unitärer Ring|unitären Ring]] <math>R</math> heißt ''unipotent'', wenn die Matrix <math>A-I</math> [[Nilpotente Matrix|nilpotent]] ist, das heißt wenn

:<math>(A-I)^m = 0</math>

für ein <math>m \in \N</math> gilt. Unipotente Matrizen sind damit die [[Unipotentes Element|unipotenten Elemente]] im [[Matrizenring]] <math>R^{n \times n}</math> mit der [[Nullmatrix]] <math>0</math> als [[Neutrales Element|neutralem Element]] und der [[Einheitsmatrix]] <math>I</math> als [[Einselement]].

== Beispiele ==

Ein einfaches Beispiel für eine unipotente Matrix ist die Matrix

:<math>A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>,

denn es gilt

:<math>(A-I)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math>.

Ein allgemeineres Beispiel bilden [[Obere Dreiecksmatrix|obere Dreiecksmatrizen]], deren [[Hauptdiagonale|Hauptdiagonaleinträge]] alle gleich 1 sind, also Matrizen der Form

:<math>A = \begin{pmatrix}1 & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & a_{n-1,n} \\ 0 & \cdots & 0 & 1\end{pmatrix} </math>.

Alle solchen Matrizen sind unipotent, denn es gilt <math>(A-I)^n=0</math>. Weiterhin sind auch alle Matrizen unipotent, die zu einer solchen Matrix <math>A</math> [[Ähnlichkeit (Matrix)|ähnlich]] sind, denn es gilt dann

:<math>(S^{-1}AS-I)^n = S^{-1}(A-I)^nS = 0</math>

für jede [[reguläre Matrix]] <math>S \in R^{n \times n}</math>.

== Eigenschaften ==

=== Eigenwerte ===

Eine quadratische Matrix <math>A \in K^{n \times n}</math> mit Einträgen aus einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> ist genau dann unipotent, wenn ihr [[charakteristisches Polynom]] die Form

:<math>\chi_A(\lambda) = (\lambda-1)^n</math>

besitzt. Dies ist genau dann der Fall, wenn alle [[Eigenwerte]] der Matrix gleich <math>1</math> sind.

=== Jordan-Chevalley-Zerlegung ===

Jede [[reguläre Matrix]] <math>A</math> mit Einträgen aus einem [[Algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossenen]] Körper <math>K</math> besitzt eine multiplikative [[Jordan-Chevalley-Zerlegung]] der Form

:<math>A = D \cdot U = U \cdot D</math>,

wobei <math>D</math> eine [[Diagonalisierbarkeit|diagonalisierbare]] und <math>U</math> eine unipotente Matrix sind. Eine solche Zerlegung ist eindeutig.<ref>{{Literatur|Autor=Ina Kersten|Titel=Lineare Algebraische Gruppen|Verlag=Universitätsverlag Göttingen|Jahr=2007|Seiten=66}}</ref>

=== Potenzen ===

Die Einträge der [[Matrixpotenz]]en <math>A^k</math> einer reellen oder komplexen unipotenten Matrix wachsen lediglich [[Wachstum (Mathematik)#Wachstum gemäß einem Potenzgesetz|polynomial]] in <math>k</math>, da

:<math>A^k = (I + N)^k = I + kN + \frac{k(k-1)}{2} N^2 + \ldots + \frac{k(k-1) \cdots (k-m+2)}{(m-1)!} N^{m-1}</math>

gilt, wobei <math>N</math> nilpotent mit Nilpotenzindex <math>m</math> ist. Wachsen umgekehrt die Einträge der Matrixpotenzen einer gegebenen Matrix höchstens polynomial in <math>k</math>, so ist die Matrix unipotent.<ref>{{Literatur|Autor=[[Terence Tao]]|Titel=Structure and Randomness|Verlag=American Mathematical Society|Jahr=2008|Seiten=111}}</ref>

=== Logarithmus und Exponential ===

Nachdem die obige Reihe terminiert, existiert der [[Matrixlogarithmus]] einer reellen oder komplexen unipotenten Matrix und ist selbst nilpotent. Für sein [[Matrixexponential]] gilt damit<ref name="bernstein">{{Literatur|Autor=Dennis S. Bernstein|Titel=Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas|Verlag=Princeton University Press|Jahr=2009|Seiten=746}}</ref>

:<math>e^{\log A} = A</math>.

Umgekehrt ist das Matrixexponential einer reellen oder komplexen nilpotenten Matrix <math>N</math> unipotent und es gilt entsprechend<ref name="bernstein" />

:<math>\log e^N = N</math>.

== Literatur ==

* {{Literatur|Autor=Dennis S. Bernstein|Titel=Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas|Verlag=Princeton University Press|Jahr=2009|ISBN=978-0-69114-039-1}}
* {{Literatur|Autor=[[Ina Kersten]]|Titel=Lineare Algebraische Gruppen|Verlag=Universitätsverlag Göttingen|Jahr=2007|ISBN=978-3-940-34405-2}}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==

* {{EoM|Autor=D. A. Suprunenko|Titel=Unipotent matrix|Url=http://eom.springer.de/u/u095420.htm}}
* {{MathWorld|author=Todd Rowland|title=Unipotent|id=Unipotent}}

[[Kategorie:Matrix]]

Unipotente Matrix - Versionsgeschichte

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