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2026-02-17T06:07:23Z

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Eine '''Ungleichung''' ist ein Gegenstand der [[Mathematik]], mit dem [[Vergleich (Zahlen)|Größenvergleiche]] formuliert und untersucht werden können. Jede Ungleichung besteht aus zwei [[Term]]en, die durch eines der [[Vergleichszeichen]] <math><</math> ([[Kleinerzeichen]]), <math>\leq</math> (Kleinergleichzeichen), <math>\geq</math> (Größergleichzeichen) oder <math>></math> ([[Größerzeichen]]) verbunden sind. Oft spricht man anstatt von einer Ungleichung auch von einer '''Abschätzung''', wenn man mit Hilfe einer Ungleichung das Wachstum eines komplexen Terms durch einen einfacheren Term kontrolliert.

Sind <math>T_1</math> und <math>T_2</math> zwei Terme, dann ist <math>T_1 < T_2</math> eine Ungleichung.<ref>{{Literatur |Autor=Jürgen Tietze |Titel=Terme, Gleichungen, Ungleichungen: Rechenregeln begründen, Fehlerfallen vermeiden |Auflage=2., überarb. Aufl. 2015 |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |ISBN=978-3-658-06193-7 |Seiten=127 |Online= |Abruf=}}</ref> Man spricht „<math>T_1</math> kleiner (als) <math>T_2</math>“. Wie bei einer [[Gleichung]] heißt <math>T_1</math> die ''linke Seite'' und <math>{T_2}</math> die ''rechte Seite'' der Ungleichung.<ref>{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Ungleichung |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Datum=2000 |ISBN=978-3-8274-0439-8}}</ref>

Die in den beiden Termen auftretenden [[Zielmenge|Werte]] sind meist [[reelle Zahl]]en. Die durch das Vergleichszeichen angesprochene [[Ordnungsrelation]] bezieht sich dann auf die [[Vergleich (Zahlen)|natürliche Anordnung]] der reellen Zahlen.

== Formen von Ungleichungen ==
Folgende fünf Formen von Ungleichungen sind möglich:

: (1) <math>{T_1} < {T_2}</math> (<math>{T_1}</math> kleiner <math> {T_2}</math>)
: (2) <math>{T_1} \le {T_2}</math> (<math>{T_1}</math> kleiner oder gleich <math> {T_2}</math>)
: (3) <math>{T_1} > {T_2}</math> (<math>{T_1}</math> größer <math> {T_2}</math>)
: (4) <math>{T_1} \ge {T_2}</math> (<math>{T_1}</math> größer oder gleich <math> {T_2}</math>)
: (5) <math>{T_1} \neq {T_2}</math> (<math>{T_1}</math> ungleich <math> {T_2}</math>)

Die Form (5) entsteht durch [[Negation]] einer Gleichung. Sie wird daher in der Mathematik in der Regel nicht eigens thematisiert.

Ungleichungen sind [[Aussageform]]en. Die auf den beiden Seiten einer Ungleichung vorkommenden [[Funktion (Mathematik)|funktionalen]] Terme beinhalten in der Regel [[Variable (Mathematik)|Variablen]], welche stellvertretend für [[Element (Mathematik)|Elemente]] aus dem [[Definitionsbereich]] der jeweiligen Terme stehen. Werden diese Variablen durch feste Elemente der jeweiligen Definitionsbereiche ersetzt (''Einsetzen''), so entstehen [[Aussage]]n, welche entweder wahr oder falsch sind.

== Umformung von Ungleichungen ==
Ähnlich wie bei Gleichungen ist es auch bei Ungleichungen möglich, diese in [[Äquivalenzumformung|äquivalente Ungleichungen]] umzuformen. Äquivalente Ungleichungen haben die gleichen Lösungsmengen, daher ist das Umformen von Ungleichungen wichtig zum Lösen von Ungleichungen, worauf der hierauf folgende Abschnitt eingehen wird.<ref>{{Literatur |Hrsg=Guido Walz |Titel=Rechnen mit Ungleichungen |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Datum=2000 |ISBN=978-3-8274-0439-8}}</ref>

Im Folgenden werden wichtige Regeln zu äquivalenten Ungleichungen für die Vergleichszeichen <math><</math> und <math>></math> und für Terme im [[Körper der reellen Zahlen]] dargestellt. Diese Äquivalenzumformungsregeln gelten analog auch für die Vergleichszeichen <math>\leq</math>, <math>\geq</math> und <math>\neq</math>. Zudem werden weitere Regeln zu nicht äquivalenten Umformungen von Ungleichungen angeboten, die man oft in der [[Analysis]] – etwa bei Konvergenzbeweisen mittels [[Epsilontik]] – benötigt.<ref>Viele dieser Regeln lassen sich auf das Rechnen mit Ungleichungen in [[Angeordnete Gruppe|angeordneten Gruppen]] übertragen.</ref>

=== Umkehrbarkeit ===
Ungleichungen können umgekehrt werden:
: <math>({T_1}\le{}{T_2})\Leftrightarrow ({T_2}\ge{}{T_1})\,.</math>

=== Monotoniegesetze im Zusammenhang mit den Grundrechenarten ===
==== Addition und Subtraktion ====
[[Datei:Translation invariance of less-than-relation.svg|mini|Invarianz der Kleiner-Relation bei der Addition mit einer Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung]]
Für beliebige reellwertige Terme <math>T_1</math>, <math>T_2</math>, <math>T_3</math> und <math>T_4</math> gilt:

* Es ist <math>T_1 < T_2</math> genau dann, wenn <math>T_1+T_3 < T_2+T_3</math>.
* Es ist <math>T_1 < T_2</math> genau dann, wenn <math>T_1-T_3 < T_2-T_3</math>.

Es dürfen also auf beiden Seiten einer Ungleichung die gleichen Terme addiert oder subtrahiert werden, ohne dass sich die Lösungsmenge der Ungleichung ändert. Beispielsweise vereinfacht sich die Ungleichung <math>5x < 4x + 7</math> durch Subtraktion des Terms <math>4x</math> auf beiden Seiten zu der äquivalenten Ungleichung <math>x < 7</math>.

Darüber hinaus gelten in Bezug auf die Addition auch noch weitere Regeln:
* Aus <math>T_1 < T_2</math> und <math>T_3 < T_4</math> folgt <math>T_1 + T_3 < T_2 + T_4</math>.
* Aus <math>T_1 \leq T_2</math> und <math>T_3 < T_4</math> folgt <math>T_1 + T_3 < T_2 + T_4</math>.
* Aus <math>T_1 < T_2</math> und <math>T_3 \leq T_4</math> folgt <math>T_1 + T_3 < T_2 + T_4</math>.
* Aus <math>T_1 \leq T_2</math> und <math>T_3 \leq T_4</math> folgt <math>T_1 + T_3 \leq T_2 + T_4</math>.

==== Multiplikation und Division ====
[[Datei:Invariance of less-than-relation by multiplication with positive number.svg|mini|Regel <math>a > 0 \land x < y \Rightarrow ax < ay</math>]]
[[Datei:Inversion of less-than-relation by multiplication with negative number.svg|mini|Regel <math>a < 0 \land x < y \Rightarrow ax > ay</math>]]
Für beliebige Terme <math>T_1</math>, <math>T_2</math> und <math>T_3</math> gilt:

* Aus <math>T_1<T_2</math> folgt <math>-T_1 > -T_2</math>.
* Aus <math>0<T_1<T_2</math> folgt <math>0 < 1/T_2 < 1/T_1 </math>.
* Aus <math>T_3 > 0</math> und <math>T_1<T_2</math> folgt <math>T_1 T_3 < T_2 T_3</math> und <math>T_1/T_3 < T_2/T_3</math>.
* Aus <math>T_3 < 0</math> und <math>T_1<T_2</math> folgt <math>T_1 T_3 > T_2 T_3</math> und <math>T_1 / T_3 > T_2/T_3</math>.

Hier gilt demnach folgende Merkregel:

:''Bei [[Punktrechnung]] mit einer reellen Zahl > 0 bleiben die Vergleichszeichen erhalten, während sie sich bei Punktrechnung mit einer reellen Zahl < 0 umkehren.''

So sind zum Beispiel die Ungleichungen <math>-3x < 12</math> und <math>x > -4</math> äquivalent, wie man mit Hilfe von Division durch <math>-3</math> erkennt.

Darüber hinaus gelten in Bezug auf die Multiplikation innerhalb der [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>(\R^{>0}, \cdot)</math> der [[Positive Zahl|positiven reellen Zahlen]] auch noch weitere Regeln:
* Aus <math>T_1 < T_2</math> und <math>T_3 < T_4</math> folgt <math>T_1 T_3 < T_2 T_4</math>.
* Aus <math>T_1 \leq T_2</math> und <math>T_3 < T_4</math> folgt <math>T_1 T_3 < T_2 T_4</math>.
* Aus <math>T_1 < T_2</math> und <math>T_3 \leq T_4</math> folgt <math>T_1 T_3 < T_2 T_4</math>.
* Aus <math>T_1 \leq T_2</math> und <math>T_3 \leq T_4</math> folgt <math>T_1 T_3 \leq T_2 T_4</math>.

=== Anwenden einer Funktion ===
Durch Anwenden einer [[Streng monotone Funktion|streng monotonen Funktion]] auf beide Seiten einer Ungleichung erhält man wieder eine Ungleichung mit derselben Lösungsmenge wie die Ausgangs-Ungleichung.

Ähnlich wie bei den Monotoniegesetzen allerdings muss auch hier unter Umständen das Vergleichszeichen gedreht werden. Wendet man nämlich eine streng monoton ''wachsende'' Funktion auf beide Seiten an, ändert sich das Vergleichszeichen dadurch nicht, wohl aber, wenn man eine streng monoton ''fallende'' Funktion benutzt: In diesem Fall muss das Vergleichszeichen <math><</math> dann durch das entsprechend umgekehrte Zeichen <math>></math> ersetzt werden, analog das Vergleichszeichen <math>\leq</math> durch das <math>\geq</math>-Zeichen und umgekehrt.

==== Beispiele ====
Der [[Natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]] <math>\ln</math> und die Wurzelfunktion <math>\surd</math> sind streng monoton ''wachsende'' Funktionen und können daher, ohne dass man dabei die Vergleichszeichen drehen müsste, zur Umformung von Ungleichungen verwendet werden. Seien <math>T_1, T_2</math> zwei Terme, gilt dann dementsprechend zum Beispiel

:<math>0 < T_1 < T_2 \Leftrightarrow \ln(T_1) < \ln(T_2) \Leftrightarrow \sqrt{T_1} < \sqrt{T_2}\,.</math>

Vorsicht dagegen ist geboten, wenn es sich um [[Exponentialfunktion]]en handelt, die je nach ihrer Basis <math>a</math> streng monoton steigend, aber auch fallend sein können:

:<math>0 < T_1 < T_2 \Leftrightarrow a^{T_1} < a^{T_2} \quad \mathtt{f\ddot ur \ a > 1, \ aber:} \quad a^{T_1} > a^{T_2} \quad \mathtt{f\ddot ur \ a < 1} .</math>

Gleiches gilt für den Logarithmus zu einer beliebigen Basis <math>a</math>:

:<math>0 < T_1 < T_2 \Leftrightarrow \log_a(T_1) < \log_a(T_2) \quad \mathtt{f\ddot ur \ a > 1, \ aber:} \quad \log_a(T_1) > \log_a(T_2) \quad \mathtt{f\ddot ur \ a < 1} .</math>

Zum Beispiel:
:<math>0 < 0{,}8^n \leq 0{,}05 \quad \mathtt{aber:} \quad n \, \geq \, \log_{{0,8}}(0{,}05) \quad \mathtt{bzw.} \quad n \, \geq \, \frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}8)}</math>
:<math>\log_{{0{,}8}}(0{,}05)\approx13{,}43;\quad n\geq13{,}43</math>

== Lösen von Ungleichungen ==
{{Hauptartikel|Lösen von Ungleichungen}}

Eine Frage beim Umgang mit Ungleichungen ist – ähnlich wie bei der [[Lösung (Mathematik)|Lösung]] von [[Gleichung]]en – die Frage nach der [[Lösungsmenge]] der Ungleichung. Hier ist die Frage zu beantworten, ob und wenn ja welche Elemente der Definitionsbereiche beim Einsetzen in die beiden Terme eine wahre oder falsche Aussage liefern. Eine wichtige Technik zum Finden der Lösungsmenge ist das Umformen der Ungleichung in eine einfachere Form.

== Abschätzungen ==
Häufig ist nicht die Bestimmung einer Lösungsmenge einer Ungleichung von Interesse, sondern es kann auch von Interesse sein, einen Term zusammen mit seiner Definitionsmenge durch einen anderen Term mit der gleichen Definitionsmenge abzuschätzen. Eine Ungleichung <math>T_1 < T_2</math> nennt man dann auch eine Abschätzung und sagt, man habe <math>T_1</math> nach oben durch <math>T_2</math> und umgekehrt <math>T_2</math> nach unten durch <math>T_1</math> abgeschätzt. Eine Abschätzung <math>T_1 < T_2</math> von <math>T_1</math> nach oben wird „vergröbert“, indem man „<math>T_2</math> vergrößert“, das heißt, indem man <math>T_2</math> durch eine Zahl <math>T_3 > T_2</math> ersetzt; nach dem [[Transitivitätsgesetz]] gilt dann auch die Abschätzung <math>T_1 < T_3</math>. Bei der Untersuchung von [[Grenzwert (Folge)|Grenzwerten]] kann man beispielsweise komplizierte Ausdrücke so vergrößern, dass man leichter sehen kann, dass der Grenzwert des Ausgangsterms unter einer [[Obere Schranke|Schranke]] bleibt.<ref>{{Literatur |Autor=Steffen Goebbels, Stefan Ritter |Titel=Mathematik verstehen und anwenden – von den Grundlagen bis zu Fourier-Reihen und Laplace-Transformation |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2018-04-26 |ISBN=978-3-662-57394-5 |Seiten=68 |Online=https://books.google.de/books?id=sppYDwAAQBAJ&pg=PA68&dq=absch%C3%A4tzung+ungleichung&hl=de&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiynvTrzPn5AhWKiv0HHZWpD3EQ6AF6BAgUEAI#v=onepage&q=absch%C3%A4tzung%20ungleichung&f=false |Abruf=2022-09-04}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Harro Heuser |Titel=Lehrbuch der Analysis Teil 1. Mit 811 Aufgaben, zum Teil mit Lösungen |Auflage=17., aktualisierte Aufl |Ort=Wiesbaden |Datum=2009 |ISBN=978-3-8348-0777-9 |Seiten=45 |Online= |Abruf=}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Wladyslaw Sojka |Titel=Einführung in die Analysis |Verlag=BoD – Books on Demand |Datum=2001-09 |ISBN=978-3-8311-2303-2 |Seiten=56 |Online=https://books.google.de/books?id=Xh90rZFlsAsC&pg=PA56&dq=Obere+Absch%C3%A4tzung+untere+Absch%C3%A4tzung+definition&hl=de&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjy8vL0svn5AhWxQvEDHQSVC7IQ6AF6BAghEAI#v=onepage&q=Obere%20Absch%C3%A4tzung%20untere%20Absch%C3%A4tzung%20definition&f=false |Abruf=2022-09-04}}</ref>

== Bekannte Ungleichungen ==
In allen mathematischen Teilgebieten gibt es [[Satz (Mathematik)|Sätze]] zur Gültigkeit von Ungleichungen. Das heißt, gewisse mathematische Aussagen sichern unter bestimmten Umständen die Richtigkeit einer vorgegebenen Ungleichung für eine gewisse Definitionsmenge. Im Folgenden werden einige wichtige Ungleichungen kurz erwähnt.

=== Dreiecksungleichung ===
{{Hauptartikel|Dreiecksungleichung}}

Nach der Dreiecksungleichung ist im [[Dreieck]] die Summe der Längen zweier Seiten <math>a</math> und <math>b</math> stets mindestens so groß wie die Länge der dritten Seite <math>c</math>. Das heißt formal <math>c \leq a + b</math>.

Diese Ungleichung kann für viele mathematische Objekte verallgemeinert werden. Beispielsweise ist die Ungleichung
:<math>|a+b| \le |a|+|b|</math>
für die [[Betragsfunktion]] eine Verallgemeinerung der zuvor genannten Ungleichung und gilt für alle reellen Zahlen. Sie trägt ebenfalls den Namen Dreiecksungleichung. Diese Ungleichung kann auch für Betrag [[Komplexe Zahl|komplexer Zahlen]] oder für [[Integralrechnung|Integrale]] verallgemeinert werden (siehe [[Minkowski-Ungleichung]]).

=== Cauchy-Schwarz-Ungleichung ===
{{Hauptartikel|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung}}

Sei <math>V</math> [[Prähilbertraum]] also ein [[Vektorraum]] mit [[Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle</math> und seien <math>x</math> und <math>y</math> Elemente aus <math>V</math>, dann gilt immer die Ungleichung

:<math>|\langle x,y \rangle|^2 \leq \langle x, x\rangle \cdot \langle y,y\rangle \,.</math>

Gleichheit gilt genau dann, wenn <math>x</math> und <math>y</math> [[linear abhängig]] sind. Vektorräume mit Skalarprodukt treten in vielen mathematischen Teilgebieten auf. Daher ist die [[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] auch in vielen Teildisziplinen der Mathematik von Bedeutung, beispielsweise wird sie in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]], der [[Integralrechnung|Integrationstheorie]] und in der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] verwendet.

== Erweiterung des Begriffes ==
Bis jetzt wurden in diesem Artikel nur Ungleichungen betrachtet, deren Terme Werte in den reellen Zahlen annehmen. Der Ungleichungsbegriff wird gelegentlich – jedoch ''nicht'' einheitlich – zum Beispiel auf [[komplexe Zahlen]], [[Vektor]]en oder [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] erweitert. Um Ungleichungen für diese Objekte betrachten zu können, müssen zuerst die vier Vergleichszeichen <, ≤, > und ≥ – im Folgenden auch Relationen genannt – für diese Objekte definiert werden.

=== Komplexe Zahlen ===
Die Menge der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>\mathbb{C}</math> ist zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation ein [[Körper (Algebra)|Körper]], jedoch ist es nicht möglich eine Relation ≤ so zu wählen, dass <math>(\mathbb{C},+,\times,\le)</math> zu einem [[Geordneter Körper|geordneten Körper]] wird. Das heißt, es ist nicht möglich, dass eine Relation auf <math>(\mathbb{C},+,\times,\le)</math> sowohl das [[Trichotomie]]-, das Transitivitäts- und das Monotoniegesetz erfüllt. Jedoch wird manchmal eine Relation, die durch
:<math>x < y :\Leftrightarrow \operatorname{Re}(x) < \operatorname{Re}(y) \lor \left(\operatorname{Re}(x) = \operatorname{Re}(y) \land \operatorname{Im}(x) < \operatorname{Im}(y)\right)</math>
definiert ist, betrachtet. Hierbei bezeichnen <math>x,y</math> komplexe Zahlen und <math>\operatorname{Re}</math> den [[Realteil]] beziehungsweise <math>\operatorname{Im}</math> den [[Imaginärteil]] einer komplexen Zahl. Diese Definition der Relation erfüllt das Trichotomie- und das Transitivitätsgesetz.<ref>Tobias Hemmert: ''Komplexe Zahlen: Konstruktion aus den reellen Zahlen, Darstellung und Anwendung in der Physik''. 1. Auflage, 2010, ISBN 978-3-656-00717-3, Seite 7.</ref>

=== Spaltenvektoren ===

Auch für [[Spaltenvektor]]en ist es möglich Relationen zu definieren. Seien <math>x,y\in\mathbb{R}^n</math> zwei Spaltenvektoren mit <math>x = (x_1,x_2,\ldots,x_n)^T</math> und <math>y = (y_1,y_2,\ldots,y_n)^T</math> wobei <math>x_i</math> and <math>y_i</math> reelle Zahlen sind. Relationen auf <math>\R^n</math> kann man dann beispielsweise durch

:<math>x < y :\Leftrightarrow i=1,\ldots,n:\ x_i < y_i</math>

und durch
:<math>x \leq y :\Leftrightarrow i=1,\ldots,n:\ x_i \leq y_i</math>

definieren. Analog kann man auch die Relationen ≥ und > erklären. Hier ist es allerdings nicht möglich, alle Elemente miteinander zu vergleichen. Beispielsweise kann keines der vier Vergleichszeichen ein Verhältnis zwischen den Elementen <math>x := (2,5)^T</math> und <math>y := (3,4)^T</math> beschreiben.

=== Weitere Beispiele ===
* Ist <math>A\in\R^{n \times n}</math>, so definiert man <math>A>0</math> genau dann, wenn <math>A</math> [[Definitheit|positiv definit]] ist. Sind <math>A,B\in\R^{n \times n}</math>, so gilt <math>A>B</math> genau dann, wenn <math>A-B>0</math>. Ähnlich können auch <math><</math> oder <math>\le,\ge</math> (semidefinit) definiert werden.
* Sei <math>(E,\|\cdot\|)</math> ein reeller [[Banachraum]] und <math>K\subseteq E</math> ein [[Kegel (Geometrie)|Kegel]]. Sind <math>x,y\in E</math>, so gilt <math>x\le y</math> genau dann, wenn <math>y-x\in K</math>.

== Geschichte ==
Schon in der [[Antike]] waren Ungleichungen geometrischer Natur bekannt. In Euklids [[Die Elemente|Elementen]] werden die [[Dreiecksungleichung]], die Ungleichung vom arithmetischen und [[Geometrisches Mittel|geometrischen Mittel]] für den zweidimensionalen Fall und die [[isoperimetrische Ungleichung]] angegeben. Strenge Beweise zogen sich aber bis ins 19. und 20. Jahrhundert hin. Die Art und Weise, wie [[Archimedes]] eine Näherung für die [[Kreiszahl]] berechnete, zeigt, dass die Griechen ein Verständnis dafür hatten, wie man mit Ungleichungen umgeht. Danach gab es lange Zeit keine größeren Fortschritte mehr, ehe [[Isaac Newton|Newton]] seine [[Newtonsche Ungleichungen|nach ihm benannten Ungleichungen]] im 17. Jahrhundert entdeckte, die in einer [[Maclaurin-Ungleichung|ähnlichen Form]] seinem Zeitgenossen [[Colin Maclaurin]] bekannt waren. Mit dem Aufkommen der [[Analysis]] kam ein großer Aufschwung in die Forschung der Ungleichungen auf, weshalb die meisten Ungleichungen nach Mathematikern nach dem 17. Jahrhundert benannt sind.<ref>A. M. Fink: ''An essay on the history of inequalities'' in: ''Journal of Mathematical Analysis and Applications'', Band 249, S. 120 ff.</ref>

Seit dem 20. Jahrhundert gibt es auch das Interesse, das Gebiet der Ungleichungen selbst zu erforschen. Die Mathematiker [[Godfrey Harold Hardy|G. H. Hardy]], [[John Edensor Littlewood|J. E. Littlewood]] und [[George Polya|G. Pólya]] veröffentlichten mit dem 1934 erschienenen Buch ''Inequalities'' eine erste systematische Sammlung der Ungleichungen mit Angaben des Entdeckers.<ref>{{Literatur
|Autor=[[Godfrey Harold Hardy|G. H. Hardy]], [[John Edensor Littlewood|J. E. Littlewood]], [[George Polya|G. Pólya]]
|Titel=Inequalities
|TitelErg=Reprint (of the 2. edition 1952)
|Verlag=[[Cambridge University Press]]
|Ort=Cambridge
|Datum=1964}}</ref> Eines der umfangreichsten Werke ist das von [[Dragoslav Mitrinović]], der in mehreren Büchern versuchte, alle damals bekannten Ungleichungen zu sammeln.

== Siehe auch ==
* [[Ungleichung von Guha]]
* [[Ungleichung von Hilbert]]
* [[Ungleichung von Mulholland]]
* [[Ungleichung von Popoviciu]]
* [[Wallissche Ungleichungen]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Edwin F. Beckenbach]], [[Richard Bellman]]
|Titel=Inequalities
|Reihe=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete
|BandReihe=30
|Auflage=4.
|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]
|Ort=Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo
|Datum=1983
|ISBN=3-540-03283-5}}
* {{Literatur
|Hrsg=Walter Gellert, [[Herbert Kästner]], Siegfried Neuber
|Titel=Fachlexikon ABC Mathematik
|Verlag=Verlag Harri Deutsch
|Ort=Thun und Frankfurt/Main
|Datum=1978
|ISBN=3-87144-336-0}}
* {{Literatur
|Autor=[[Godfrey Harold Hardy|G. H. Hardy]], [[John Edensor Littlewood|J. E. Littlewood]], [[George Polya|G. Pólya]]
|Titel=Inequalities
|TitelErg=Reprint (of the 2. edition 1952)
|Verlag=[[Cambridge University Press]]
|Ort=Cambridge
|Datum=1964}}
* {{Literatur
|Autor=[[Harro Heuser]]
|Titel=Lehrbuch der Analysis
|TitelErg=Teil 1
|Auflage=17.
|Verlag=[[Springer Vieweg|Vieweg+Teubner Verlag]]
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2009
|ISBN=978-3-8348-0777-9
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=AUCN&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Heuser&s5=Analysis&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=2&mx-pid=2502662 MR2502662]}}
* * {{Literatur
|Autor=[[Dragoslav Mitrinović|D. S. Mitrinović]]
|Titel=Analytic Inequalities
|TitelErg=In cooperation with [[Petar Vasić|P. M. Vasić]]
|Reihe=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete
|BandReihe=165
|Verlag=[[Springer Science%2BBusiness Media|Springer Verlag]]
|Ort=Berlin, Heidelberg, New York
|Datum=1970
|ISBN=978-3-642-99972-7
|DOI=10.1007/978-3-642-99970-3
|Online=[https://zbmath.org/0199.38101 --> zbMATH Open]}}

∞== Einzelnachweise und Fußnoten ==
<references />

[[Kategorie:Ungleichung| ]]

Ungleichung - Versionsgeschichte

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