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'''Unendliche Menge ''' ist ein Begriff aus der [[Mengenlehre]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]]. Schon die Verwendung der negierenden Vorsilbe ''un'' legt folgende Definition nahe:

* Eine Menge heißt unendlich genau dann, wenn sie nicht endlich ist.

Mit Hilfe der Definition der [[Endliche Menge|endlichen Menge]] lässt sich das wie folgt umformulieren:

* Eine Menge ist unendlich genau dann, wenn es keine natürliche Zahl <math>n</math> gibt, so dass die Menge gleichmächtig zu <math>\{0,1,\ldots,n-1\}</math> ist (für <math>n=0</math> ist das die [[leere Menge]]);

mit dem [[Natürliche Zahlen#Von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen|von-Neumannschen Modell]] der natürlichen Zahlen noch kompakter als:

* Eine Menge ist unendlich genau dann, wenn sie nicht gleichmächtig zu einer natürlichen Zahl (gemäß ihrer von-Neumannschen Darstellung) ist.

Beispiele für unendliche Mengen sind die Menge der [[Natürliche Zahlen|natürlichen Zahlen]] <math>\N = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}</math> oder die Menge <math>\R</math> der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]].

== Dedekind-Unendlichkeit ==
[[Richard Dedekind]] definierte in seiner Schrift ''[[Was sind und was sollen die Zahlen?]]''<ref>Richard Dedekind: ''Was sind und was sollen die Zahlen?. Stetigkeit und Irrationale Zahlen'', Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden, 1965, S. 13 ff.</ref>

* Eine Menge gilt als unendlich genau dann, falls sie zu einer echten [[Teilmenge]] gleichmächtig ist.

Genauer spricht man in diesem Fall von Dedekind-Unendlichkeit. Der Vorteil dieser Definition ist, dass sie keinen Bezug auf die [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] nimmt. Die Äquivalenz zur eingangs definierten Unendlichkeit erfordert allerdings das [[Auswahlaxiom]]. Dass Dedekind-unendliche Mengen unendlich sind, ist klar, da eine endliche Menge zu einer echten Teilmenge nicht gleichmächtig sein kann.

Ist umgekehrt <math>A</math> eine unendliche Menge, so wähle man mit Hilfe des Auswahlaxioms rekursiv Elemente
:<math>a_0 \in A </math>
:<math>a_1 \in A \setminus \{a_0\}</math>
:<math>\ldots</math>
:<math>a_n \in A \setminus \{a_0,\ldots,a_{n-1}\}</math>
:<math>\ldots</math>

Da <math>A</math> unendlich ist, kann niemals <math>A=\{a_0,\ldots,a_{n-1}\}</math> sein, weshalb die Wahl eines neuen <math>a_n</math> stets möglich ist.
Die Abbildung
:{|
|-
|rowspan="2" style="vertical-align:middle"| <math>f\colon A\rightarrow A\setminus \{a_0\},\quad a\mapsto
\begin{cases}
\\
\\
\end{cases}
</math>
| <math>a_{n+1}</math> ||   , falls   <math>a=a_n </math>   für ein   <math>n </math>
|-
| <math>a</math> ||   , sonst
|}
ist [[wohldefiniert]], da das <math>n </math> mit <math>a=a_n </math> eindeutig ist.
Sie zeigt, dass <math>A</math> zur echten Teilmenge <math>A\setminus \{a_0\}</math> gleichmächtig und daher Dedekind-unendlich ist.

Ohne eine zumindest schwache Version des Auswahlaxioms (i. d. R. das [[Abzählbares Auswahlaxiom|abzählbare Auswahlaxiom]]) kann man nicht zeigen, dass unendliche Mengen auch Dedekind-unendlich sind.

== Existenz unendlicher Mengen ==
In der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]], das heißt in der üblichen, von den meisten Mathematikern akzeptierten Grundlage der Mathematik, ist die Existenz unendlicher Mengen durch ein Axiom, das sogenannte [[Unendlichkeitsaxiom]], gefordert. In der Tat kann man die Existenz unendlicher Mengen nicht aus den übrigen Axiomen erschließen. Dieses Unendlichkeitsaxiom wird von manchen Mathematikern, sogenannten [[Konstruktive Mathematik|Konstruktivisten]], kritisiert, da die Existenz unendlicher Mengen nicht aus logischen Axiomen beweisbar ist. Daher werden unendliche Mengen auch in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre verdächtigt, möglicherweise zu Widersprüchen zu führen, obwohl die russellsche Antinomie dort nicht möglich ist. In der Tat kann die [[Widerspruchsfreiheit]] der Mengenlehre und damit der Mathematik nach dem auf [[Kurt Gödel]] zurückgehenden [[Unvollständigkeitssatz]] nicht bewiesen werden. Für eine weitergehende Diskussion siehe ''[[Potentielle und aktuale Unendlichkeit]]''.

== Unterschiedliche Mächtigkeiten unendlicher Mengen ==

Die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeiten]] endlicher Mengen sind die natürlichen Zahlen; schwieriger und interessanter ist die Idee, den Begriff der Mächtigkeit auch auf unendliche Mengen auszuweiten.

Der [[Mengenlehre|mengentheoretische]] Begriff des Unendlichen wird noch interessanter, da es verschiedene Mengen gibt, die unendlich viele Elemente besitzen, die aber nicht [[Bijektive Funktion|bijektiv]] aufeinander abgebildet werden können. Diese unterschiedlichen Mächtigkeiten werden mit dem Symbol <math>\aleph</math> ([[Aleph]], der erste Buchstabe des [[Hebräische Schrift|hebräischen]] Alphabets) und einem (anfangs ganzzahligen) Index bezeichnet, die Indizes durchlaufen die [[Ordinalzahlen]].

Die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen <math>\N</math> (die kleinste Unendlichkeit) ist in dieser Schreibweise <math>\aleph_0</math>. Obwohl die natürlichen Zahlen eine echte [[Teilmenge]] der [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] <math>\mathbb Q</math> sind, besitzen beide Mengen <math>\N</math> und <math>\mathbb Q</math> dieselbe Mächtigkeit <math>\aleph_0</math>. (→ [[Cantors erstes Diagonalargument]])

Die [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] bilden eine unendliche Menge, die mächtiger als die Menge der natürlichen und rationalen Zahlen ist; sie ist [[Überabzählbarkeit|überabzählbar]]. Man spricht auch von der Kardinalität der überabzählbaren Mengen erster Stufe. (→ [[Cantors zweites Diagonalargument]])

Die [[Kontinuumshypothese]] ist die Behauptung, dass die Mächtigkeit der reellen Zahlen gleich <math>\aleph_1</math> ist, also die nach <math>\aleph_0</math> nächstgrößere Mächtigkeit. Sie ist allein mit den üblichen [[Axiom]]en der Mengenlehre ([[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre|ZFC]]) weder [[Beweisbarkeit|beweisbar]] noch [[Widerspruchsbeweis|widerlegbar]].

Zu jeder unendlichen Menge lassen sich weitere Unendlichkeiten mittels Bildung der [[Potenzmenge]] (Menge aller Teilmengen) konstruieren. Der [[Satz von Cantor]] sagt aus, dass die Mächtigkeit einer Potenzmenge größer als die Mächtigkeit der Ausgangsmenge ist.
Ob durch Potenzmengenbildung aus einer Menge mit Mächtigkeit <math>\aleph_n</math> eine Menge der nächstgrößeren Mächtigkeit <math>\aleph_{n+1}</math> entsteht oder einige Größenordnungen übersprungen werden, ist ein klassisches Problem der Mengenlehre (die verallgemeinerte [[Kontinuumshypothese]]). Dieser Vorgang kann (formal) immer weitergeführt werden, so dass es unendlich viele [[Unendlichkeit]]en gibt.

Es gibt in der Mengenlehre mehrere Zahlensysteme, die unendlich große Zahlen enthalten. Die bekanntesten sind [[Ordinalzahl]]en, [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahlen]], [[hyperreelle Zahl]]en und [[surreale Zahl]]en.

== Siehe auch ==
* [[Aleph-Funktion]]
* [[Endliche Menge]]
* [[Hilberts Hotel]]
* [[Tarski-Endlichkeit]]
* [[Unendlichkeit]]

== Literatur ==
* [[Harro Heuser]]: ''Lehrbuch der Analysis. Teil 1'', Vieweg+Teubner, ISBN 978-3-8348-0777-9, Seiten 137 ff.
* Oliver Deiser: ''Einführung in die Mengenlehre'', Springer Berlin 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, Seiten 91–108.
* [[David Foster Wallace]]: [[Georg Cantor: Der Jahrhundertmathematiker und die Entdeckung des Unendlichen]], Piper Verlag 2007, gebundene Ausgabe, ISBN 3-492-04826-9

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Mengenlehre]]

Unendliche Menge - Versionsgeschichte

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