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2025-01-25T12:47:29Z

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Der Begriff '''Unbestimmte''' (engl. ''indeterminate'') wird in der [[Mathematik]] und dort insbesondere in der [[Abstrakte Algebra|abstrakten Algebra]] für eine ''freie'' [[Erzeugendensystem|Erzeugende]] eines [[Polynomring]]s oder eines [[Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihenrings]] verwendet. Man notiert sie vorzugsweise als Großbuchstaben, bspw. <math>X,Y</math> oder auch <math>T.</math> Unabhängig von einem erforderlichen [[Ring (Algebra)|(unitären) Grundring]] <math>R,</math> in dem sich die ''[[Koeffizient]]en'' der Polynome oder Potenzreihen befinden, erzeugen die Unbestimmten ein [[Freie Gruppe#Konstruktion|freies]] [[Monoid]] <math>M</math> ([[Halbgruppe]] mit Eins), das stets multiplikativ geschrieben und meist [[Kommutativgesetz|kommutativ]] gebraucht wird.

Aber auch wenn [[Inverses Element|Inverse]] von Elementen dazu kommen, so dass <math>M</math> eine (freie, kommutative oder nicht kommutative) [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] ist, spricht man von Unbestimmten.

So betrachtet ist eine Unbestimmte nicht mehr als ein Symbol <math>X</math>, das (direkt oder auch in seiner inversen Form <math>X^{-1}</math>) mit anderen solchen zu Symbolfolgen zusammengestellt wird. In den genannten Anwendungen Polynom und Potenzreihe „markiert“ eine solche Folge von Symbolen (ein [[Freie Gruppe#Wortproblem|„Wort“]]) einen Koeffizienten aus dem {{nowrap|Grundring <math>R</math>.}} [[Koeffizientenvergleich]] und Rechenregeln (wie die komponentenweise Addition) beziehen sich auf diese Markierung.

Eine Unbestimmte kann niemals [[Nullstelle]] eines Polynoms sein und entspricht in dieser Hinsicht einer [[Transzendente Zahl|Transzendenten]].

Der Polynomring in der Unbestimmten <math>X</math> über <math>R</math> wird mit <math>R[X]</math> und der Ring der formalen Potenzreihen mit <math>R[[X]]</math> bezeichnet.

== Monoid, Gruppe ==
Für die [[Wort (Theoretische Informatik)#Konkatenation|Verkettung]] von <math>n\in\N</math> Symbolen <math>X</math> verwendet man die (übliche) Potenzschreibweise
:<math>\underbrace{X\cdot\ldots\cdot X}_{n\text{ Symbole}} =: X^n </math>
und hat
:<math>\forall m,n\in \N \colon \qquad X^m\cdot X^n = X^{m+n}. </math>
Sind mehrere Unbestimmte beteiligt, dann werden solche [[Monom]]e ihrerseits verkettet (hintereinandergeschrieben). Wenn dann die Unbestimmten untereinander kommutieren, kann man in einem Monom alle Potenzen derselben Unbestimmten zu ''einer'' Potenz zusammenfassen.

Die ''leeren'' Markierungen
:<math>X^0 = Y^0 = T^0 = 1</math>
werden als gleich angesehen. Es gibt also nur ''eine'' leere Markierung, die ''das'' sog. „konstante“ Glied markiert.

Ist <math>M</math> eine Gruppe, kommen also Inverse dazu, dann kann man im kommutativen Fall (wie oben) alle Potenzen derselben Unbestimmten zu einer Potenz zusammenfassen.
Soll die Verkettung der Unbestimmten aber nichtkommutativ sein, dann gelten immer die Kürzungsregeln<ref>Die [[Quaternionen#Quotientenalgebra|Quaternionen]] können als [[Faktorring]] eines nichtkommutativen Polynomrings <math>\R\langle I,J,K\rangle</math> in den drei Unbestimmten <math>I,J,K</math> modulo dem von den Hamilton-Regeln (als zusätzlicher Kürzungsregeln) erzeugten (beidseitigen) [[Ideal (Ringtheorie)|Ideal]] konstruiert werden.</ref>
:<math>\forall u,v \in M \colon \qquad u \cdot X \cdot X^{-1} \cdot v = u \cdot v </math>
und
:<math>\forall u,v \in M \colon \qquad u \cdot X^{-1} \cdot X \cdot v = u \cdot v.</math>
Ein Polynom (oder eine formale Potenzreihe) korrespondiert mit einer Abbildung
:<math>\alpha \colon M \to R</math>
(der „Markierung“) und wird geschrieben als <math>\sum_{u\in M} \alpha(u)\cdot u.</math>

== Monome ==
Diese aus verketteten Unbestimmten gebildeten [[Monom]]e markieren einen Koeffizienten aus <math>R</math>. Für die Identität eines Polynoms oder einer formalen Potenzreihe ist es dabei wichtig, dass alle Monome mit gleicher Markierung zu einem ''einzigen'' Monom zusammengefasst (aufsummiert) sind.

Im Falle mehrerer Unbestimmter kann es interessant sein, deren Rolle in unterschiedlichen Varianten zu betrachten.

'''Beispiel'''

Das Polynom in zwei „Variablen“ (den Unbestimmten) <math>X,Y</math>
{|
|style="width:1.2em"|
|style="width:6em"| <math>X+</math>
|style="width:6em"| <math>2\cdot X\cdot Y+</math>
|style="width:6em"| <math>3\cdot Y</math>
|}
hat über dem Grundring <math>\Z</math> die drei Monome
{|
|style="width:1.2em"|
|style="width:6em"| <math>X,</math>
|style="width:6em"| <math>{\color{Gray} 2\cdot} X\cdot Y,</math>
|style="width:6em"| <math>{\color{Gray} 3\cdot} Y,</math>
|}
über dem Grundring <math>\Z[Y]</math> die zwei Monome
{|
|style="width:1.2em"|
|style="width:12em"| <math>{\color{Gray} (1+2\cdot Y)\cdot} X,</math>
|style="width:6em"| <math>{\color{Gray} 3\cdot Y \cdot} X^0</math>
|}
und über dem Grundring <math>\Z[X]</math> die zwei Monome
{|
|style="width:1.2em"|
|style="width:6em"| <math>{\color{Gray} X \cdot} Y^0,</math>
|style="width:12em"| <math>{\color{Gray} (2\cdot X+3)\cdot} Y</math>
|}
jeweils mit anderen, in blasser Schrift gehaltenen Koeffizienten.

== Polynome ==
Ein Polynom in einer Unbestimmten <math>X</math> ist ein Ausdruck der Form
:<math>a_0 + a_1X + a_2X^2 + \ldots + a_nX^n,</math>
bei dem <math>n\in \N_0</math> eine nicht-negative [[ganze Zahl]] ist und die <math>a_i \in R</math> Koeffizienten genannt werden. Ein Koeffizient <math>a_i:=a_{X^i}</math> wird durch das (multiplikativ) beigestellte <math>X^i</math> „markiert“. Die Menge aller Polynome in (der Unbestimmten) <math>X</math> über einem unitären Ring <math>R</math> ist ebenfalls ein (unitärer) Ring mit Eins, der ''Polynomring in <math>X</math> über'' <math>R,</math> der mit <math>R[X]</math> bezeichnet wird.

Sind mehrere, aber endlich viele Unbestimmte beteiligt, dann ist
:<math>R[X_1, \ldots, X_n] = R[X_1, \ldots, X_{n-1}][X_n].</math>
Handelt es sich um eine [[unendliche Menge]] von Unbestimmten, dann schreibt man den Polynomring als [[Monoidring]] <math>R[M],</math> mit <math>M</math> als dem von den Unbestimmten erzeugten Monoid.

Um Nichtkommutativität auszudrücken, schreibt man <math>R\langle X,Y\rangle</math> und {{nowrap|<math>R\langle M \rangle</math>.}}

Zwei Polynome sind dann und nur dann gleich, wenn sie in den Koeffizienten mit derselben Markierung übereinstimmen.

Im Gegensatz dazu können zwei Polynomfunktionen in einer [[Abhängige und unabhängige Variable|(unabhängigen) Variablen]] <math>X</math> übereinstimmen oder nicht, je nachdem welchen Wert solches <math>X</math> hat.

Der Formalismus der Addition und Multiplikation von Polynomen – und die Beziehung zwischen Polynom und Polynomfunktion – wird im
{{Hauptartikel|Polynomring}}
beschrieben.

== Formale Potenzreihen ==
Eine formale Potenzreihe in einer Unbestimmten <math>X</math> ist ein Ausdruck der Form
:<math>a_0 + a_1X + a_2X^2 + \ldots ,</math>
bei dem im Gegensatz zu den Polynomen ''unendlich'' viele Koeffizienten <math>a_i \in R</math> von 0 verschieden sein können. Die Menge aller formalen Potenzreihen in (der Unbestimmten) <math>X</math> über einem unitären Ring <math>R</math> ist ebenfalls ein (unitärer) Ring, der ''Ring der formalen Potenzreihen in <math>X</math> über'' <math>R,</math> der mit <math>R[[X]]</math> bezeichnet wird.

Sind mehrere, aber endlich viele Unbestimmte beteiligt, dann ist
:<math>R[[X_1, \ldots, X_n]] = R[[X_1, \ldots, X_{n-1}]][[X_n]].</math>
Bei beliebig (möglicherweise unendlich) vielen Unbestimmten findet sich im nichtkommutativen Fall die Bezeichnung {{nowrap|<math>R\langle\langle M \rangle\rangle</math>.}}<ref>{{Literatur |Autor=Helmut Koch |Titel=Algebraic Number Theory |Auflage=2. Druck der 1. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg / Singapore / Tokyo / New York / Barcelona / Budapest / Hongkong / London / Milan / Paris / Santa Clara |Datum=1997 |Reihe=Encyclopaedia of Mathematical Sciences |BandReihe=62 |Sprache=en |ISBN=978-3-540-63003-6 |Seiten=167}}</ref>

Zwei formale Potenzreihen sind dann und nur dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen.

Der Formalismus der Addition und Multiplikation von formalen Potenzreihen wird im
{{Hauptartikel|Formale Potenzreihe}}
erklärt.

Diese Potenzreihen tragen den Beinamen „formal“, weil es definitionsgemäß auf eine [[Potenzreihe|Konvergenz]] nicht ankommt. Kommen auch Potenzen mit ''negativen'' Exponenten vor, so spricht man von formalen [[Laurent-Reihe]]n.

Dafür, dass ein (Ring-)Objekt <math>x\in R</math> in eine formale Potenzreihe in <math>X</math> „eingesetzt“ werden kann, müssen jedoch einige Voraussetzungen hinsichtlich [[Vollständiger Raum|Vollständigkeit]] von <math>R</math> und Konvergenz der <math>a_i</math> erfüllt sein. Für reelles und komplexes <math>R</math> sind diese im
{{Hauptartikel|Potenzreihe}}
beschrieben.

== Anmerkungen ==
<references />

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Hans-Joachim Vollrath |Titel=Algebra in der Sekundarstufe |Verlag=BI Wissenschaftsverlag |Ort=Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich |Datum=1994 |ISBN=978-3-411-17491-1 |Seiten=68}}

[[Kategorie:Ringtheorie]]
[[Kategorie:Polynom]]
[[Kategorie:Theorie der Polynome]]

Unbestimmte - Versionsgeschichte

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