imported>Mathze: /* Radius */

2025-07-01T15:01:36Z

Radius

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[[Datei:Circumscribed Polygon.svg|mini|hochkant=1.0|Unregelmäßiges Achteck mit Umkreis]]

In der ebenen [[Geometrie]] ist ein '''Umkreis''' ein [[Kreis]], der durch alle [[Eckpunkt]]e eines [[Polygon]]s (Vielecks) geht.

Nicht für jedes Polygon existiert ein solcher Umkreis. Allgemein besitzt ein [[Konvexe Menge|konvexes]] Polygon genau dann einen Umkreis, wenn die [[Mittelsenkrechte]]n aller Seiten einander in einem Punkt schneiden. In diesem Fall ist der gemeinsame Punkt der Mittelpunkt des Umkreises.

== Umkreis eines Dreiecks ==
[[Datei:Umkreismittelpunkt.svg|mini|hochkant=1.0|Dreieck mit Mittelsenkrechten und Umkreis]]
Eine besonders große Bedeutung hat der Umkreis in der [[Dreiecksgeometrie]]. Jedes (nichtentartete) [[Dreieck]] besitzt einen Umkreis, wie im Folgenden begründet wird.

Alle Punkte der Mittelsenkrechten zu <math>[AB]</math> sind von <math>A</math> und <math>B</math> gleich weit entfernt. Entsprechend haben die Punkte der Mittelsenkrechten zu <math>[BC]</math> übereinstimmende Entfernungen von <math>B</math> und <math>C</math>. Der Schnittpunkt dieser beiden Mittelsenkrechten ist daher von allen drei Ecken (<math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math>) gleich weit entfernt (er existiert, weil die drei Eckpunkte eines Dreiecks nicht [[kollinear]] sind). Er muss also auch auf der dritten Mittelsenkrechten liegen. Zeichnet man um diesen Schnittpunkt einen Kreis, der durch eine Ecke des Dreiecks geht, so müssen auch die anderen Ecken auf diesem Kreis liegen.

Der Umkreismittelpunkt, also der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, zählt zu den [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck|ausgezeichneten Punkten]] des Dreiecks. Er trägt die [[Kimberling-Nummer]] <math>X_3</math>.

=== Sonderfälle ===
* Beim [[Spitzwinkliges Dreieck|spitzwinkligen Dreieck]] liegt der Umkreismittelpunkt im Inneren des Dreiecks.
* Beim [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreieck]] ist der Mittelpunkt der Hypotenuse zugleich Umkreismittelpunkt (siehe [[Satz des Thales]]).
* Beim [[Stumpfwinkliges Dreieck|stumpfwinkligen Dreieck]] (mit einem Winkel über 90°) befindet sich der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.

=== Radius ===
[[Datei:01-Dreieck, allgemein.svg|rechts|258px]]
[[Datei:01-Dreieck, gleichseitig-2.svg|rechts|250px]]

Der Umkreisradius eines Dreiecks lässt sich mit dem [[Sinussatz]] berechnen:
:<math>r_u = \frac{a}{2 \cdot \sin(\alpha)} = \frac{b}{2 \cdot \sin(\beta)} = \frac{c}{2 \cdot \sin(\gamma)}</math>

Dabei stehen die Bezeichnungen <math>a, b, c</math> für die Seitenlängen und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> für die Größen der den Seiten mit den Längen <math>a, b, c</math> gegenüberliegenden [[Innenwinkel]]. Durch [[Erweitern]] obiger Brüche mit einer Dreiecksseite entstehen Formeln mit den Höhen <math>h_a, h_b</math> und <math>h_c</math> der von <math>A<, B</math> bzw. <math>C</math> ausgehenden Höhen des Dreiecks <math>ABC</math>:<ref name="Johnson">{{Literatur
| Autor=R. A. Johnson
| Titel=Advanced Euclidean Geometry
| TitelErg=An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle
| Verlag=Dover Publications
| Ort=New York
| Datum=1960
| ISBN=978-0-486-15498-5
| Seiten=71
| Online=https://idoc.pub/documents/advanced-euclidean-geometry-roger-johnson-dover-1960pdf-546g10zqq7n8
| Abruf=2025-01-29
}}</ref>
:<math>r_u = \frac{ab}{2h_c} = \frac{bc}{2h_a} = \frac{ca}{2h_b}</math>

Der [[Dreiecksfläche|Flächeninhalt]] <math>A</math> lässt sich z. B. mit Hilfe der [[Heronische Formel|heronischen Formel]] berechnen und es gilt
:<math>r_u = \frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot A}</math>.

Für den Spezialfall des [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreiecks]] ergibt das
:<math>r_u = \frac{a}{\sqrt{3}}</math>.

=== Koordinaten ===
Die [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] <math>(x_u,y_u)</math> des Umkreismittelpunkts können aus den kartesischen Koordinaten der Eckpunkte berechnet werden. Die Koordinaten der drei Eckpunkte seien <math>(x_1,y_1)</math>, <math>(x_2,y_2)</math> und <math>(x_3,y_3)</math>.

Mit den [[Determinante]]n
{| cellpadding="30"
| <math>A = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{vmatrix},</math>
| <math>B = \begin{vmatrix} x_1^2+y_1^2 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & y_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2 & y_3 & 1\end{vmatrix},</math>
| <math>C = \begin{vmatrix} x_1^2+y_1^2 & x_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & 1\end{vmatrix},</math>
| <math>D = \begin{vmatrix} x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 \end{vmatrix}</math>
|}
ergibt sich
<math>x_u = \frac{B}{2 A}</math>, <math>y_u = \frac{-C}{2 A}</math> und <math>r_u = \sqrt{\frac{B^2+C^2}{4A^2} + \frac{D}{A}}</math>.

Liegen die Punkte auf einer Geraden, so ist <math>A = 0</math> und es gibt keine Lösung.

Ohne Determinanten formuliert gilt:

Mit
:<math>d = 2 (x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2))</math>
erhält man die kartesischen Koordinaten des Umkreismittelpunkts durch
:<math>x_u = \frac {(x_1^2 + y_1^2) (y_2 - y_3) + (x_2^2 + y_2^2) (y_3 - y_1) + (x_3^2 + y_3^2) (y_1 - y_2)} {d},</math>
:<math>y_u = \frac {(x_1^2 + y_1^2) (x_3 - x_2) + (x_2^2 + y_2^2) (x_1 - x_3) + (x_3^2 + y_3^2) (x_2 - x_1)} {d}</math>.

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="2" align="center"
|----
! bgcolor="#c0c0ff" colspan="2" align="center" | Umkreismittelpunkt eines Dreiecks <math>\left(X_3\right)</math><ref>{{Internetquelle |autor=Clark Kimberling |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#Circumcenter |titel=Enyclopedia of Triangle Centers, X(3) = CIRCUMCENTER |werk=faculty.evansville.edu |abruf=2025-01-14}}</ref>
|----
! align="left" | [[Trilineare Koordinaten]]
|<math>\cos\alpha \,: \, \cos\beta \,: \, \cos\gamma</math>
<math>a(b^2+c^2-a^2) \,: \, b(c^2+a^2-b^2) \,: \, c(a^2+b^2-c^2)</math>
|----
! align="left" | [[Baryzentrische Koordinaten]]
|<math>\sin(2\alpha) \,: \, \sin(2\beta) \,: \, \sin(2\gamma)</math>
|}

Der Umkreis selbst hat in baryzentrischen Koordinaten <math>(x : y : z)</math> die Gleichung<ref>{{Internetquelle |autor=Max Schindler, Evan Chen |url=https://web.evanchen.cc/handouts/bary/bary-short.pdf |titel=Barycentric Coordinates for the Impatient |datum=2012 |seiten=2, Corollary 9 |abruf=2025-01-16 |format=PDF |sprache=en}}</ref>
:<math>a^2 y z + b^2 x z + c^2 x y = 0.</math>

=== Koordinaten mithilfe von Inkreis und Ankreisen ===
[[Datei:2025-02-05 Umkreismittelpunkt.jpg|250px|mini]]

Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schwerpunkt der Mittelpunkte von Inkreis und Ankreisen:
:<math>U = \frac{1}{4} \cdot (I + I_a + I_b + I_c)</math>

Im Bevan-Dreieck <math>\triangle I_a I_b I_c</math> ist der Inkreismittelpunkt <math>I</math> der Höhenschnittpunkt, die Eckpunkte <math>A, B, C</math> sind dort die Höhenfußpunkte und der Umkreismittelpunkt <math>U</math> des Dreiecks <math>\triangle ABC</math> ist gleichzeitig der Mittelpunkt des Feuerbachkreises des Bevan-Dreiecks. Die Mittelpunkte <math>M_a, M_b, M_c</math> der Seiten des Bevan-Dreiecks liegen also ebenfalls auf dem Umkreis <math>U</math>.
In der Mitte zwischen <math>A</math> und <math>M_a</math> liegt dann der Fußpunkt der Senkrechten, die durch den Mittelpunkt des Feuerbachkreises des Bevan-Dreiecks (also durch <math>U</math>) führt, er heiße <math>X_a</math>. Es gilt:
:<math>X_a = \frac{1}{2} \cdot (A + M_a)
= \frac{1}{2} \cdot \left( A + \frac{1}{2} \cdot (I_b + I_c) \right)
= \frac{1}{2} \cdot A + \frac{1}{4} \cdot (I_b + I_c)</math>

Von dort aus gehen wir rechtwinklig (parallel zur Winkelhalbierenden <math>w_a</math>) und vereinbaren:
:<math>U_a := X_a + \frac{1}{4} \cdot (I - A) + \frac{1}{4} \cdot (I_a - A) = \frac{1}{4} \cdot (I + I_a + I_b + I_c)</math>

Völlig analog definieren wir <math>X_b, X_c</math> sowie <math>U_b, U_c</math> und erhalten:
:<math>U_a = U_b = U_c = \frac{1}{4} \cdot (I + I_a + I_b + I_c)</math>

Mithin hat <math>U</math> die behaupteten Koordinaten.

=== Weitere Eigenschaften ===
* Der Umkreismittelpunkt liegt wie der [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]] und der [[Höhenschnittpunkt]] auf der [[Eulersche Gerade|eulerschen Geraden]].
* Nach dem [[Südpolsatz]] schneidet sich die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite mit der [[Winkelhalbierende]]n des gegenüberliegenden [[Winkel]]s stets auf dem Umkreis.
* Die Entfernung zwischen Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt beträgt <math>\sqrt{R(R-2r)}</math>, wobei <math>R</math> den Umkreisradius und <math>r</math> den Inkreisradius bezeichnet ([[Satz von Euler (Geometrie)|Satz von Euler]]).
* Die Summe der vorzeichenbehafteten [[Abstand|Abstände]] des Umkreismittelpunktes von den Dreiecksseiten ist gleich der Summe aus Umkreis- und Inkreisradius (siehe [[Satz von Carnot (Umkreis, Inkreis)|Satz von Carnot]]).
* Der [[Satz vom Dreizack]] stellt einen Zusammenhang zwischen Umkreis und [[Inkreis]] her.
* Der Umkreis ist der [[Geometrischer Ort|geometrische Ort]] aller Punkte, deren [[Orthogonalprojektion]]en auf die Dreiecksseiten kollinear sind.<ref>{{Literatur
| Autor=[[John Casey]]
| Titel=A sequel to the first six books of the Elements of Euclid, containing an easy introduction to modern geometry, with numerous examples
| Verlag=Hodges, Figgis & co.
| Ort=Dublin
| Datum=1886
| Seiten=34
| Online=https://archive.org/details/sequeltofirstsix00caserich/page/35/mode/1up
| Abruf=2025-01-29
| Kommentar=Prop. 12, Cor. 1
}}</ref>

=== Verallgemeinerung: Mittellotensatz ===
Die Aussage, dass sich die Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten in einem Punkt schneiden, wird in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] als '''Mittellotensatz''' bezeichnet. Dort kann für allgemeinere affine Ebenen, in denen kein Abstandsbegriff und damit keine „Kreise“ definiert sind, gezeigt werden, dass dieser Satz äquivalent zum '''Höhenschnittpunktsatz''' ist. → Siehe dazu [[Höhenschnittpunkt]] und [[präeuklidische Ebene]].

=== Umkreise von Dreiecken aus einem orthozentrischen Quadrupel ===
[[Datei:Hoehenschnittpunkt Umkreise.svg|mini|hochkant|''Beweisfigur'']]
Gegeben sei ein Dreieck <math>ABC</math> und sein Höhenschnittpunkt <math>H</math>. Dann haben die von drei der vier Punkte <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> und <math>H</math> gebildeten Dreiecke [[Kongruenz (Geometrie)|kongruente]] Umkreise.

Die vier Punkte <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> und <math>H</math> werden auch als ''orthozentrisches [[Quadrupel]]'' bezeichnet.

''Beweis:''

[[Ohne Beschränkung der Allgemeinheit]] wird die Kongruenz der Umkreise für die beiden Dreiecke <math>ABC</math> und <math>ABH</math> gezeigt.
Im Dreieck <math>ABE</math> ergänzen sich der rot markierte Winkel <math>\angle HBF</math> und der Winkel <math>\angle FAE</math> zu 90°. Ebenso ergänzen sich im Dreieck <math>CAF</math> der rot markierte Winkel <math>\angle ECH</math> und der Winkel <math>\angle FAE</math> zu 90°. Hieraus folgt, dass die beiden rot markierten Winkel gleich groß sind.

Der Punkt <math>P</math> ist der zweite Schnittpunkt des Umkreises des Dreiecks <math>ABC</math> mit der verlängerten Dreieckshöhe durch <math>C</math>. Der rot markierte Winkel <math>\angle ECH</math> und der grün markierte Winkel <math>\angle FBP</math> sind als [[Umfangswinkel]] am [[Kreisbogen]] über <math>AP</math> gleich groß. Damit sind auch der rot markierte Winkel <math>\angle HBF</math> und der grün markierte Winkel <math>\angle FBP</math> gleich groß. Folglich sind nach dem [[Kongruenzsatz]] ''WSW'' dann auch die [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecke]] <math>BHF</math> und <math>PBF</math> kongruent. Somit sind nach dem Kongruenzsatz ''SWS'' auch die Dreiecke <math>ABH</math> und <math>BAP</math> kongruent, also sind auch ihre Umkreise kongruent.

Da der Umkreis des Dreiecks <math>BAP</math> auch der des Dreiecks <math>ABC</math> ist und die Umkreise der Dreiecke <math>ABH</math> und <math>BAP</math> kongruent sind, haben auch die Dreiecke <math>ABC</math> und <math>ABH</math> kongruente Umkreise. Damit ist die Aussage bewiesen.<ref>[[Günter Aumann]]: ''Kreisgeometrie. Eine elementare Einführung.'' [[Springer Spektrum]], Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015, ISBN 978-3-662-45305-6, Seiten 29 und 30.</ref>

== Umkreise anderer Vielecke ==
Während beim Dreieck stets ein Umkreis existiert, trifft dies bei Vielecken (Polygonen) mit mehr als drei Ecken nur in besonderen Fällen zu.

[[Viereck]]e, die einen Umkreis haben, werden [[Sehnenviereck]]e genannt. Spezialfälle sind [[Gleichschenkliges Trapez|gleichschenklige Trapeze]], also auch [[Rechteck]]e und [[Quadrat (Geometrie)|Quadrate]].

Unabhängig von der Eckenzahl hat jedes [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßige Polygon]] einen Umkreis. Für den Umkreisradius eines regelmäßigen <math>n</math>-Ecks mit der Seitenlänge <math>a</math> gilt:
:<math>R = \frac{a}{2 \sin\frac{180^\circ}{n}}</math>

== Verwandte Begriffe ==
* Der [[Inkreis]] eines Vielecks ist ein Kreis, der alle Seiten dieses Vielecks berührt. Der Inkreis eines Dreiecks stellt einen besonders wichtigen Spezialfall dar. Er gehört mit dem Umkreis und den drei [[Ankreis]]en zu den [[Kreise am Dreieck|besonderen Kreisen]] der Dreiecksgeometrie.

* Überträgt man die Definition des Umkreises auf den (dreidimensionalen) [[Raum (Physik)|Raum]], so erhält man den Begriff der [[Umkugel]], also einer [[Kugel]], auf der alle Eckpunkte eines gegebenen [[Polyeder]]s (Vielflächners) liegen.

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* [https://www.walter-fendt.de/html5/mde/circumcircle_de.htm Walter-Fendt.de] (Umkreis-Konstruktion wird Schritt für Schritt vorgeführt)
* {{Webarchiv |url=http://www.zum.de/dwu/depotan/amdl003.htm |text=Flash-Animation zur Umkreis-Konstruktion beim Dreieck |wayback=20100107082811}} (dwu-Unterrichtsmaterialien)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kreis]]
[[Kategorie:Dreiecksgeometrie]]
[[Kategorie:Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]

Umkreis - Versionsgeschichte

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