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2025-07-02T10:44:27Z

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Als '''Umgebungsbasis''' bezeichnet man in der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]], einem Teilgebiet der Mathematik, ein spezielles Mengensystem. Über die Eigenschaften von Umgebungsbasen lassen sich spezielle Klassen von [[Topologischer Raum|topologischen Räumen]] wie [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakte Räume]] und [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexe Räume]] definieren. Außerdem greift das [[Erstes Abzählbarkeitsaxiom|erste Abzählbarkeitsaxiom]] auf die Mächtigkeit der Umgebungsbasis zurück und impliziert damit grundlegende strukturelle topologische Eigenschaften.
Wichtiger Spezialfall von Umgebungsbasen sind '''Nullumgebungsbasen'''.

== Definition ==
Gegeben sei ein [[topologischer Raum]] <math> (X, \tau) </math> und darin ein <math>x \in X</math>.

Dann heißt eine Familie
:<math> \mathcal U_x:= (U_{x,i})_{i \in I} </math>

von [[Umgebung (Mathematik)#Umgebungen in topologischen Räumen|Umgebungen]] von <math>x</math> eine ''Umgebungsbasis von <math> x </math>'', wenn jede Umgebung von <math>x</math> [[Obermenge]] einer der Mengen <math> U_{x,i} </math> für mindestens ein <math>i \in I</math> ist.

== Beispiele ==
Betrachtet man den <math> \R^n </math>, versehen mit einer beliebigen Norm <math> \| \cdot \| </math>, so ist
:<math> B_r(x):= \{y \in \R^n \, | \, \|x-y\| < r\} </math>

die offene Kugel mit Radius <math> r </math> um den Punkt <math> x </math>. Eine Umgebungsbasis bezüglich der [[Normtopologie]] wird dann gebildet von
:<math> \mathcal U_x:= \{B_r(x) \, | \, r \in (0, \infty) \} </math>.

In diesem Fall lässt sich auch eine abzählbare Umgebungsbasis definieren durch
:<math> \mathcal U_x:= \{B_{\tfrac 1k}(x) \, | \, k \in \N \} </math>.

Analog lässt sich in jedem [[Metrischer Raum|metrischen Raum]] <math> (X, d) </math> eine (abzählbare) Umgebungsbasis bezüglich der von der Metrik erzeugten Topologie über die offenen Kugeln
:<math> B_r(x):= \{y \in X \, | \, d(x,y) < r\} </math>

definieren.
== Spezialfall Nullumgebungsbasis ==
Liegt ein [[topologischer Vektorraum]] <math>X</math> vor, so wird eine aus Umgebungen von <math>0 \in X</math> bestehende Umgebungsbasis <math>\mathcal U_0 = (U_{0,i})_{i \in I}</math> auch als ''Nullumgebungsbasis'' bezeichnet. Für jeden Punkt <math>x \in X</math> und jede derartige Nullumgebungsbasis <math>\mathcal{U}_0</math> gewinnt man eine Umgebungsbasis <math>\mathcal U_x</math> von <math>x</math> durch Translation:
:<math>\mathcal{U}_x := x + \mathcal{U}_0 := (x + U_{0,i})_{i \in I} \;.</math>

== Verwandte Begriffe ==
Als ''[[Umgebungsfilter]]'' oder ''Umgebungssystem'' von <math> x </math> wird die Menge aller Umgebungen von <math> x </math> bezeichnet. Der Umgebungsfilter von <math> x </math> ist folglich die größtmögliche Umgebungsbasis von <math> x </math> und dem Namen entsprechend ein [[Filter (Mathematik)|Filter]].

== Eigenschaften ==
Besitzt ein topologischer Raum eine höchstens abzählbare Umgebungsbasis, so sagt man, dass er das [[Erstes Abzählbarkeitsaxiom|erste Abzählbarkeitsaxiom]] erfüllt. Solche Räume sind aus mathematischer Sicht "klein" und leichter zu handhaben.

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=[[Boto von Querenburg]]|Titel=Mengentheoretische Topologie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg New York|Datum=2001|ISBN=9783540677901|DOI=10.1007/978-3-642-56860-2}}
* {{Literatur |Autor=[[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]]|Titel=Topologie: Eine Einführung|Reihe=Mathematische Leitfäden|Auflage=4.|Verlag=[[B. G. Teubner]]|Ort=Stuttgart|Datum=1975|ISBN=3-519-12200-6}}
* {{Literatur|Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]|Titel=Funktionalanalysis|Auflage=7., korrigierte und erweiterte Auflage|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Heidelberg Dordrecht London New York|Jahr=2011|ISBN=978-3-642-21016-7|DOI=10.1007/978-3-642-21017-4}}

[[Kategorie:Mengentheoretische Topologie]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Umgebungsbasis - Versionsgeschichte

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