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2025-06-13T11:56:09Z

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Ein '''Ultraprodukt''' ist ein Konstrukt auf dem Gebiet der [[Modelltheorie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]]. Die Zielsetzung der Konstruktion besteht darin, zu einem Modell (oder vielen Modellen) für ein gegebenes [[Axiomensystem]] ein weiteres zu erhalten, das ungewöhnliche, in der Sprache des Axiomensystems nicht formalisierbare Eigenschaften aufweist. Idee der Konstruktion ist, Relationen für Folgen durch eine Art von Mehrheitsentscheidung zu definieren.

== Definition ==

Gegeben sei irgendeine [[Sprache erster Stufe]] <math>L</math>.
Sei <math>I</math> eine unendliche Indexmenge, <math>U</math> ein [[Ultrafilter]] auf <math>I</math>, der kein [[Hauptfilter]] ist. Zu jedem <math>i \in I</math> sei <math>A_i</math> ein Modell der Sprache <math>L</math>. Auf dem [[kartesisches Produkt|kartesischen Produkt]]
:<math>P := \prod_{i \in I} A_i </math>
definieren wir eine [[Äquivalenzrelation]] durch
:<math> (a_i)_{i \in I} \sim (b_i)_{i \in I}</math> genau dann, wenn <math>\left\{ i \in I: a_i = b_i \right\} \in U</math>
und legen auf der Menge der Äquivalenzklassen folgende [[Interpretation (Logik)|Interpretation]] der Symbole der Sprache fest:
Verknüpfungen erfolgen komponentenweise; für jedes Relationssymbol <math>R</math> gelte
:<math> (a_i)_{i \in I} R (b_i)_{i \in I} </math> genau dann, wenn <math>\left\{ i \in I: a_i\,R\,b_i \right\}\in U</math>
(insbesondere ist dies konsistent mit der Definition der Gleichheit).
Dann bildet die Menge aller Äquivalenzklassen von <math>P</math> modulo ~ ein Modell der vorgegebenen Sprache <math>L</math>; es heißt ''Ultraprodukt'' der <math>A_i</math>.<ref>Rautenberg (2008), S. 164.</ref>

== Eigenschaften ==

Jede Formel der Sprache <math>L</math>, die in jeder Komponente erfüllt ist, gilt auch für das Ultraprodukt selbst. Erfüllen also alle <math>A_i</math> ein gegebenes Axiomensystem erster Stufe, so auch das Ultraprodukt. So ist etwa das Ultraprodukt von Körpern ein Körper, das Ultraprodukt von geordneten Mengen eine geordnete Menge usw.

Dagegen muss dies für Aussagen, die nicht in <math>L</math> formalisierbar sind, nicht zutreffen. So ist etwa das [[Induktionsaxiom]] eine Aussage über Teilmengen (und nicht Elemente) der Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] und in einem Ultraprodukt aus unendlich vielen Kopien der Menge der natürlichen Zahlen nicht erfüllt.

Die Konstruktion hängt von <math>U</math> ab; dies führt z. T. zu sehr speziellen mengentheoretische Fragen aus der Theorie der Ultrafilter.

== Ultrapotenzen ==

Häufig wählt man für alle <math>i</math> dasselbe Modell und erhält dann eine so genannte '''Ultrapotenz''' dieses Modells. Ein Beispiel sind die [[hyperreelle Zahl|hyperreellen Zahlen]]. Eine analoge Konstruktion für die natürlichen Zahlen ergibt ein Nichtstandardmodell der [[Peano-Arithmetik]].

Die Einbettung einer Struktur in ihre Ultrapotenz ist [[Elementare Unterstruktur|elementar]].

Unter der Annahme der [[Kontinuumshypothese]] kann man [[Saturiertheit (Modelltheorie)#Ultraprodukte|zeigen]], dass bestimmte Ultrapotenzen isomorph sind.

== Ultraprodukt und Ultralimes metrischer Räume ==

Falls jedes <math>A_i</math> ein [[metrischer Raum]] <math>(A_i,d_i)</math> ist, kann man auf dem Ultraprodukt eine [[Pseudometrik]] durch
:<math>D(a,b)=\lim_Ud_i(x_i,y_i)</math>,
d. h., <math>D(a,b)</math> ist ein Element aus <math>\left[0,\infty\right]</math>, so dass für jede Umgebung <math>V</math> von <math>D(a,b)</math> gilt:
:<math>\left\{i\in I\colon d_i(x_i,y_i)\in V\right\}\in U</math>.
Wähle einen „Beobachtungspunkt“, d. h. eine Familie <math>p=(p_i)_{i\in I} \in \prod_{i \in I} A_i</math>. Dann kann man die Menge aller Äquivalenzklassen von Familien <math>a=(a_i)_{i\in I}</math> mit <math>D(a,p)<\infty</math> betrachten. Auf dieser Teilmenge nimmt die Pseudometrik <math>D</math> nur endliche Werte an.

Als Ultralimes der Folge <math>\left\{(A_i,d_i)\right\}_{i\in I}</math> relativ zum Beobachtungspunkt <math>p=(p_i)_{i\in I}</math> bezeichnet man den metrischen Raum, den man als Quotienten dieser Teilmenge unter der Äquivalenzrelation <math>a\sim b\Leftrightarrow D(a,b)=0</math> mit der von <math>D</math> induzierten Metrik erhält.

== Siehe auch ==
* [[Satz von Łoś]]

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor = Peter G. Hinman |Titel=Fundamentals of Mathematical Logic|Verlag = A K Peters|Ort = Wellesley|Jahr = 2005|ISBN=1-56881-262-0}}
* {{Literatur|Autor=[[Wolfgang Rautenberg]]|Titel=Einführung in die Mathematische Logik|Auflage=3.|Verlag=[[Vieweg+Teubner Verlag|Vieweg+Teubner]]|Ort=[[Wiesbaden]]|Jahr=2008|ISBN=978-3-8348-0578-2}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mengenlehre]]
[[Kategorie:Modelltheorie]]

Ultraprodukt - Versionsgeschichte

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