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2026-02-26T13:29:23Z

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{{Dieser Artikel|beschäftigt sich mit dem mathematischen Begriff ''Ultrafilter'', für das technische [[Filtration (Trennverfahren)|Filtrationsverfahren]] siehe [[Ultrafiltration]].}}

Der Begriff des '''Ultrafilters''' entstammt der [[Mathematik]]. Hier bezeichnet man im Rahmen der [[Mengenlehre]] einen [[Mengenfilter]] auf einer [[Menge (Mathematik)|Menge]] <math>X</math> als Ultrafilter, wenn für jede [[Teilmenge]] <math>A</math> von <math>X</math> entweder <math>A</math> selbst oder ihr [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] <math>X \setminus A</math> Element des Mengenfilters ist. Ultrafilter sind somit genau diejenigen Mengenfilter, zu denen keine echte Verfeinerung existiert. Diese Definition von Ultrafiltern lässt sich von Mengenfiltern auf [[Filter (Mathematik)|allgemeine Filter]] im Sinne der [[Verbandstheorie]] übertragen.

Ultrafilter mit der Eigenschaft, dass die [[Mengenlehre#Schnittmenge|Schnittmenge]] aller ihrer [[Element (Mathematik)|Elemente]] [[Leere Menge|nichtleer]] ist, heißen '''fixierte Ultrafilter''', '''Punktfilter''' oder '''Elementarfilter''': Sie bestehen aus allen Teilmengen, die einen bestimmten Punkt enthalten. Alle Ultrafilter auf [[Endliche Menge|endlichen Mengen]] sind ''fixierte Ultrafilter''. Fixierte Filter sind die einzigen explizit konstruierbaren Ultrafilter. Die zweite Art der Ultrafilter sind die '''freien Ultrafilter''', für die die Schnittmenge aller ihrer Elemente die [[leere Menge]] ist.

Ultrafilter finden Anwendungen etwa in der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] und der [[Modelltheorie]].

Der zum Begriff des Ultrafilters [[Dualität (Verbandstheorie)|duale]] Begriff ist der des ''Primideals''.<ref name="TJ-01">Thomas Jech: ''Set Theory'' 2003, S. 74 ff.</ref>

== Formale Definition und grundlegende Eigenschaften ==
Es sei <math>X</math> eine Menge. Ein [[Filter (Mathematik)|Filter]] <math>\mathcal{F}</math> ist eine [[Familie (Mathematik)|Familie]] von Teilmengen auf <math>X</math> mit folgenden Eigenschaften:

# <math>\emptyset\notin \mathcal{F}, X\in \mathcal{F}</math>
# <math>F\in\mathcal{F}, G\supseteq F \Rightarrow G\in \mathcal{F}</math>
# <math> F_1,\dotsc, F_n\in \mathcal{F}\Rightarrow \bigcap\limits_{i=1}^n F_i \in \mathcal{F}</math>
Ein ''Ultrafilter'' ist ein Filter <math>\mathcal{F}</math> mit der Eigenschaft:
#<li value="4"> Ist <math>\mathcal{G}</math> Filter auf <math>X</math> mit <math>\mathcal{G}\supseteq \mathcal{F}</math>, dann gilt <math> \mathcal{G}=\mathcal{F}</math>.</li>

Dieser Punkt kann auch so ausgedrückt werden, dass <math>\mathcal{F}</math> in der Menge aller Filter auf <math>X</math> [[Maximales Element|maximal]] ist, wobei als Ordnung die Inklusion auf <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))</math>, also auf der [[Potenzmenge]] der Potenzmenge von <math>X</math>, verwendet wird. (Beachte: Ein Filter ist eine Teilmenge von <math>\mathcal{P}(X)</math> und daher ein Element von <math>\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))</math>.)

Es gilt folgender Satz: Ist <math>\mathcal{F}</math> ein Filter auf der Menge <math>X</math>, dann existiert ein Ultrafilter <math>\mathcal G</math>, der den Filter <math>\mathcal F</math> umfasst. Da <math>\{X\}</math> ein Filter auf der Menge <math>X</math> ist, existiert auf jeder nichtleeren Menge ein Ultrafilter.

Ultrafilter lassen sich durch folgenden Satz charakterisieren:

Es sei <math>\mathcal{F}</math> ein Filter auf <math>X</math>. Dann sind folgende Aussagen äquivalent (L1):

# Für alle Filter <math>\mathcal{G}</math> auf <math>X</math> mit <math>\mathcal{G}\supseteq \mathcal{F}</math> folgt <math>\mathcal{G}=\mathcal{F}</math>.
# Für alle Teilmengen <math>A,B\subset X</math> gilt: <math>A\cup B\in \mathcal{F}\Rightarrow (A\in \mathcal{F} \vee B\in\mathcal{F})</math>.
# Für alle <math>A\subseteq X</math> gilt, dass entweder <math>A\in \mathcal{F}</math> oder <math>X \setminus A \in \mathcal{F}</math>.

Des Weiteren gilt: Sind <math>\mathcal{F}_1</math>, <math>\mathcal{F}_2</math> Ultrafilter auf einer Menge <math>X</math>, dann sind diese gleichmächtig. Dies sieht man durch folgende Abbildungen ein:

<math>f_1\colon\mathcal{F}_1\rightarrow \mathcal{F}_2, A\mapsto\begin{cases} A, & \text{wenn } A\in \mathcal{F}_2,\\
X \setminus A, & \text{wenn } X \setminus A\in \mathcal{F}_2
\end{cases} </math>
sowie
<math>f_2\colon\mathcal{F}_2\rightarrow \mathcal{F}_1, A\mapsto\begin{cases} A, & \text{wenn } A\in \mathcal{F}_1,\\
X \setminus A, & \text{wenn } X \setminus A\in \mathcal{F}_1
\end{cases} </math>

Zuerst sieht man, dass die Abbildungen wegen (L1) [[Wohldefiniertheit|wohldefiniert]] sind. Man sieht sofort <math>f_1\circ f_2 = \operatorname{id}_{\mathcal{F}_1}</math> und <math>f_2\circ f_1=\operatorname{id}_{\mathcal{F}_2}</math>. Somit handelt es sich um Bijektionen.

== Vollständigkeit ==
Unter der Vollständigkeit eines Ultrafilters versteht man die kleinste [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] <math>\kappa</math>, sodass <math>\kappa</math> Elemente des Filters existieren, deren Durchschnitt kein Element des Filters ist. Dies widerspricht nicht der Definition eines Ultrafilters, da nach dieser nur der Durchschnitt ''endlich'' vieler Elemente wieder im Filter enthalten sein muss. Aus dieser Voraussetzung folgt aber, dass die Vollständigkeit eines Ultrafilters mindestens [[Aleph null|<math>\aleph_0</math>]] ist. Ein Ultrafilter, dessen Vollständigkeit größer als <math>\aleph_0</math> ist, also [[Überabzählbarkeit|überabzählbar]], heißt '''abzählbar vollständig''' bzw. '''<math>\sigma</math>-vollständig''', da jede Schnittmenge [[Abzählbarkeit|abzählbar]] (auch abzählbar unendlich) vieler Elemente des Filters wieder ein Element des Filters ist.

== Verallgemeinerung von Ultrafiltern auf Halbordnungen ==
Im Kontext der [[Filter (Mathematik)#Allgemeine Definitionen|allgemeineren Definition von Filter]] als Teilmenge einer [[Halbordnung|halbgeordneten Menge]] (zum Beispiel Potenzmenge mit Inklusion) <math>\mathcal{P}</math> heißt ein Filter <math>\mathcal{F}</math> Ultrafilter, wenn es keinen feineren Filter als <math>\mathcal{F}</math> gibt, der nicht schon ganz <math>\mathcal{P}</math> ist – formal ausgedrückt: Wenn <math>\mathcal{F'}</math> ein Filter auf <math>\mathcal{P}</math> ist mit <math>\mathcal{F} \subseteq \mathcal{F'}</math>, dann gilt <math>\mathcal{F'} = \mathcal{F}</math> oder <math>\mathcal{F'} = \mathcal{P}</math>. Diese allgemeinere Definition stimmt in dem Spezialfall, dass <math>\mathcal{P}</math> die [[Potenzmenge]] einer Menge <math>X</math> ist, mit der zuerst gegebenen überein. Mit Hilfe des [[Zornsches Lemma|Zornschen Lemmas]] lässt sich zeigen, dass jeder Filter in einem Ultrafilter enthalten ist.

== Ultrafilter auf Verbänden ==
Als Spezialfall der Definition auf Halbordnungen ergibt sich eine Definition auf [[Verband (Mathematik)|Verbänden]]. Ein Ultrafilter auf einem Verband lässt sich alternativ als [[Verbandshomomorphismus]] in die [[zweielementige boolesche Algebra]] <math>\{\bot,\top\}</math> definieren. Ein abzählbar vollständiger Ultrafilter lässt sich als 0-1-wertiges [[Maß (Mathematik)|Maß]] auffassen.

== Arten und Existenz von Ultrafiltern ==
Es gibt zwei Arten von Filtern. Zur Unterscheidung wird folgende Definition benutzt:

Ein Filter <math>\mathcal{F}</math> heißt '''frei''', wenn <math>\bigcap\limits_{F\in\mathcal{F}}F=\emptyset</math> ist, andernfalls heißt er fixiert.

Leicht sieht man, dass Ultrafilter auf einer endlichen Menge fixiert sind; auf endlichen, halbgeordneten Mengen besitzen Ultrafilter ein [[Größtes und kleinstes Element|kleinstes Element]], sie lassen sich als <math>\mathcal{F}_a=\{x:a\leq x\}</math> für ein Element <math>a</math> darstellen. Allgemeiner gilt auf beliebigen Mengen: Ein Ultrafilter <math>\mathcal{F}</math> auf <math>X</math> ist ein fixierter Ultrafilter [[Logische Äquivalenz|genau dann, wenn]] er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

* Es gibt ein <math>x\in X</math> mit <math>\mathcal{F}=\mathcal{F}_x:=\{F: x\in F\subseteq X\}</math>.
* Der Filter besitzt ein endliches Element.

In diesem Fall heißt <math>x</math> '''Hauptelement''' des Ultrafilters.

Freie Ultrafilter können nur auf [[Unendliche Menge|unendlichen Mengen]] existieren. Es lässt sich zeigen ('''Tarski’scher Ultrafiltersatz''', {{enS|Tarski's Ultrafilter Theorem}}), dass jeder Filter einer Menge <math>X</math> (allgemeiner: jede Teilmenge <math>\mathcal{Y}\subseteq \mathcal{P}(X)</math>, für die die Schnittmenge endlich vieler Teilmengen von <math>\mathcal{Y}</math> wieder in <math>\mathcal{Y}</math> liegt) in einem Ultrafilter von <math>X</math> enthalten ist. Der Beweis des Ultrafiltersatzes ist nicht konstruktiv und ergibt sich unter Anwendung des [[Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]], setzt also die Annahme der Gültigkeit des [[Auswahlaxiom]]s voraus.<ref name="TJ-02">Jech, op. cit., S. 75.</ref><ref>Auf diesem Wege ist die Existenz freier Ultrafilter gesichert. So bilden etwa die [[kofinite Menge|kofiniten Teilmengen]] einer unendlichen Menge einen Filter, die freien Ultrafilter sind gerade die Ultrafilter, die Oberfilter dieses Filters sind.</ref>

Ein Beispiel für fixierte Filter sind [[Umgebung (Mathematik)|Umgebungsfilter]].

== Beispiele ==
* Ist <math>X</math> eine endliche Menge, dann ist jeder Ultrafilter auf <math>X</math> genau durch einen Punkt fixiert. Wäre das nicht so und wäre der Filter durch die Menge <math>\{x_1,...,x_n\}</math> fixiert, so könnte man ihn durch Hinzufügen von <math>{x_n}</math> echt verfeinern. Somit sind die Ultrafilter auf einer endlichen Menge gerade die Punktfilter.
* Der [[Umgebungsfilter]] eines Punktes in der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] ist genau dann ein Ultrafilter, wenn der Punkt [[Isolierter Punkt|isoliert]] ist.

== Anwendungen ==
* In der [[Modelltheorie]] und [[universelle Algebra|universellen Algebra]] dienen Ultrafilter der Definition von [[Ultraprodukt]]en und Ultrapotenzen von [[algebraische Struktur|algebraischen Strukturen]]. Diese Konstruktionen erben dabei gewisse Eigenschaften der zugrundeliegenden Strukturen.
* Die für die [[Nichtstandardanalysis]] grundlegenden [[Hyperreelle Zahl|hyperreellen Zahlen]] lassen sich als eine solche Ultrapotenz konstruieren.
* In der Topologie erlauben Ultrafilter eine Charakterisierung von [[Kompakter Raum|Kompaktheit]]: Ein [[topologischer Raum]] ist genau dann kompakt, wenn auf ihm jeder Ultrafilter [[Filterkonvergenz|konvergiert]]. Diese Charakterisierung lässt sich verwenden, um den [[Satz von Tychonoff]] zu beweisen, der für die mengentheoretische Topologie grundlegend ist.
* In der metrischen Geometrie verwendet man Ultrafilter zur Konstruktion des [[Asymptotischer Kegel|asymptotischen Kegels]], eines wichtigen Werkzeugs zur Untersuchung der „large scale geometry“ nichtkompakter Räume.

== Literatur ==
* [[Boto von Querenburg]]: ''Mengentheoretische Topologie.'' 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (''Springer-Lehrbuch'').
* {{Literatur
|Autor=[[Paul Cohn (Mathematiker)|Paul Moritz Cohn]]
|Titel=Universal Algebra
|Reihe=Mathematics and Its Applications
|BandReihe=6
|Auflage=Überarbeitete
|Verlag=D. Reidel Publishing Company
|Ort=Dordrecht, Boston
|Datum=1981
|ISBN=90-277-1213-1}}
* Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: ''Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie.'' Heldermann, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X (''Berliner Studienreihe zur Mathematik'' 15), S. 203ff. Kapitel 13.
* {{Literatur
|Autor=[[Thomas Jech]]
|Titel=Set Theory
|TitelErg=The Third Millennium edition, revised and expanded
|Reihe=Springer Monographs in Mathematics
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Berlin, Heidelberg, New York
|Datum=2003
|ISBN=3-540-44085-2}}
* {{Literatur
|Autor=[[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]]
|Titel=Topologie
|Reihe=Mathematische Leitfäden
|Auflage=4.
|Verlag=B. G. Teubner
|Ort=Stuttgart
|Datum=1975
|ISBN=3-519-12200-6}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mengensystem]]
[[Kategorie:Mengenlehre]]
[[Kategorie:Ordnungstheorie]]
[[Kategorie:Mengentheoretische Topologie]]
[[Kategorie:Verbandstheorie]]

Ultrafilter - Versionsgeschichte

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